Ölçme Değerlendirmede İstatistiksel İşlemler

VERİLERİN DÜZENLENMESİ 10, 10, 30, 30, 30, 30, 40, 40, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 90, 90, 100, 100, 100, 100 Puan Frekans Yığılmalı Frekans Yüzde Yığılmalı Yüzde 10 2 30 4 6 20 40 8 50 60 14 70 90 16 80 100 Frekans: Gözlenme sıklığı Yığılmalı Frekans: Belli bir puana kadar, grupta o puan aralığında kaç kişinin olduğunu gösterir.

VERİLERİN DÜZENLENMESİ Puanlar: 31, 20, 56, 31, 17, 50, 29, 47, 46, 44, 21, 43, 27, 42, 34, 40, 22, 39, 38, 38, 37, 32, 27, 37, 36, 59, 36, 17, 35, 33, 42, 32, 31, 30, 30, 29, 28, 35, 52, 38, 27, 36, 25, 34, 24, 36, 50, 22, 43, 32, 21, 37. Puanlar: 59, 56, 52, 50, 50, 47, 46, 44, 43, 43, 42, 42, 40, 39, 38, 38, 38, 37, 37, 37, 36, 36, 36, 36, 35, 35, 34, 34, 33, 32, 32, 32, 31, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 28, 27, 27, 27, 25, 24, 22, 22, 21, 21, 20, 17, 17.

Verilerin Gruplandırılması Grup sayısının belirlenmesi: Puanlarının tümünün gösterimi zor olduğu durumlarda puanlar grup şeklinde verilir. Kaç tane grubun olacağına uygulayıcı karar verir. Grup aralık katsayısının belirlenmesi: Puanların gruplandırılacağı aralığın genişliğini, grup aralık katsayısı belirler. En yüksek puandan en düşük puan çıkarılarak tercih edilen grup sayısına bölünür. 59-17/15= 2,9 ˜ 3 Puanların gerçek puan aralıklarının belirlenmesi: Puanların sürekli hale getirilmesi için tam sayılarla tanımlanan değerlerde her grubun başlangıç noktasının 0,5 altına, bitim noktasının 0,5 puan üstüne doğru genişletilmesi ile elde edilir.

Puanlar f Aralığın Orta Noktası Yığılmalı Frekans Aralığın Gerçek Sınırı 1. Grup 57 - 59 1 58 56,5-59,5 2. Grup 54 - 56 55 2 53,5-56,5 3. Grup 51 - 53 52 3 50,5-53,5 4. Grup 48 – 50 49 5 47,5-50,5 5. Grup 45 - 47 46 7 44,5-47,5 6. Grup 42 - 44 43 12 41,5-44,5 7. Grup 39 – 41 40 14 38,5-41,5 8. Grup 36 - 38 10 37 24 35,5-38,5 9. Grup 33 – 35 34 29 32,5-35,5 10. Grup 30 – 32 8 31 29,5-32,5 11. Grup 27 – 29 6 28 26,5-29,5 12. Grup 24 – 26 25 45 23,5-26,5 13. Grup 21 – 23 4 22 20,5-23,5 14. Grup 18 – 20 19 50 17,5-20,5 15. Grup 15 - 17 16 14,5-17,5

SÜTUN-BAR GRAFİĞİ

ÇİZGİ GRAFİĞİ

DAİRE (PASTA) GRAFİĞİ

MERKEZİ EĞİLİM (YIĞILMA) ÖLÇÜLERİ * Aritmetik Ortalama * Ortanca (Medyan) * Mod (Tepe Değer)

_________________________ Aritmetik Ortalama Gruplandırılmamış Veriler Ʃ X ___________________________ N Aritmetik Ortalama Puanlar toplamı Eleman sayısı = = 26 _________________________ 5 3, 4, 8, 5, 6 = 5,2 =

