Ölçme Sonuçları Üzerinde İstatistiksel İşlemler Ölçme Sonuçlarının Düzenlenmesi a) Merkezi eğilim ölçüleri: 1) Tepe değer (mod): 2) Ortanca (medyan): 3) Aritmetik ortalama b) Merkezi dağılım ölçüleri: 1) Dizi genişliği (Ranj): 2) Standart kayma (sapma) ve varyans:

A) TEPE DEĞER (MOD): Bir  puan dağılımında en çok tekrar eden (frekansı en çok olan) puandır. Gruplanmış puanlarda mod, frekansı en çok olan aralığın orta noktasıdır. Bazı dağılımlarda birden çok mod olabilir. İki modlu ya da çok modlu dağılımlar vardır.   En fazla frekansa sahip sayı art arda gelmişse ikisinin toplanıp, ikiye bölünmesi o ölçümün modunu verir. Gruplandırılmış dağılımda ise en fazla frekansa sahip aralığın  orta noktası o grubun modunu oluşturur.

ÖRNEK 1 20-21-22-22-23-24-25-27-27-27-27-28-28-29-30-32-32-34-38-38-38-40 MOD: 27 ÖRNEK 2 Dağılım Frekans(f) 30-34 3 25-29 5 MOD 20-24 2

Tepe değer (Mod) Puan aralığı Frekans 32-34 4 35-37 3 38-40 7 41-43 6 44-46 8 47-49 2 50-52 Gruplandırılmış verilerde mod; en fazla frekansa sahip olan aralığın orta noktasıdır. Burada mod: 45 olur.

B) ORTANCA (MEDYAN): Bir puan dizisini tam ikiye bölen noktaya rastlayan puandır. Ortanca ölçüm sayısına eklenecek herhangi bir değerden hemen etkilenir.

Norma dizide ortanca 20-23-24-27-30-34-35-38-44-45-48-50-55-62-66-66-70-72-78-82-83 = 21 adet değer var (21 +1)/2=11. değer (48) ortanca Çift sayı olursa 20-23-24-27-30-34-35-38-44-45-47-50-54-62-66-66-70-72-78-82-83-88-89-91= 24 adet değer var (24)/2=12. değer baştan ve sondan bulunur 50 ve 54 bunlar toplanıp 2’ye bölünür (50+54)/2= 52 ortanca

Gruplandırılmış verilerde ortanca Gruplandırılmış puan dağılımında ortanca yandaki formül yardımıyla bulunur.

C) ARİTMETİK ORTALAMA: Aritmetik ortalama bütün ölçümlerin toplamının ölçüm sayısına bölünmesiyle elde edilir. Aritmetik ortalama ,bir dağılımdaki verilerin ağırlık merkezini gösterir. Dağılıma yeni gözlem değerlerinin eklenmesi  ya da çıkarılması aritmetik ortalamayı etkiler.   ∑ X       X = --------- N

ÖRNEK 20-23-24-27-30-34-35-38-44-45-47-50-54-62-66-66-70-70-79-83-86-89-90-91= 1323 (∑ X ) N= 21 ∑ X       X = --------- N 1323/21= 63 (aritmetik ortalama)

GRUPLANDIRILMIŞ VERİLERDE ARİTMETİK ORTALAMA Gruplar Orta nokta(Xo )   f f.X o 40-44 42 3 126 35-39 37 2 74 30-34 32 5 160 25-29 27 81 20-24 22 4 88 toplam 17 (N) 529 (∑f X o ) Yukarıdaki tabloda verilen değerlerin aritmetik ortalaması     ∑f X o Aritmetik Ort= ------------                             N                                     529 Aritmetik Ortalama  =   --------- = 31,11                                         17

ARİTMETİK ORTALAMA ÖZELLİKLERİ (Aritmetik ortalama bir grubun) -        Öğrenme düzeyini -        Öğrencilerin başarısını -        Grubun genel başarı düzeyini -        Grubun mutlak başarı düzeyini -        Grubun ağırlık merkezini -        Ortalama başarı düzeyini -        Öğrencilerin öğrenme derecelerine göre sıralanmasını -        Testin ayırıcılık gücü (bilen – bilmeyen) öğrencileri ayırma -        Kullanılan ölçme aracının güçlük düzeyini açıklama -       programın etkinlik düzeyini belirlemede kullanılır.

Merkezi Eğilim Ölçülerini Yorumlama 1.  Grubun/sınıfın puanlarının normal dağılım ya da simetriklik gösterip göstermediğini ortaya koyar. Normal dağılım bir sınıfta bulunan tüm üyelerin benzer bir özellik taşıdığı fikridir. üç ölçümün(mod-medyan-arit.ort) değerleri aynı yada birbirine çok yakınsa sınıf normal dağılım  ya da simetriklik gösteriyor denir. Normal dağılım başarı ya da başarısızlıktan ziyade puanların hangi noktada yoğunlaştığını gösterir. 2. Grubun öğrenme düzeyini (grubun başarı düzeyini) belirler. Eğer grubun aritmetik ortalaması yüksekse grubun öğrenme düzeyi yüksek, aritmetik ortalama düşükse grubun öğrenme düzeyi (grubun başarı düzeyi)  düşüktür.

3. Grubun mutlak başarı düzeyini belirler. Eğer grubun aritmetik ortalaması yüksekse grubun mutlak başarı düzeyi yüksek, aritmetik ortalama düşükse grubun mutlak başarı düzeyi düşüktür 4. Öğrencilerin en başarılı ve en başarısız olduğu dersleri gösterir. En yüksek aritmetik ortalamaya sahip ders öğrencilerin en başarılı olduğu, En düşük aritmetik ortalamaya sahip ders öğrencilerin en başarısız olduğu derstir.

