EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Eşanlı denklem sisteminde, Y den X e ve X den Y ye karşılıklı iki yönlü etki vardır. Y ile X arasındaki karşılıklı ilişki nedeniyle tek denklemli bir model kurulamaz. Bu yüzden birden çok denklemli eşanlı bir model kullanmak gerekecektir.

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Bir eşanlı modelde, birbirini karşılıklı olarak etkileyen veya karşılıklı olarak birlikte yer alan bağımlı değişkenlerin her biri için yeni bir denklem yer alır.

İÇSEL DEĞİŞKEN: Bir eşanlı modelde birbirini karşılıklı olarak etkileyen değişkenlere içsel değişken denir. Eşanlı modelde denklemlerin hem solunda hem de sağında aynı anda yer alan değişkenlerdir. Sistemin bağımlı yani tayin edilen değişkenleridir. Bu değişkenlerin değerleri, modelin dışsal değişkenleri ve parametreleri tarafından tayin edilirler. Sistemin içinde belirlenmektedir.

DIŞSAL DEĞİŞKEN: Modelde etkileyici, belirleyici değişkenlerdir. Eşanlı modelde denklemlerin sadece sağında yer alan değişkenlerdir. Tam bağımsız ve gecikmeli içsel değişken olarak iki gruba ayrılırlar.

Y1: Miktar Y2: Fiyat X: Yağış Miktarı Örnek 1 1.Talep Denklemi 2. Arz Denklemi Y1: Miktar Y2: Fiyat X: Yağış Miktarı Yağış miktarı(X) Arz Miktarı Y1 Buğday Fiyatı Y2 X

Örnek 2 Y=f(X)=a0+a1X +u1 X=f(Y)=b0+b1Y+b2I+u2 Y= Para arzı X= Gelir Seviyesi I = Yatırım seviyesi X Y I

GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ Y1=f(X1,X2,X3,................Xk,u1) Y2=f(X1,X2,X3,................Xk,Y1,u2) Y3=f(X1,X2,X3,................Xk,Y1,Y2,u3) GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL Modelin ilk denkleminin sağında sadece dışsal X değişkeni yer alır. İkinci denklemin sağında dışsal değişkenler ve ilk denklemin ilk içsel değişkeni Y1 yer alır. Hata terimleri u’ların birbirinden bağımsız oldukları varsayılır. Geri dönüşlü modellerin denklemleri tek tek basit EKKY ile çözülebilir.

GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ İLE EŞANLI DENKLEM SİSTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRMASI Y1=a0+a1Y2+a3Y3+b1X1+b2X2+u1 Y2=a3+a4Y1+a5Y3+b3X3+u2 Y3=a6+a7Y1+a8Y2+b4X2+b5X3+u3 Y1=a0+b1X1+b2X2+u1 Y2=a1+a2Y1+b3X3+u2 Y3=a3+a4Y1+a5Y2+b4X1+b5X2+u3 EŞANLI MODEL GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL Y1 Y1 Y2 Y3 Y2 Y3 X3 X2 X3 X1 X1 X2

Geri Dönüşlü Model Y1=a10 +b11X1+b12X2+u1 Y2=a20+a21Y1 +b21X1+b22X2+u2 Y3=a30+a31Y1+a32Y2 +b31X1+b32X2 +u3 Y’ler içsel, X’ler dışsal değişkenlerdir. Farklı hata terimleri arasında ilişki yoktur. kov(u1,u2)=kov(u1,u3)=kov(u2,u3)=0 Geri dönüşlü sistemin her bir denklemine ayrı ayrı Basit EKKY uygulanabilir. Geri dönüşlü sistemde içsel değişkenler arasında karşılıklı bağımlılık yoktur. Geri dönüşlü modelin her denklemi tek yönlü sebep ilişkisi gösterir, bu nedenle nedensel modeller olarak da adlandırılır.

YAPISAL MODEL Yapısal model eşanlı modellerin kendisi olup, değişkenler arasındaki ilişkilerin yapısını gösteren denklemlerden meydana gelir. Yapısal denklemler içsel değişkenleri; Diğer içsel değişkenlerin Dışsal değişkenlerin ve Hata teriminin bir fonksiyonu olarak ifade ederler.

= EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Bir yapısal modelin matematiksel olarak çözülebilmesi için gerekli şart: Yapısal modelin denklem sayısı Yapısal modelin içsel değişken sayısı = Y1=a12Y2+a13Y3+…….a1MYM+b11X1+b12X2+……..+b1kXk+ u1 Y2=a21Y1+a23Y3+…….a2MYM+b21X1+b22X2+……..+b2kXk+ u2 Y3=a31Y1+a32Y2+…….a3MYM+b31X1+b32X2+……..+b3kXk+ u3           YM=aM1Y1+aM2Y2+….aMMYM-1+bM1X1+bM2X2+……..+bMkXk+uM a= Y içsel değişkenlerinin yapısal katsayıları b= X dışsal değişkenlerinin yapısal katsayıları

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Y1, Y2, ….YM= İçsel (Karşılıklı Bağımlı Değişkenler) X1, X2,…..,XK= Dışsal Değişkenler İçsel Değişkenler Değerleri model içinde tayin edilir. Stokastiktir Dışsal Değişkenler Değerleri model dışında tayin edilir. Önceden belli değişkenlerdir. Stokastik değildir. İçsel değişkenlerin gecikmeli değerleri (Yt-1) dışsal değişken olarak kabul edilir (ut hata terimi otokorelasyonsuz olduğunda geçerlidir.) Xt, Xt-1, Yt-1 dışsal değişkenler grubundadır.