Aritmetik Ortalama Aritmetik Ortalama = N Ʃf * X = Gruplandırılmış Veriler Aritmetik Ortalama Toplam frekans x Puan aralığı orta noktası Eleman sayısı = Ʃf * X _____________________________________________________________ N o =

1795 52 34,52 Puanlar f X f * X Aritmetik Ortalama = = = ƩX= 52 57 - 59 54 - 56 51 - 53 48 – 50 45 - 47 42 - 44 39 – 41 36 - 38 33 – 35 30 – 32 27 – 29 24 – 26 21 – 23 18 – 20 15 - 17 1 2 5 10 8 6 4 58 55 52 49 46 43 40 37 34 31 28 25 22 19 16 58 55 52 98 92 215 80 370 170 248 168 50 88 19 32   = 1795 52 = 34,52 = ƩX= 52 Ʃf.X = 1795 o

Aritmetik ortalamayı hesaplayınız.   (10+12)/2=11 (13+15)/2=14 (16+18)/2=17 (19+21)/2=20 (22+24)/2=23

AĞIRLIKLI ORTALAMA Puanların ortalamaya olan katkılarına farklı ağırlıklar verilerek hesaplanan ortalamaya denir.  

Bu öğrencinin ağırlıklı ortalaması kaçtır? Ders Kredi Not Fizik 4 Kimya 3 Biyoloji 5 Matematik Edebiyat Bu öğrencinin ağırlıklı ortalaması kaçtır?

Ders Kredi Not Kredi x Not Fizik 4 16 Kimya 3 12 Biyoloji 5 15 Matematik 20 Edebiyat  

) . değer ) . değer Ortanca - Medyan Ortanca Ortn Ortn = Sıradaki ( 2 ) . değer 3, 4, 8, 5, 6 3, 4, 5, 6, 8 = Sıradaki ( ) . değer Ortn 5 + 1 2 Ortn 3, 4, 5, 6, 8 = Sıradaki 3. değer

) . değer Ortanca - Medyan Ortn Ortn = Sıradaki ( 1, 2, 3, 5, 7, 8 Veri Sayısı Çift 3, 5, 2, 1, 8, 7 1, 2, 3, 5, 7, 8 = Sıradaki ( 6 + 1 2 ) . değer Ortn 1, 2, 3, 5, 7, 8 Ortn = Sıradaki 3,5. değer Ortn = 4

Ortanca - Medyan ) ( . a Gruplandırılmış Veriler Puanlar f N/2 – f f Ortn = As + a 57 - 59 54 - 56 51 - 53 48 – 50 45 - 47 42 - 44 39 – 41 36 - 38 33 – 35 30 – 32 27 – 29 24 – 26 21 – 23 18 – 20 15 - 17 1 2 5 10 8 6 4 ortn As = Ortancanın bulunmuş olduğu aralığın alt sınırı f = Ortancanın bulunduğu aralığın altında kalan toplam frekans f = Ortancanın bulunmuş olduğu aralığın frekansı yf = Yığılmalı frekans a = Aralık katsayısı a ortn 23 ƩN= 52

Ortanca - Medyan ( ) ( ) ( ) Puanlar f . a . 3 . 3 Gruplandırılmış Veriler Puanlar f N/2 – f f . a ( ) Ortn = As + a 57 - 59 54 - 56 51 - 53 48 – 50 45 - 47 42 - 44 39 – 41 36 - 38 33 – 35 30 – 32 27 – 29 24 – 26 21 – 23 18 – 20 15 - 17 1 2 5 10 8 6 4 ortn 52/2 – 23 5 ( ) . 3 Ortn = 32,5 + 3 5 ( ) . 3 Ortn = 32,5 + Ortn = 34,3 ƩN= 52

Mod – Tepe Değer * Bir dağılımda frekansı en fazla olan değerdir. Gruplandırılmamış Veriler 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 10 Mod = 6

