Dizinin Yakınsaklığı, Limit ise yakınsaktır. ‘in limitidir. veya yakınsak değilse ıraksaktır. Sınırlı Küme, sınırlı dizi sonlu ise sınırlı kümedir. M kümesinin çapı ‘e karşı düşen noktalar kümesi ‘in sınırlı bir alt kümesi ise sınırlı dizidir.
Yakınsaklığın tanımına bir daha bakalım Dizinin Yakınsaklığı, Limit ise yakınsaktır. Bu metrikden yararlanarak n=1,2,3,... için bir dizi tanımlayalım Bu dizi nerede? ise Lemma MU3 Sınırlılık ve limit a) ‘de yakınsak bir dizi sınırlıdır ve limiti tektir. b) ‘de ve
Tanıt: Durum1: sınırlılık a) alındığında için olmasını sağlayacak bulunabilir. üçgen eşitsizliğinden sınırlı Durum 2: teklik üçgen eşitsizliğinden hipotezden Yakınsak dizi tanımına dikkat!! metrik tanımından
b) benzer şekilde
Hatırlatma: Cauchy dizisi Bir dizisi her sayısına karşılık gelen bir alındığında olacak şekilde bulunabiliyorsa Cauchy dizisi adını alır. Cauchy Dizisi, Tamlık “Cauchy” dir tamdır ‘deki her Cauchy dizisi yakınsaktır. fakat Cauchy olmasın Örnek
Hatırlatma: Cauchy Yakınsaklık Teoremi yakınsaktır yakınsaklık tanımından Tanıt: üçgen eşitsizliğinden Cauchy dizisi tanımından için
sınırlı dizi Hatırlatma: Weierstrass-Bolzona Teoremi Her sınırlı dizinin yakınsak bir alt dizisi vardır. ‘nin yakınsak alt dizisi olsun Weierstrass-Bolzano Teoreminden Amaç: olduğunu göstermek olduğundan ‘yı öyle seç ki