Genel Daraltılmış Model DARALTILMIŞ MODEL ♦ Yapısal denklemlerden M içsel değişken için çözüm yapılarak daraltılmış kalıp denklemleri ve buna bağlı daraltılmış kalıp parametreleri elde edilebilir ♦ Bir daraltılmış kalıp denklemi bir içsel değişkenin yalnızca dışsal değişkenlerin fonksiyonu olarak ifadesidir. Y1= f(X1,X2,…….,Xk,v1) Y2= f(X1,X2,……,Xk,v2)     YM= f(X1,X2,……,Xk,vM) Genel Daraltılmış Model Yi = πi1X1+πi2X2+…….+πikXk i=1,.. …M Daraltılmış modeldeki dışsal değişken katsayıları(i) kısa dönem çarpanlarıdır.

Yapısal ve Daraltılmış Model Kavramları Değişken: Büyüklüğü değişebilen, yani değişik değerler alabilen bir kavramdır. Katsayı(=Parametre): Katsayı bir değişkenin önünde yer alan sabittir. Denklem ve Özdeşlikler: Tanım denklemleri (Özdeşlikler = Eşitlikler) Davranış Denklemleri Denge Şartı Denklemleri

Basit Makro Ekonomik Model Ct=a0+a1Yt +u1t Tüketim Fonksiyonu Yatırım fonksiyonu It=b0+b1Yt+b2Yt-1+u2t Yt=Ct+It+Gt Gelir Eşitliği Denklemi C:Toplam tüketim harcaması Y:Milli Gelir I:Yatırım G:Devlet(kamu)harcamaları Ct , Yt ve It üç içsel değişkendir. Yt-1 ve Gt dışsal değişkenlerdir. Daraltılmış Kalıp Denklemleri Ct=f (Yt-1,Gt)=π1+π2Yt-1+π3Gt+v1 It=f (Yt-1,Gt)=π4+π5Yt-1+π6Gt+v2 Yt=f (Yt-1,Gt)=π7+π8Yt-1+π9Gt+v3

Gelir eşitliği denkleminde 1 ve 2 numaralı denklemler yerine konursa p7 p8 p9 v3

Daraltılmış Kalıp Denklemleri Ct=f (Yt-1,Gt)=π1+π2Yt-1+π3Gt+v1 π1 π2 π3 v1 It=f (Yt-1,Gt)=π4+π5Yt-1+π6Gt+v2 π4 π5 π6 v2 Yt=f (Yt-1,Gt)=π7+π8Yt-1+π9Gt+v3 π7 π8 π9 v3

Daraltılmış model katsayılarının yapısal parametrelerle elde edilişi :

Yapısal model parametreleri (a,b) ve daraltılmış model parametreleri (p) farklı anlamlıdır. Yapısal parametre, ekonominin tek bir kesimindeki her bir yapısal denklemdeki, her bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki doğrudan etkisini gösterir. Daraltılmış kalıp parametreleri hem doğrudan hem de dolaylı etkileri gösterir. Yapısal modelin herhangi bir denkleminde açıkca görülmeyen bir değişken o denklemin bağımlı değişkenini dolaylı olarak etkileyebilir.

It üzerindeki doğrudan etki p5 daraltılmış parametresine ilişkin doğrudan ve dolaylı etkilerini bulalım: Ct=a0+a1Yt +u1t It=b0+b1Yt+b2Yt-1+u2t Yt=Ct+It+Gt It=f (Yt-1,Gt)=π4+π5Yt-1+π6Gt+v2 p5 Yt-1 deki bir birimlik artışın yatırım üzerinde yaptığı etkiyi ölçer Birinci Kısım Etki İkinci Kısım Etki It=b0+b1Yt+b2Yt-1+u2t Yt-1→It , It Yt , Yt Ct It üzerindeki doğrudan etki Toplam Etki = Doğrudan Etki + Dolaylı Etki

Bir Malın Arz ve Talep Modeli Yapısal Model Talep Fonksiyonu: Arz Fonksiyonu: Denge Şartı Daraltılmış Kalıp Denklemleri: a0+a1Pt+u1=b0+b1Pt+u2 P yalnız bırakıldığında P’nin eşitini talep veya arz denkleminde yerine koyarsak p1 v1 p2 v2

EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI Eşanlı bir modelin herhangi bir denkleminin sağında yer alan içsel değişkenlerden bir veya bir kaçı o denklemdeki hata terimi ile ilişkili iseler, bu denkleme basit EKKY uygulandığı taktirde TUTARSIZ tahminciler elde edilmektedir. EKK / Varsayım-5 : Kov(ui, Xi)=0

EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI 1.kov(Yt,ut)0 İspatı Kov (Y,u)=E{[Y-E(Y)][u-E(u)]} ; E(u)=0 -

EŞANLI MODELLERİN DENKLEM VE DEĞİŞKEN SAYISI Eşanlı bir modelde alınacak denklem sayısı, genelde modelin amacının ileriye yönelik tahmin mi yoksa belli parametrelerin en iyi tahminleri mi olduğuna bağlıdır. Eşanlı bir modelin içsel değişkenlerinin sayısı modelin denklem sayısına eşit olmalıdır. Dışsal değişken sayısı istenildiği kadar alınabilir. Ancak değişken sayısının çok fazla artması modeli karmaşık hale getirir.

C: Tüketim Y: Gelir I :Yatırım G: Kamu harcamaları K: Sermaye stoku

Örnek Bu modeldeki içsel ve dışsal değişkenleri belirleyerek modelde Basit EKKY ile tahmin edilebilecek denklemler olup olmadığını tespit ediniz.