Mod – Tepe Değer Puanlar f Gerçek Mod = 3 - 2 Ortn Gruplandırılmış Veriler Puanlar f Mod Aralığı = 36 – 38 Kaba Mod = 37 57 - 59 54 - 56 51 - 53 48 – 50 45 - 47 42 - 44 39 – 41 36 - 38 33 – 35 30 – 32 27 – 29 24 – 26 21 – 23 18 – 20 15 - 17 1 2 5 10 8 6 4 Gerçek Mod = 3 - 2 Ortn 36 – 38 10 = 34,52 Ortn = 34,3 Gerçek Mod = 3*34,52 - 2*34,3 Gerçek Mod = 34,96 ƩN= 52

Ardışık iki ölçüm birbirine eşit sayıda ve öteki ölçümlerden daha çok tekrarlanmışsa bu gibi durumlarda mod ardışık iki ölçümün orta noktası olur. 31, 31, 32, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 35, 36, 36 Mod= (33+34)/2= 33,5 Bir puan dağılımında ardışık olmayan iki ya da daha çok ölçüm eşit sayıda ve öteki ölçümlerden daha çok tekrarlanırsa, bu ölçümlerin hepsi mod sayılır ve dizinin çift ya da çok modlu olduğunu gösterir. 21,21,22,22,22,23,23,23,23,24,25,25,25,25,26 Mod= 23 ve 25’tir.

Mod=13-15 olduğu için 14’tür.

DAĞILIM EĞRİLERİ Normal Dağılım Sola Çarpık Dağılım Sağa Çarpık Dağılım

DAĞILIM EĞRİLERİ Ortn Mod Normal Dağılım = Medyan= Mod

Normal (Simetrik) Dağılım Ortalamaya eşit uzaklıktaki puanların frekansları birbirine eşittir. Puanların yarısı aritmetik ortalamanın altında, yarısı üstündedir. Dağılım eğrisi üzerindeki noktalar düşey eksene göre simetriktir.

DAĞILIM EĞRİLERİ Ortn Mod Sola Çarpık Dağılım < Medyan< Mod

Sola Çarpık Dağılım Sola çarpık dağılımlara, ortalamanın çok altında kalan puanlar ortalamayı sayı doğrusu üzerinde negatif yöne doğru (sola) çektiği için negatif kayışlı da denir. Puanların yarıdan fazlası aritmetik ortalamanın üzerinde toplanır. Bu nedenle dağılım yüksek puanlarda, yani sağa doğru yığılma gösterir.

Sola Çarpık Dağılım Negatif kayışlıdır. Öğrenme yeterlidir. Test öğrencilere kolay gelmiştir. Öğrencilerin başarıları yüksektir. Öğrencilerin öğrenme düzeyi yüksektir. Öğrencilerin çoğu hedef davranışı kazanmıştır

DAĞILIM EĞRİLERİ Mod Ortn Sağa Çarpık Dağılım > Medyan> Mod

Test öğrencilere zor gelmiştir. Sağa Çarpık Dağılım Puanların yarısından fazlası aritmetik ortalamanın altında kalır. Bu nedenle dağılım düşük puanlarda, yani sola doğru yığılma gösterir. Pozitif kayışlıdır. Öğrenme yetersizdir. Test öğrencilere zor gelmiştir.

DAĞILIM EĞRİLERİ Sivri Basık Normal

MERKEZİ YAYILMA ÖLÇÜLERİ * Genişlik (Ranj) * Çeyrek Sapma * Standart Sapma * Varyans

Genişlik (Ranj) * G = X - X G = 57 - 17 = 40 Puanların hangi aralıkta değiştiğini gösteren en basit merkezi dağılım ölçüsüdür. * Genişlik (Ranj) = En Yüksek Puan - En Düşük Puan * G = X - X EY ED G = 57 - 17 = 40 * Genişlikle ilgili hesaplamalar tam sağlıklı değildir. * Uçlardan biri veya ikisi değişirse, sonucu fazlasıyla etkiler. * Fazla hassas bir ölçümü yoktur.

