DERS2 Prof.Dr. Serpil CULA BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ TİCARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ SİGORTACILIK VE RİSK BÖLÜMÜ Ankara / TÜRKİYE Doç.Dr. Serpil CULA Başkent Üniversitesi, Ticari Bilimler Fakültesi, Sigortacılık ve Risk Bölüm Başkanı “???????????????????????????????????????????” konulu takdimimi… Prof.Dr. Serpil CULA DERS2

İki Değişkenli Olasılık Kenar (Marjinal) Olasılıklar: İki değişkenli olasılıklarda (çapraz tablo oluşturuluyor) tekil olay olasılıklarına kenar olasılıklar denir. Tablo da verilen Ai ve Bj olayları için, P(Ai) ve P(Bj) kenar olasılıkları gösterir. Ortak Olasılıklar: İki değişkenli olasılıklarda arakesit olasılıkları olarak yazılır. Bu olasılıklara ortak olasılıklar denir. Burada kenar olasılıklar, Ai olayını oluşturan ve birbirlerinden ayrık olan olasılıklarının toplamına eşittir. Bu sonuç P(Bj) için de geçerlidir. Yani olur.

İki Değişkenli Olasılık Ekonomi sayfasını okuma örneğinde, rasgele seçilmiş bir kimsenin bu sayfayı ara sıra okuyor olma olasılığı: P(Ara sıra okuyor)=P[Ara sıra okuyor(25 yaş ve küçük)]+ P[Ara sıra okuyor(26-40]+ P[Ara sıra okuyor(41 yaş ve büyük)] Diğer olasılıklar da benzer biçimde aşağıdaki gibi elde edilir; P(Düzenli okuyor)=0,37 ; P(Hiç okumuyor)=0,18 ; P(25 yaş ve küçük)=0,27 ; P(26-40)=0,36 ; P(41 yaş ve büyük)=0,37 A1, A2, ..., Ak ayrık ve bütünü tamamlayan olaylar olduğundan olasılıklar toplamı 1 olacaktır. Aynı durum hem B olayları hem de arakesit olayları olan (AiBj)’lere ait ortak olasılıkları için geçerlidir. Yani, dir.

İki Değişkenli Olasılık Koşullu Olasılık: Verilen araştırmada (26-40) yaş grubunda ekonomi sayfasını okuyanlar bizi daha fazla ilgilendirebilir. Ya da, bir sigorta şirketinde sağlık sigortası yaptıran müşterilerden herhangi birinin bir yıl içinde sigortacısına sağlık masraflarının karşılanması için başvurma olasılığı yerine, (50-60) yaş grubunda olan müşterilerden birinin başvurma olasılığı bizi daha çok ilgilendirir. Görüldüğü gibi istenen olasılık bir ek koşul altında belirlenmektedir. Burada belli bir olayın gerçekleşme olasılığı, bir başka olayın gerçekleşmesi verilmişken ilgilenmemizi gerektirmektedir. A ile B iki olay olsun. B olayının gerçekleştiği biliniyorken, A olayının gerçekleşme olasılığına koşullu olasılık denir ve P(A/B) ile gösterilir. P(B)>0 olma şartı ile bu olasılık, olarak tanımlanır.

İki Değişkenli Olasılık Ekonomi sayfası okuma ile ilgili araştırmada, rasgele seçilmiş bir kişinin (26-40) yaş grubunda olduğu bilindiğine göre, bu sayfayı ara sıra okuma olasılığı: P[Ara sıra okuyor/(26-40)]=P[Ara sıra okuyor(26-40)]/P(26-40) (25 ve daha küçük) yaş grubunda olduğu bilinen kişinin, bu sayfayı hiç okumama olasılığı aşağıda verilmiştir: P[Hiç okumuyor/(25 yaş ve küçük)]=P[Hiç okumuyor(25 yaş ve küçük)]/P(25 yaş ve küçük)

İki Değişkenli Olasılık Bağımsız Olay: İki ya da daha çok olayın ortaya çıkması birbirlerine bağlı değilse bu olaylara bağımsız olaylar denir. Örneğin iki zar birlikte atılırsa, zarlardan birinin 3, diğerinin 2 gelmesi bağımsız iki olaydır. A ve B olaylarının bağımsız olması için gerek ve yeter koşul, P(AB) =P(A)P(B) dir. A ve B bağımsız iki olay ise, P(A/B)=P(A) ve P(B/A)=P(B) olur. Örnek: Ekonomi sayfasını okuma ile ilgili araştırmada, (26-40) yaş grubu ile (Ara sıra okuma) olayları bağımsız mıdır? P(26-40)=0,36, P(Ara sıra okuyor)=0,45, P[(26-40)(Ara sıra okuyor)=0,13 0,360,45=0,16 → 0,13 0,16 olduğundan, bu iki olay bağımsız olaylar değildir.

