x* denge noktası olmak üzere x* sabit nokta olmak üzere Topolojik Eşdeğerlilik: Hatırlatma h homeomorfizm Zamanla değişimin yönünü koruyarak Denge noktası civarında faz portresinin yapısı nasıl incelenebilir? Sürekli zaman Ayrık zaman ¤ * x* denge noktası olmak üzere x* sabit nokta olmak üzere Özdeğerlerden negatif , sıfır ve pozitif reel kısımlara sahip olanların sayısı sırası ile olsun. Özdeğerlerden birim daire içinde, üstünde ve dışında olanların sayısı sırası ile olsun.

Hiperbolik denge noktası Bir denge noktası (sabit nokta)’na ilişkin ise o denge noktası (sabit nokta) hiperbolik denge noktası olarak adlandırılır. ise, hiperbolik eyer olarak adlandırılır. Hatırlatma Sürekli Zaman ‘ın kararlı değişmez kümesi ‘ın kararsız değişmez kümesi Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Ayrık Zaman Hatırlatma ‘ın kararlı değişmez kümesi ‘ın kararsız değişmez kümesi Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Ayrık Zamanda bazı şeyler biraz farklı Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Teorem 9: (Yerel Manifold ) hiperbolik bir denge noktası ‘in özdeğerlerinden reel kısımları sol kompleks düzlemde (birim daire içinde) olanların oluşturduğu genelleştirilmiş özuzay v ‘in özdeğerlerinden reel kısımları sağ kompleks düzlemde (birim daire dışında) olanların oluşturduğu genelleştirilmiş özuzay http://en.wikipedia.org/wiki/File:Tangentialvektor.svg

Teorem 10: (Hartman-Grobman ) Dinamik sistem, hiperbolik bir denge noktası civarında lineerleştirilmiş sisteme topolojik eşdeğerdir. Anlamı ne? Bir örnek F.C.Hoppensteadt, E.M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997.

Bazı sorular: Topolojik eşdeğerlilik ne işimize yarayacak, topolojik eşdeğerliliğin ortadan kalktığı durumlar var mı, varsa nasıl buluruz? Dallanmalar (Bifurcation) ve dallanma diyagramları Sürekli zaman Ayrık zaman Dallanma: Bir parametrenin değişimi ile topolojik olarak eşdeğer olmayan durum portresinin oluşumuna “dallanma” denir. Topolojik eşdeğerlik bozulduğunda durum portresinde neler değişebilir? F.C.Hoppensteadt, E.M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997.

bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması Dallanma Diyagramı: Dinamik sistemin parametre uzayının, her bir katmanda topolojik eşdeğerliğe bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması “dallanma diyagramı “ ‘nı verir. Bir örnek S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999 E.M. Izhikevich, “Dynamical Systems in Neuroscience”, MIT Press, 2007

Denge noktalarının sayısı değişiyor acaba kararlılıkları ne oluyor? denge noktası kararlı civarında denge noktası kararsız civarında denge noktası kararlı civarında denge noktası kararlı Dallanma diyagramı S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999.

Bir örnek Düğüm-Eyer Dallanması Kararlı odak Eyer S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999.

Bir örnek daha Küçük için Denge noktası bir tane ve (0,0) kararlı odak Denge noktası kararsız odak Yeterince büyük için Andronov-Hopf Dallanması Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Yerel (Local) ve Genel (Global) Dallanmalar İncelediğimiz dallanmalar ile denge noktalarının sayısı ve yeri değişti, denge noktasından limit çevrime geçiş oldu ancak hepsi bir denge noktası civarındaki topolojik değişiklikler idi ve denge noktası civarına bakarak oluşan değişiklikler belirlenebildi. Bu tür dallanmalar yerel dallanmalar olarak adlandırılıyor. Ancak denge noktası civarında olup bitenlere bakarak tüm durum uzayındaki değişimler için fikir edinemediğimiz de genel dallanma ile topolojik değişiklikleri belirleyebiliriz.