Gruplandırılmış Verilerde Ranjın Hesaplanması Puan aralığı f 30-34 5 25-29 7 20-24 9 15-19 3 10-14 2 Yukarıdaki puan dağılımının ranjı kaçtır? A) 12 B) 17 C) 20 D) 24 E) 32

Dağılımın Ranjı = 32-12=20 Puan aralığı f X (ORTA NOKTA) 30-34 5 32 25-29 7 27 20-24 9 22 15-19 3 17 10-14 2 12 Dağılımın Ranjı = 32-12=20

Ranj, kolay hesaplanmasıyla bir avantaj sağlar, tamamen uçta yer alan puanlara dayalı hesaplandığı için hatalı yorum yapmaya açık bir dağılım ölçüsüdür. Örnek 1: 5, 20, 35, 45, 50, 55, 55, 70, 95, 100 ranj= 100-5=95 Örnek 2: 5, 60, 65, 65, 65, 70, 70, 70, 75, 100 ranj= 100-5=95 Örnek 1= puanlar Heterojen Örnek 2= puanlar Homojen

Çeyrek Sapma Puanların değişkenliğinin bir ölçüsü olan ranjın uç değerlerden etkilenmesi kısıtlılığını gideren bir ölçüdür. Çeyrek sapma, %75. puan ile %25. puan arasındaki farkın yarısı hesaplanarak elde edilir. Öncelikle puanlar küçükten büyüğe sıralanır. Sıralanan puanlar dört parçaya ayrılır. İlk çeyrek ve son çeyrek atıldıktan sonra geriye kalan puanların en yükseğinden en düşüğü çıkarılarak ikiye bölünür. Elde edilen değer çeyrek sapmayı verir. Q= (Q3-Q2)/2

Gruplar Grup aralığı Gerçek grup aralığı Grup orta noktası f tf 15-22 14,5-22,5 18,5 2 2. Grup 23-30 22,5-30,5 26,5 3 5 3. Grup 31-38 30,5-38,5 34,5 10 4. Grup 39-46 38,5-46,5 42,5 9 19 5. Grup 47-54 46,5-54,5 50,5 11 30 6. Grup 55-62 54,5-62,5 58,5 7 37 7. Grup 63-70 62,5-70,5 66,5 8 45 8. Grup 71-78 70,5-79,5 74,5 4 49 9. Grup 79-86 79,5-87,5 82,5 1 50  

Gruplar Grup aralığı Gerçek grup aralığı Grup orta noktası f tf 15-22 14,5-22,5 18,5 2 2. Grup 23-30 22,5-30,5 26,5 3 5 3. Grup 31-38 30,5-38,5 34,5 10 4. Grup 39-46 38,5-46,5 42,5 9 19 5. Grup 47-54 46,5-54,5 50,5 11 30 6. Grup 55-62 54,5-62,5 58,5 7 37 7. Grup 63-70 62,5-70,5 66,5 8 45 8. Grup 71-78 70,5-79,5 74,5 4 49 9. Grup 80-86 79,5-87,5 82,5 1 50  

Çeyrek Sapma Çeyrek sapma hesaplanırken, ilk çeyrek ve son çeyrek hesaplamaya katılmadığı için çeyrek sapmanın ranjda olduğu gibi puanların uç değerlerinden etkilenmesi durumu ortadan kalkar. Ancak bu kez de puanların yarısı göz önüne alınmamaktadır. Çeyrek sapma da ranj gibi standart bir değer olmayıp yorumlanması güçtür. Bu nedenle her ikisine göre daha yaygın kullanılan standart sapma ve varyans değeridir.

