Yine en basit durumdan başlayarak inceleyelim: Fark denklemleri ile ifade ettiğimiz dinamik sistemlerde zaman tam sayılar ile ilerliyor , peki zaman sürekli olsa yani dinamik sürece ilişkin yazacağımız denklemler nasıl olacak? Zamana ilişkin değişken pozitif de negatif de olabiliyor, neden? Yine en basit durumdan başlayarak inceleyelim: Bu çözüm ne ifade etmekte?

MATLAB’de nasıl hesaplarız: %%%Otonom Lineer Sistem%%%% %%%lineer_sistem_otonom dosya ders7%% %%%Kasým 7,2016%%%%%%%%%% %%%amaç:Lineer zamanla değişmeyen birinci dereceden dinamik sistemin %%%davranışını incelemek%%% clear all, %%%%ilk değerler%%% x=0.1; %%%%sistem parametresi%%% a=-3; %%%sayısal hesap için gerekenler%%% iterasyon=50;% sayısal hesaplamanın kaç adım yapılacağı mu=0.1;%%diferansiyel denklemin çözüm adımı 0 ile 1 arasında bir sayı %%%ele alınan dinamik sürecin ne kadar zaman aralığında %%%incelendiğini mu*iterasyon belirler. %%%%dif denklemin açık euler ile çözümü%%% for k=1:iterasyon x(k+1)=x(k)+mu*(a*x(k)); end %%%çözümün zamanla değiþimi%%% plot(x), title('zamanla deðiþim'), xlabel('t'),ylabel('x') Bunu 3 olarak değiştirelim Şimdi de -0.3 olarak değiştirelim

Biraz zorlaştıralım: varsayım:

MATLAB’de nasıl hesaplarız: %%%Lineer Sistem%%%% %%%lineer_sistem dosya ders7%% %%%Kasým 7,2016%%%%%%%%%% %%%amaç:Lineer zamanla değişmeyen birinci dereceden dinamik sistemin %%%davranışını incelemek%%% clear all, %%%%ilk değerler%%% x=0.1; %%%%sistem parametresi%%% a=-0.3;%%%durum değişkeninine ilişkin parametre b=0.4;%%%girişe ilişkin parametre %%%sayısal hesap için gerekenler%%% iterasyon=500;% sayısal hesaplamanın kaç adım yapılacağı mu=0.1;%%diferansiyel denklemin çözüm adımı 0 ile 1 arasında bir sayı %%%ele alınan dinamik sürecin ne kadar zaman aralığında %%%incelendiğini mu*iterasyon belirler. %%%%dif denklemin açık euler ile çözümü%%% for k=1:iterasyon u(k)=1; x(k+1)=x(k)+mu*(a*x(k)+b*u(k)); end %%%çözümün zamanla değişimi%%% plot(x),hold on, plot(u,'r'), title('zamanla değişim'), xlabel('t'),ylabel('x:mavi u:kırmızı')

Girişde biraz değişiklik yapalım: %%%Lineer Sistem%%%% %%%lineer_sistem_giris_2 dosya ders7%% %%%Kasým 7,2016%%%%%%%%%% %%%amaç:Lineer zamanla değişmeyen birinci dereceden dinamik sistemin %%%davranışını incelemek%%% clear all, %%%%ilk değerler%%% x=0.1; %%%%sistem parametresi%%% a=-0.3;%%%durum değişkeninine ilişkin parametre b=0.4;%%%girişe ilişkin parametre %%%sayısal hesap için gerekenler%%% iterasyon=500;% sayısal hesaplamanın kaç adım yapılacağı mu=0.1;%%diferansiyel denklemin çözüm adımı 0 ile 1 arasında bir sayı %%%ele alınan dinamik sürecin ne kadar zaman aralığında %%%incelendiğini mu*iterasyon belirler. %%%%dif denklemin açık euler ile çözümü%%% for k=1:iterasyon if k<100|k>150 u(k)=0; else u(k)=1; end x(k+1)=x(k)+mu*(a*x(k)+b*u(k)); %%%çözümün zamanla değişimi%%% plot(x),hold on, plot(u,'r'), title('zamanla değişim'), xlabel('t'),ylabel('x:mavi u:kırmızı')

Biraz daha zorlaştıralım: Bu sefer yazabileceğimiz, genel bir analitik çözüm yok, ne yapmamızı önerirsiniz? Denge noktası civarında lineer eşdeğeri elde edilip, denge noktası civarındaki davranışı incelenecek: Sizce denge noktası bu sefer nasıl belirlenecek? Tanım: Sabit nokta (fixed point) Fark denkleminin zamanla değişmeyen çözümüne, fark denkleminin sabit noktası denir. Hatırlatma Tanım: Denge noktası (equilibrium point) Diferansiyel denkleminin zamanla değişmeyen çözümüne, diferansiyel denkleminin sabit noktası denir.

Lineer olmayan sistemler için ne yapacağız? Bir Örnek

Psikolojiden bir sürecin modellenmesi: Karşıt Süreç (Opponent Process) Solomon-Corbitt’74 İki süreç olmalı, birbirini etkileyen Bu iki sürecin harekete geçmesi de bir dış süreç tarafından belirlenmeli Hem dış uyaran hem de diğer süreç tarafından tetiklenen süreç Sadece dış uyaran tarafından tetiklenen süreç Örnek: Vücudda fark edilen bir kitle Düşünceler ile gelişen tedirginlik Kitlenin fark edilmesi ile beliren düşünceler

a1=1 a1=0.5 %%%%%%opponent_process için bir model%%%%% %%%%%Kasım 7, 2016%%%%%%% %%%%%amaç: opponent process için bir model oluşturmak%%% clear all; %%%%sistem1%%% x1=0; a1=0.5; theta1=0.2; %%%%sistem2%%% x2=0; a2=0.5; theta2=1; %%%sayısal hesap için gerekenler%%% iterasyon=10000; mu=0.01; %%% for k=1:iterasyon if k<3000|k>5500 u(k)=0; else u(k)=0.7; end x1(k+1)=x1(k)+mu*(-a1*F_opponent(x2(k),theta1)*x1(k)+F_opponent(u(k),theta1)*(1-x1(k)*x2(k))); x2(k+1)=x2(k)+mu*(-a2*x2(k)+F_opponent(u(k),theta2)*(1-x2(k))); subplot(3,1,1), plot(x1,'r'), hold on, plot(x2), hold on, plot(u,'g') subplot(3,1,2), plot(x1,'r'), hold on, plot(u,'g') subplot(3,1,3), plot(x1,'r'), hold on, plot(x2) a1=0.5