Aynı noktaya dönen yörünge (Homoclinic Orbit) İki Özel Yörünge * Aynı noktaya dönen yörünge (Homoclinic Orbit) ‘de başlayan bir yörüngesi aşağıdaki koşulu sağlıyorsa (*) sisteminin “aynı noktasına dönen yörünge”sidir. Ayrı noktaya dönen yörünge (Heteroclinic Orbit) ‘de başlayan bir yörüngesi aşağıdaki koşulu sağlıyorsa (*) sisteminin ve “ayrı noktalarına dönen yörünge”sidir. Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Bir örnek Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Dallanma parametreleri Dallanma diyagramına tekrar bakalım Dallanma Diyagramı: Dinamik sistemin parametre uzayının, her bir katmanda topolojik eşdeğerliğe bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması “dallanma diyagramı “ ‘nı verir. Wilson-Cowan Modeli Dallanma parametreleri F.C.Hoppensteadt, E.M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997.

Bir başka örnek- Cihan Soylu (Bitirme Ödevi) p(k + 1) = f(λp(k) + m(k) + I) m(k + 1) = f(p(k) − d(k)) n(k + 1) = f(p(k)) d(k + 1) = f(αn(k)), α=Wd - Wr

p, civarında homeomorfizm Dallanmanın eşboyutu (codimension): ve sistemlerine ilişkin dallanmanın eşboyutu parametre uzayının boyutu ile ilgili dallanma yüzeyinin boyutu arasındaki farka eşittir. Dallanmaların sınıflandırılması için bir yol nasıl buluruz? # * Topolojik Eşdeğerlilik: Aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa sistemi sistemine topolojik olarak eşdeğerdir * # p homeomorfizm Parametreye bağlı homeomorfizm Zamanla değişimin yönünü koruyarak Topolojik Eşdeğerlilik: ‘ın küçük bir komşuluğunda tanımlanmış dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlanıyorsa sistemi sistemine yerel olarak orijin civarında topolojik eşdeğerdir * # p, civarında homeomorfizm Öncelikle yapısal olarak benzer, başka bir deyişle aynı dallanma diyagramına sahip dinamik sistemleri belirlemek gerek. , ‘ın komşuluğunda sisteminin yörüngelerini sisteminin yörüngelerine zamanda değişim yönünü koruyarak taşıyan homeomorfizm * #

sisteminin parametre değerinde noktasında bir denge ??? Topolojik eşdeğer ama dallanmanın incelenmesi daha kolay olan bir sistem # * Dallanma parametresi Çok terimlinin katsayıları # sisteminin parametre değerinde noktasında bir denge noktası olsun Benzer şekilde sisteminin parametre değerinde noktasında bir denge noktası olsun * Topolojik önörnek: sistemi denge noktasında ve parametre değerinde sistemi ile aynı dallanma koşullarını sağlıyorsa ve orijin civarında bazı değerleri için yerel olarak sistemine topolojik eşdeğer ise sistemi dallanma için sisteminin topolojik önörneği olarak isimlendirilir. # * * * # Çaprazlık koşulu Dejenere olmama koşulu

Gerekli Bilgi (çapraz kesişim-transversal intersection) İki düzgün manifold ‘un her hangi bir kesişim noktasında, bu manifoldlardan en az birine tanjant n tane lineer bağımsız vektör var ise Bu iki manifold “transversal kesişiyor” denir. çapraz kesişim çapraz olmayan kesişim http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Sphere-nontransverse.svg http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Sphere-transverse.svg S. Wiggens,”Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos”, Springer-Verlag, 1999

Bir örnek Düğüm-Eyer Dallanması Daha önce görmüştük S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999

U ve b’yi içeren bir açık küme V olmak üzere vardır, öyle ki: Hatırlatma Topolojik Eşdeğerlilik: h homeomorfizm Zamanla değişimin yönünü koruyarak ve topolojik eşdeğerdir Dallanma: Bir parametrenin değişimi ile topolojik olarak eşdeğer olmayan durum portresinin oluşumuna “dallanma” denir. Teorem: (İmplicit function ) ’de bir noktayı ile belirtelim matrisi tersinir ise a ‘yı içeren bir açık küme U ve b’yi içeren bir açık küme V olmak üzere vardır, öyle ki:

Durum portresi küçük düzensizlikler (perturbation) altında değişmeyen dinamik sistemlerin özellikleri neler? Önce küçük düzensizlikler

# ve * sistemleri denge noktası civarında topolojik eşdeğer Hiperbolik denge noktası * Hiperbolik denge noktası # ve * sistemleri denge noktası civarında topolojik eşdeğer Hiperbolik denge noktası küçük düzensizlikler altında topolojik olarak değişiklik göstermiyor