Standart Sapma En çok tercih edilen merkezi dağılım ölçüsüdür. Puanların aritmetik ortalamadan farklılıklarının (uzaklıklarının) standart değerini verir. Puanların farklılığı arttıkça standart sapma değeri artar, puanların farklılığı azaldıkça (benzerlik arttıkça) standart sapma değeri azalır. .

Standart Sapma

Öğrenciler Ham Puan 1 4 4-6= -2 2 8 8-6= 2 3 6 6-6= 0 3-6= -3 9 5 7   Öğrenciler Ham Puan 1 4 4-6= -2 2 8 8-6= 2 3 6 6-6= 0 3-6= -3 9 5 7 5-6= -1 10 10-6= 4 16 Toplam 60 50 Ortalama 60/10=6

Standart sapma büyük ise; Testin uygulandığı grup heterojendir. Öğrenciler arasındaki farklılaşma fazladır. Standart sapma büyük olduğu için grubun puanları birbirinden uzaklaşır. Dağılım geniş bir alana yayıldığı için basık bir görünüm alır. Uygulanmış olan testin ayırt ediciliği yüksektir.

Standart sapma küçük ise; Testin uygulandığı grup homojendir. Öğrenciler arasındaki farklılaşma azdır. Standart sapma küçük olduğu için grubun puanları birbirine yaklaşır. Dağılım küçük bir alana sıkıştığı için sivri bir görünüm alır. Uygulanmış olan testin ayırt ediciliği düşüktür.

Varyans  

Varyans ve Standart Sapma Varyans ve standart sapma büyüdükçe, ölçme işleminin duyarlı olduğu, bireyler arasındaki farkların görülebildiği dolayısıyla ölçmelerin güvenilir olduğu kabul edilir. Örneğin aynı değişkeni ölçen, soru sayısı ve puan birim aynı olan iki test aynı gruba uygulandığında iki test için elde edilen puanlardan varyansı ve standart sapması büyük olan puanların daha güvenilir olacağı düşünülebilir.

Bağıl Değişkenlik Katsayısı  

Bağıl Değişkenlik Katsayısı 20< V< 25 ise puanlar normal dağılım göstermektedir. V<20 ise puanların homojen, birbirine benzer olduğunu, puanlar arasındaki farklılığının az olduğunu gösterir ki bu durumda normale göre daha sivri bir dağılıma sahip olacaktır. V>25 ise puanların heterojen, birbirinden farklı olduğunu, puanlar arasındaki farklılığın fazla olduğunu gösterir ki bu durumda puanlar normale göre daha basık bir dağılıma sahip olacaktır.

Çarpıklık Katsayısı 3 ( Ortalama - Ortanca) Çarpıklık Değeri = Standart Sapma Çarpıklık Değeri = Çarpıklık katsayısının +1 ve -1 arasında olması puanların normalden aşırı bir sapma göstermediği, normale yakın bir dağılım gösterdiği şeklinde yorumlanır. Çarpıklık katsayısı (-) ise dağılım sola, (+) ise dağılım sağa çarpıktır.

Basıklık Katsayısı   3 - Basıklık Katsayısı =

Basıklık Katsayısı Basıklık katsayısının +1 ve -1 arasında olması puanların basıklığının normal dağılım eğrisi kadar olduğunu, (-) ise normalden daha basık, (+) ise sivri olduğunu gösterir. Dağılım sivri ise grup homojen (puanlar benzer), basık ise heterojen (puanlar farkı) dir.