5. Aritmetik ortalama>Ortanca>Mod şeklinde ise dağılım Sağa çarpık yani pozitif kayışlıdır. 6. Aritmetik ortalama<Ortanca<Mod şeklinde ise dağılım Sola çarpık yani negatif kayışlıdır.

Çarpıklık Nedir? (mod, medyan ve ortalama arasındaki ilişki) Bu ilişki sonucunda üç tür dağılım ortaya çıkar: Sağa çarpık, Sola çarpık, Normal dağılım.

Sola Çarpık dağılım (Negatif kayışlı) Frekans Yorum: Öğrencilerin çoğunluğu ortalamanın üstündedir, Grubun başarısı yüksektir, Test kolaydır, Öğretim yeterlidir, öğrenme olmuştur X < Med < Mod Puan

Sağa Çarpık dağılım (Pozitif kayışlı) Frekans Yorum: Öğrencilerin büyük bir kısmı ortalamanın altında toplanmıştır, Grubun başarısı düşüktür, Test zordur, Öğretim yetersizdir, öğrenme olmamıştır. Mod < Med < X Puan

Normal dağılım (Simetrik) Yorum: Öğrencilerin yarısı ortalamanın üstünde, yarısı da altında kalır, Grubun başarısı normaldir, Test orta güçlüktedir. Frekans Mod=Med=X Puan

26 ve üstü: heterojen, basık dağılım. Bağıl Değişkenlik Katsayısı (V) Formül: Yorum: 26 ve üstü: heterojen, basık dağılım. 20-25 arası: Normal, simetrik dağılım. 19 ve aşağısı: Homojen, sivri dağılım

BAĞIL DEĞİŞKENLİK KATSAYISI Bağıl Değişkenlik Katsayısı (V)  =  ------- x 100 Art.ort BİRİNCİ ÖRNEK V    = (1,3 / 3) X 100 V    = 43,33 İKİNCİ ÖRNEK V   = (1,3 / 7) X 100 V    = 18,57  (Daha başarılıdır) Bağıl Değişkenlik Katsayısı (V)= 0 - 20 arasında   = Sivri dağılım  (homojen dağılım) 20 - 25 arasında = normal dağılım 25 - büyük          = Basık dağılım (Heterojen dağılım)

DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ Verilerin birbirinden ne kadar ayrıldıklarını veya bir doğru etrafında yayılmalarının ne kadar olduğunu ortaya koyan ölçümlerdir. Değişim ölçülerinden  en çok kullanılanlar Ranj, Variyans ve Standart sapmadır.

Örneğin Elimizde beşer kişilik iki öğrenci grubunun 10 üzerinden aldıkları Coğrafya dersi notları şöyledir. Grup 1:           5, 6, 6, 6,7 X(Aritmetik Ortalama)= 6 Grup 2:           2, 3,6, 9, 10             X(Aritmetik Ortalama)= 6 İki grubun aritmetik ortalaması da aynıdır. (6) Fakat birinci grubun notları 5-7 arasında dağılmıştır. Yani homojendir. İkinci gurubun notları ise 2-10 arasında dağılmıştır. Grup coğrafya bilgisi yönünden homojen değildir.

A) RANJ (DİZİ GENİŞLİĞİ): Dizi genişliği (Ranj), bir dağılımdaki puanların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farktır.   (Ranj) = (En Büyük ölçüm) – (En Küçük ölçüm) 24-30-34-36-40- 50-55-60-63-70-76-82-88 88-24=64

Ranj değeri dikkate alınarak yapılabilecek yorumlar: 1.  Ranj değeri büyük olan grupların test sonuçları ranj değeri küçük olan grupların test sonuçlarından daha güvenilirdir. 2.  Ranj değeri büyük olan grubun heterojen olduğu,  bilenle bilmeyenin birbirinden ayrıldığı, bireylerin ölçülen özellik bakımından  farklılık gösterdiği söylenebilir. 3.  Ranj değeri küçük olan bir gurubun homojen olduğu, bilenle bilmeyenin birbirinden ayrılamadığı, bireylerin ölçülen özellik bakımından benzer olduğu söylenebilir.

B) STANDART SAPMA ve VARYANS Standart kayma, varyansın karekökü olarak tanımlanır.                         ∑ (X –X)2             S2 =  _________________                          N – 1  Buna göre, bir dizi ölçümünün standart kayması, ölçümlerin ortalamadan olan farklarının kareleri ortalamasının kareköküne eşittir.                        

Standart Sapmayı hesaplamak için şu adımlar atılır 1. Gözlenen ölçümlerin her birinin ortalamadan (X ) olan farkları bulunur 2. Ortalamadan olan farkların kareleri toplamı bulunur 3. Farkların kareleri toplamı, N-1 ile bölünür 4. Elde edilen değerin karekökü alınır.

Değişim Ölçülerini Yorumlama STANDART SAPMA BÜYÜK İSE; STANDART SAPMA KÜÇÜK İSE; -Öğrenciler arasındaki farklılaşma fazladır -Öğrenciler arasındaki farklılaşma azdır -Grup heterojendir. -Grup homojendir. -Bilen öğrenciler ile bilmeyen öğrenciler birbirinden ayrılmıştır. -Bilen öğrenciler ile bilmeyen öğrenciler birbirinden ayrılmamıştır. -Güvenirlik yüksektir. -Güvenirlik düşüktür. -Uygulanmış olan testin ayırt ediciliği yüksektir. Uygulanmış olan testin ayırt ediciliği düşüktür. Uygulanmış olan testin iç tutarlılık anlamında (KR-20’si) güvenirliği yüksektir -Uygulanmış olan testin iç tutarlılık anlamında (KR-20’si) güvenirliği düşüktür.