ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ

ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ Bu bölüme kadar anlatılan yöntemler zaman içinde değişmeyen parametre varsayımına uygun serilerin tahminlerinde kullanılmaktaydı. Bu tür seriler deterministik trende sahip serilerdi. Bir çok zaman serisinin trend yapısı rasgele değişebilmektedir. Bu durumda regresyon katsayısı sabit değer değil her t zamanında değişen değerlere sahip rasgele bir değişken olmaktadır. Bu bölümde zaman içinde değişen parametrelere sahip olan ve bir regresyon doğrusu ya da eğrisine dönme eğilimi olmadığından tek bir regresyon doğrusu ya da eğrisiyle açıklanamayan yani kısaca stokastik trende sahip olan serilerin analizi üzerinde durulacaktır. Üstel düzleştirme yöntemi hem deterministik hem de stokastik trende sahip olan tüm serilere uygulanabilmektedir.

ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ Üstel düzleştirme yöntemi, verilerdeki son değişim ve sıçramaları dikkate alarak tahminlerin ya da öngörülerin devamlı güncelleştirildiği bir yöntemdir. Üstel düzleştirme yönteminde gelecek dönemin (T+1 döneminin) tahminin hesabında son döneme ait tahmin ile bu tahminden elde edilen hatanın bir kısmı kullanılmaktadır. Bu ifade, denklemi ile gösterilebilir.  : Düzleştirme katsayısıdır.

ST: Bir sonraki (gelecek) dönemin, yani (T+1)’inci dönemin tahmini ST-1: Son döneme ait tahmin ( bu tahmin (T-1)’inci dönemde yapılır. ZT: Son döneme ait gerçek değer : Düzleştirme katsayısı yada ağırlık (ZT-ST-1): Son döneme ait tahmin hatası Gelecek dönemin tahmini=ağırlık.(son dönemin gözlem değeri). (1-ağırlık).(son döneme ait tahmin)

Denklemdeki ST-1 terimin eşitliği yazılarak iç içe bu terimler S0 terimine kadar açılırsa denklem Bu yöntemde tahminler elde edilirken gözlem değerleri ağırlıklarla çarpılmaktadır. Bu ağırlıklar 0 ile 1 arasında sabit bir değer olduğundn geçmiş gözlemlere gidildikçe ağırlıkların büyüklüğü gittikçe küçülmektedir. Serinin tahminleri elde edilirken son döneme ait gözlem değerlerinin etkisi daha önemli olmaktadır.

Üstel düzleştirme yönteminde ağırlıkların başka bir deyişle düzleştirme katsayılarının değerlerinin belirlenmesi çok büyük bir önem taşımaktadır. Hata kareler ortalama (HKO) değerini en küçük yapan düzleştirme katsayısı değerini bulmaktadır. Hata kareler ortalaması değerlerinden en küçük olana ait düzleştirme katsayısı değeri deri için en uygun düzleştirme katsayısı olur ve bu değere göre serinin tahminleri elde edilir. Bulunan düzleştirme katsayısı 1 değerine yakın ise son gözlemlerin değerleri doğrudan serinin tahminini etkiler ve bu durum tahmin serisinde aşırı sıçramalara neden olabilir. Düzleştirme katsayısının 0 değerine yakın olması durumunda orijinal serideki değişimler tahmin serisini pek etkileyemez. Tahmin serisindeki ilk verilerle son veriler arasında önemli bir fark olmaz. Bu iki durum da tahminlerin güvenilir olması bakımından istenilen bir özellik değildir.