Bir dersten öğrencilerin genel notları, ara sınavın %40’ı ile genel sınavın %60’ı toplanarak oluşturulmaktadır. Bu dersin geçme notu 60 olduğuna göre ara sınavdan 45 puan alan bir öğrencinin dersi geçmesi için genel sınavdan en az kaç puan alması gerekir? A) 65 B) 70 C) 75 D) 80 E) 85

Ada öğretmen yaptığı sınavda modun üzerinde puan alan öğrencilerine, işbirliğine dayalı grup çalışmasında istedikleri arkadaşlarıyla çalışma şansı vereceğini belirtir. Bu sınava ilişkin puan dağılımı aşağıdaki grafikte verilmiştir. Grafiğe göre bu sınıfta kaç öğrenci grup arkadaşlarını seçebilecektir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

Bir okulda bulunan 11 şubenin hazırladığı projelerin sayıları aşağıdaki grafikte verilmiştir. Buna göre proje sayılarının dağılımının ranjı kaçtır? A) 1 B) 3 C) 9 D) 10 E) 41

STANDART PUANLAR * Z Puanı * T Puanı

s.s. Z T DAĞILIM EĞRİLERİ -3 -2 -1 0 1 2 3 20 30 40 50 60 70 80 -3 -2 % 34,13 % 34,13 % 13,59 % 13,59 % 2,15 % 2,15 s.s. -3 -2 -1 +1 +2 +3 Z -3 -2 -1 0 1 2 3 T 20 30 40 50 60 70 80

Standart Puanlar Sınıf Öğrenciler Öğrencilerin ham puanları Sınavdan alınabilecek en yüksek puan Sınıf puanlarının aritmetik ortalaması Sınıf puanlarının standart sapması A Ayşe 72 100 64 8 B Emre 41 50 35 5 C Selin 10 4 2 D Mete 32 40 34 A sınıfındaki Ayşe’nin Emreden daha başarılı olduğunu söylemek ne kadar doğru?

Öğrencilerin başarı durumlarının doğru bir şekilde yorumlamak ancak ham puanların standart puanlara çevrilmesinden sonra yapılabilmektedir. Ham puanların aritmetik ortalama ve standart sapma kullanılarak yeni bir puana dönüştürülmesi puanların standartlaştırılmasıdır. En yaygın kullanılan ve en çok bilinen standart puanlar normal dağılım istatistiği olan ‘z puanı’ ve z puanından yararlanılarak elde edilen ‘t puanı’dır Standart Puanlar

Z Puanı Ham puanların aritmetik ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan puanlara dönüştürülmesiyle elde edilen standart puanlara «z puan» adı verilir. . X – . s.s. Z = Puan – Aritmetik Ort. Standart Sapma Z =

Z Puanı Ayşe Emre Selin Mete 72-64/8=1 41-35/5=1.2 8-4/2=2 32-34/4=-0.5

Z puanı teorik olarak -∞ ile +∞ arasında değişir. Ancak uygulamada puanların %99’u (-3, +3), yaklaşık %95’i (-2, +2) ve yaklaşık %68’i (-1, +1) arasındadır. Z puanının negatif değer alması öğrencinin ham puanının sınıf ortalamasının altında, Z puanının pozitif değer alması ise sınıf ortalamasının üstünde olduğunu gösterir.

Z Puanı s.s. DAĞILIM EĞRİLERİ -3 -2 -1 % 34,13 % 34,13 % 13,59 % 13,59 2,15 % 2,15 Mete Emre s.s. -3 -2 -1 +1 +2 +3 Ayşe Selin

T Puanı Anlaşılmasının ve yorumlanmasının daha kolay olması nedeniyle genellikle Z puanları diğer bir standart puan çeşidi olan ve yaygın kullanılan T puanlarına dönüştürülür. ( X - . s.s. ). 10 T = 50 + T = 50 + 10 * 1,33 T = 50 + 10 * 1,33 T = 50 + 10 * Z T = 63,3

T Puanı Ayşe Emre Selin Mete 50+(1.10)= 60 50+(1.2.10)= 62 50+(2.10)= 70 Mete 50+(-0.5.10)= 45 Öğrencilerin birbirlerine göre durumu değişmemiş, sadece puanların birimi yönünden bir farklılık oluşturulmuştur.

T Puanı DAĞILIM EĞRİLERİ Mete Emre 20 30 40 50 60 70 80 Ayşe Selin