İki Değişkenli Olasılık BAYES Teoremi: Toplam olasılık formülünde, S örneklem uzayının E1, E2,..., Ek gibi birbirinden ayrık ve toplamları S örneklem uzayını oluşturacak alt uzaylara ayrıldığı düşünülür. Örnek: Bir sigorta şirketi bir bölgede sağlık sigortaları için faaliyet gösterecektir. Ön bilgi için o bölgede yaşayan kitlenin yaş dağılımı ile ilgili bir araştırma yapılmış ve bilgiler Tablo’da verilmiş tir. Tablo:Yaşlara İlişkin Göreli Sıklıklar Yaşlar 0-15 16-25 26-40 41-55 56 ve üzeri Göreli sıklık (olasılık) 0,16 0,25 0,22 0,12 Tablo’da olaylar, E1:{0-15}, E2:{16-25}, E3:{26-40}, E4:{41-55}, E5:{56 ve üzeri} olarak ayrılmıştır. Bu yaş grupları ayrıktır ve toplamları S örneklem uzayını vermektedir.

İki Değişkenli Olasılık Bu bölgede bir anket uygulandığı düşünülsün. Burada sağlık sigortası yaptırmayı düşünenler için bir A olayı tanımlansın. E1 E2 E3 E4 E5 A Şekil A Olayının E1,...,E5 İle Gösterimi A olayının olasılığı, elde edilir Ei’lerin n tane olduğunu düşünülürse, P(A) olasılığı olarak yazılabilir. Bu eşitlik toplam olasılık formülü olarak adlandırılır. Örnek de, birinci yaş grubunda olup, sağlık sigortasını yapmayı düşünenlerin olasılığı, P(A/E1)=0,01 ; P(A/E2)=0,10 ; P(A/E3)=0,09 ; P(A/E4)=0,12 ; P(A/E5)=0,20 olmak üzere bu bölge için P(A) olasılığını bulunuz. Toplam olasılık formülü kullanılarak sigorta yaptırmayı düşünenlerin olasılığı; P(A)=(0,16x0,01)+(0,25x0,10)+(0,22x0,09)+(0,25x0,12)+(0,12x0,20)=0,1004 olarak bulunur.

İki Değişkenli Olasılık BAYES Formülü: Önceki örnek de araştırma yapılan bölgeden herhangi bir kişi belirlenmiş ve sağlık sigortasına başvurmayı düşündüğü anlaşılmıştır. Bu kişinin hangi yaş grubundan olabileceği araştırılmıştır. Koşul, sağlık sigortası yaptırmayı düşünenler olup, dır. P(EiA)=P(Ei)P(A/Ei) yazılabileceği daha önce görülmüştü. P(A) içinde toplam olasılık formülü kullanılarak; P(A)=P(E1)P(A/E1)+ P(E2)P(A/E2)+ P(E3)P(A/E3)+ P(E4)P(A/E4)+ P(E5)P(A/E5) olur. P(Ei/A) eşitliğinde bu bilgiler yerlerine konulur ise, elde edilir. Bu eşitliğe Bayes formülü denir. P(Ei) olasılıklarına önsel olasılıklar denir. Önsel olasılıklar konu ile ilgili verilebilecek önceki olasılıklardır. P(Ei/A) olasılıklarına da sonsal olasılıklar (ardıl) denir.

İki Değişkenli Olasılık Örnek: Sigorta şirketi örneğinde; bir kişi sigorta yaptırmayı düşündüğüne göre, bu kişinin 56 ve üzeri yaş grubunda olma olasılığı nedir? P(56 ve üzeri/A)=P[(56 ve üzeri)A]/P(A) P[(56 ve üzeri)A]=P(Ei)P(A/Ei) =0,12 x 0,20 = 0,024 Daha önce hesaplanan A olasılığına ait 0,1004 değeri yukarıdaki eşitlikte yerine yazılırsa, elde edilir. Diğer olasılıklarda benzer biçimde bulunabilir.

İki Değişkenli Olasılık Örnek: Bir şirketin risk yöneticisi çok sayıda fonun geleceğini değerlendirmiştir. Ertesi yıl, bu fonların başarısı incelenmiş ve aşağıda verilen sonuçlar elde edilmiştir: E1:{Fon pazar ortalamasının çok üstünde başarı gösteriyor} E2:{Fon pazar ortalamasıyla aynı başarıyı gösteriyor} E3:{Fon pazar ortalamasının çok altında başarı gösteriyor} A:{Risk yöneticisi tarafından fonun alınmaya değer bulunması} P(E1)=0,35 ; P(E2)=0,50 ; P(E3)=0,15 ve fonların risk yöneticisi tarafından alınmaya değer bulunma olasılıkları, P(A/E1)=0,40 ; P(A/E2)=0,30 ; P(A/E3)=0,15 olarak belirlenmiştir. Risk yöneticisi tarafından fonun alınmaya değer bulunması kararı verilmişken, pazar ortalamasının çok üstünde başarılı olmasının olasılığı nedir?