BASİT ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ Bu yöntem trende ve mevsimsel dalgalanmaya sahip olmayan sadece bir ortalama düzey etrafında hareket eden serilerin analizinde uygulanmaktadır. Bu yöntemde serinin tahminin elde edilebilmesi için aşağıdaki formülden yararlanılmaktadır. Burada S0 başlangıç değeri için serinin ortalaması kullanılmaktadır. Düzleştirme katsayısı  ise tahmin hatasını (HKO) en küçük yapan sabit bir değerdir. Üstel düzleştirme yönteminde son döneme ait veri elde edildikten sonra gelecek döneme ait tahmin yapılabildiğinden bu yöntem ile ilgili denklemlerdeki indis t yerine T, yani örneklem büyüklüğü olduğuna dikkat edilmelidir. Bu yöntemde örneklem büyüklüğü sabit olarak değil de birer birer büyüyen bir değişkendir.

Tahminin alt ve üst sınırını bulabilmek için aşağıdaki formül kullanılmaktadır. ST: Gelecek dönem için öngörü, z/2:/2 önemlilik düzeyinde normal dağılım tablosu HMOT: Son döneme ait hatanın mutlak ortalaması dT: Düzeltme katsayısı, (Bir dönemlik öngörü için 1.25 değerini almaktadır).

Regresyon denklemi sonucunda regresyon katsayısının anlamlı olmadığı görülmektedir. Basit üstel düzleştirme yöntemi kullanılırsa,  HKT 1.00 20.15 0.99 20.18 0.98 20.22 0.97 20.26 0.96 20.31 0.95 20.36 0.94 20.42 0.93 20.49 0.92 20.56 0.91 20.63 Düzleştirme katsayısı 1 değerini almaktadır. Serinin ortalaması 13.6087 olduğundan başlangıç değerleri S0 ve Z0 da 13.6087 olarak seçilmektedir.

Basit üstel düzleştirme yöntemi formülü durumunda olacaktır. Bu durumda 1997 yılının tahmin sınırları

HOLT ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ Trende sahip mevsimsel dalgalanması olmayan serilerin tahmin işleminde Holt üstel düzleştirme yöntemi kullanılmaktadır. : ortalama düzeyin düzleştirme katsayısı : eğimin düzleştirme katsayısı F: öngörünün yapılacağı dönem sayısı Eşitliklerdeki başlangıç değerleri seriye basit regresyon denklemi uygulanarak elde edilmektedir. Regresyon denklemindeki sabit terim (a) a0 ve regresyon katsayısı (b) b0 olmaktadır.

b=b0 ve b0=a Eğer  =1 ve  =0 değerlerini alırsa, Birinci farklarının regresyon denklemi dönmektedir. Serinin trendi doğrusal olduğundan serinin birinci farklarında trend olmayacağı açıktır. Sonuç olarak, üstel düzleştirme formüllerinden yola çıkarak özel regresyon denklemlerine ulaşılmak mümkündür.

Holt üstel düzleştirme yönteminde tahminin alt ve üst sınırlarının bulunması üstel düzleştirme yönteminde olduğu gibidir. Üstel düzleştirme yönteminde dönem sırasıyla tahminler elde edildiğinden her yeni dönem için tahminlerin güncelleştirilmesi gerekmektedir. Bu güncelleştirme işlemi tahmin değerlerinde yapıldığı gibi hatanın mutlak ortalaması için de yapılabilmektedir. Eğer bir dönem önceki hatanın mutlka ortalaması biliniyorsa, bir dönem sonraki hatanın mutlak ortalaması da

WINTERS ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ Trende ve mevsimsel dalgalanmaya sahip serilerin tahmininde Winters üstel düzleştirme yöntemi kullanılmaktadır. Bu yöntem önce serinin ortalama düzeyine, eğimine ve sonra mevsimsel bileşenine uygulanmaktadır. Toplamsal modele uygun serilerde bu yöntem aşağıda verilen formülleri kullanarak tahminlerin güncelleştirilme işlemini yapmaktadır. Ortalama düzeyinin güncelleştirilmesi aT: T dönemindeki ortalama düzey (sabit terim) için yeni düzleştirme tahmini : Ortalama düzey için düzleştirme katsayısı ZT - MT (T-s): T dönemindeki mevsimsellikten arındırılmış orijinal veriler aT-1: (T-1) döneminde ortalama düzey için yapılan eski düzleştirme tahmini bT-1: (T-1) döneminde bulunan eğimin eski düzleştirme tahmini

