Hatırlatma Yörünge: Or(xo) xo ilk koşulundan başlayan bir yörünge, x durum uzayının sıralı bir alt kümesidir. Lineer otonom sistem Surekli zaman icin yorunge zamanda gelisim fonksiyonu surekli ise durum uzayında eğriler ayrik zaman icin durum uzayında noktalardan oluşmuş dizi Lojistik dönüşüm

çözümü her için neleri belirliyor? Hatırlatma çözümü her için neleri belirliyor? trajectory çözüm orbit yörünge Gelişim fonksiyonu Peki, ayrık zamanda ne oluyordu? Burada cozumun evolution gelisme ilerleme fonksiyonunun aslinda cozum oldugu soylenmeli ve ayrik zaman icin tekrar cozumun varligi ve tekligi probleminin neden olmadigi belirtilerek bu ifade yazilmali ve bir ornek ile gosterilmeli.

h homeomorfizm h homeomorfizm h 1-e-1 ve üstüne h h sürekli Dinamik sistemlerin genel, niteliksel özelliklerini belirlemek istiyoruz... Topolojik Eşdeğerlilik: h homeomorfizm Zamanla değişimin yönünü koruyarak ve topolojik eşdeğerdir Hatırlatma h homeomorfizm Bu niteliksel ozellikler ancak olsa olsa durum uzayinin ozellikleri olacak. Su ana kadar gordugumuz degismez kumelerin varligi ve degismez kulelerin kararliligi h 1-e-1 ve üstüne h sürekli h h -1 sürekli http://en.wikipedia.org/wiki/Homeomorphism

(*) sistemi (**) sistemine düzgün “eşdeğer”dir . Sürekli zaman Ayrık zaman ¤ * ¤ ¤ * * ¤ ¤ ¤ Orbitally equivalent’dan bahset (*) sistemi (**) sistemine düzgün “eşdeğer”dir . (¤) sistemi (¤¤) sistemine “eş”dir smoothly equivalent conjugate

x* denge noktası olmak üzere x* sabit nokta olmak üzere Topolojik Eşdeğerliliğe ilişkin başka tanımlar da var: yörüngesel eşdeğerlilik, Ck eşdeğerlilik yerel eşdeğerlilik..... Denge noktası civarında faz portresinin yapısı nasıl incelenebilir? Sürekli zaman Ayrık zaman ¤ * x* denge noktası olmak üzere x* sabit nokta olmak üzere Özdeğerlerden negatif , sıfır ve pozitif reel kısımlara sahip olanların sayısı sırası ile olsun. Özdeğerlerden birim daire içinde, üstünde ve dışında olanların sayısı sırası ile olsun.

Hiperbolik denge noktası Bir denge noktası (sabit nokta)’na ilişkin ise o denge noktası (sabit nokta) hiperbolik denge noktası olarak adlandırılır. ise, hiperbolik eyer olarak adlandırılır. Sürekli Zaman ‘ın kararlı değişmez kümesi ‘ın kararsız değişmez kümesi Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Ayrık Zaman ‘ın kararlı değişmez kümesi ‘ın kararsız değişmez kümesi Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Ayrık Zamanda bazı şeyler biraz farklı

Teorem 9: (Yerel Manifold ) hiperbolik bir denge noktası ‘in özdeğerlerinden reel kısımları sol kompleks düzlemde (birim daire içinde) olanların oluşturduğu genelleştirilmiş özuzay v ‘in özdeğerlerinden reel kısımları sağ kompleks düzlemde (birim daire dışında) olanların oluşturduğu genelleştirilmiş özuzay http://en.wikipedia.org/wiki/File:Tangentialvektor.svg

Teorem 10: (Hartman-Grobman ) Dinamik sistem, hiperbolik bir denge noktası civarında lineerleştirilmiş sisteme topolojik eşdeğerdir. Anlamı ne? Bir örnek F.C.Hoppensteadt, E.M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997.

Bazı sorular: Topolojik eşdeğerlilik ne işimize yarayacak, topolojik eşdeğerliliğin ortadan kalktığı durumlar var mı, varsa nasıl buluruz? Dallanmalar (Bifurcation) ve dallanma diyagramları Sürekli zaman Ayrık zaman Dallanma: Bir parametrenin değişimi ile topolojik olarak eşdeğer olmayan durum portresinin oluşumuna “dallanma” denir. Topolojik eşdeğerlik bozulduğunda durum portresinde neler değişebilir? F.C.Hoppensteadt, E.M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997.

bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması Dallanma Diyagramı: Dinamik sistemin parametre uzayının, her bir katmanda topolojik eşdeğerliğe bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması “dallanma diyagramı “ ‘nı verir. Bir örnek S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999 E.M. Izhikevich, “Dynamical Systems in Neuroscience”, MIT Press, 2007