Serinin eğiminin güncelleştirilmesi bT : T dönemindeki eğimin yeni düzleştirme tahmini : eğim için düzleştirme katsayısı aT – aT -1 : Ortalama düzeyin yeni tahmini ile eski tahmini arasındaki fark bT – 1 : (T-1) döneminde bulunan eğimin eski düzleştirme tahmini

Serinin mevsimsel bileşeninin güncelleştirilmesi MT + s (T) : T dönemindeki mevsimsel bileşen için yeni düzleştirme tahmini : Mevsimsel bileşen için düzleştirme katsayısı ZT – aT : Orijinal verilerden ortalama düzeyin yeni tahmini çıkartılarak elde edilen verilerdeki mevsimsel değişim MT (T – s) : (T – s) döneminde bulunan mevsimsel bileşeninin eski düzleştirme tahmini

Gözlemin tahmin değerinin elde edilmesi, : Bir sonraki dönem (T+1) için öngörü aT : T dönemindeki ortalama düzeyin düzleştirme tahmini bT : T dönemindeki eğim için düzleştirme tahmini MT +1 ( T +1 –s) : (T + 1- s) döneminde yapılan (T + 1) dönemi için düzleştirme tahmini

Çarpımsal modele uygun seriler için bu güncelleştirme formülleri:

Winters üstel düzleştirme yönteminde başlangıç değerleri regresyon analizi ya da ayrıştırma yöntemi kullanılarak elde edilir. Regresyon analizi ile başlangıç değerlerini bulabilmek için periyodu 4 olan bir seri olduğu varsayılsın. Bu seriye uygulanan regresyon denklemi: M değişkenleri mevsimsel kukla değişkenleridir. Periyot 4 ise denklemde 3 tane kukla değişken olmalıdır. Regresyon denklemindeki regresyon katsayısı c1 birinci mevsim kukla değişkenin başlangıç değeri M1(0); c2 ikinci mevsim kukla değişkenin başlangıç değeri M2(0); c3 üçüncü mevsim kukla değişkenin başlangıç değeri M3(0) ve M4(0) terimi ise 0 olmaktadır. Z t M1 M2 M3 Z1 1 Z2 2 Z3 3 Z4 4 Z5 5 Z6 6 .

Başlangıç değeri ayrıştırma yöntemine göre de bulunabilmektedir Başlangıç değeri ayrıştırma yöntemine göre de bulunabilmektedir. Ayrıştırma yöntemine göre elde edilen birinci mevsimsel endeks M1(0); ikinci mevsimsel endeks M2(0); üçüncü mevsimsel endeks M3(0) ve dördüncü mevsimsel endeks M4(0) terimlerini oluşturmaktadır. Bu başlangıç değerleri sayısı periyot değeri kadar olmalıdır. Tahmin sınırlarının bulunması basit üstel düzleştirme yönteminde olduğu gibidir. Winters yöntemi uygulanana seride trend önemsiz ise ilgili tüm formül ve denklemlerde trende ait terimlerin ihmal edilmesi gerekmektedir. Üstel düzeltme yönteminde minimum HKO değerini veren düzleştirme katsayıları önemlidir. Optimal olarak düşünülen düzleştirme katsayılarının devamlı bir şekilde bu özelliklerini koruyup korumadığını kontrol etme için aşağıdaki Sinyal İzleme Yöntemi kullanılabilir. Sİ değeri 4 ile 6 değerleri arasında bir değer alırsa düzleştirme katsayılarının optimallik özelliklerini devam ettirdikleri söylenebilir. Eğer bu değer belirtilen aralığın dışında bir değer alıyorsa bu durumda baştan yeni düzleştirme katsayıları bulunmalıdır.