Tam sayılar ve dört işlem Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr

Tam sayı kavramı N: Doğal sayılar kümesinin sembolü. İtalyanca, “naturale”, Giuseppe Peano (1858-1932) N = {0, 1, 2, 3…} Z: Tam sayılar kümesinin sembolü. Almanca, “Zahl”, Richard Dedekind (1831-1916) Z = Z- U {0} U Z+ = { … -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3…} Negatif ve pozitif tam sayılar Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

Tam sayıların oluşum sürecinde epistemolojik engeller (XIX. yy Tam sayıların oluşum sürecinde epistemolojik engeller (XIX. yy. a kadar) Denklem çözümlerinde doğal sayılarda işlem yapmaya elverişli hale getirme çabası René Descartes (1596-1650): Analitik düzlemde sadece pozitif değerler. Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736): termometrede sadece pozitif değerler (suyun donma noktası 32 derece, kaynama noktası ise 2012 derece) Lazare Carnot (1753-1823) 0-3: hiçbir şeyden (0) bir şey çıkarmak mümkün değildir. -1/1 = 1/-1 mümkün değildir. Küçük sayıyı daha büyük sayıya bölüyorsunuz, büyük sayıyı da daha küçük bir sayıya bölüyorsunuz, eşit sonuç çıkmaz. Stendhal-Marie Henri Beyle (1783-1842) Bir borcu başka bir borçla katladığımızda nasıl olur da bir servet oluşur? Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

Gerçek hayat uygulamaları Konum belirten durumlar Değişim belirten durumlar termometre Deniz seviyesine göre derinlik/rakım Tarihsel kronoloji Asansör düğmeleri Borç/varlık, banka ekstreleri, faturalar Geri/ileri Sıcaklığın 3 derece düşmesi: (-3) 4 kat aşağıya inmek: (-4) (9. katta olsak bile!) Borsanın 2 puan gerilemesi: (-2) 2 adım ileriye gitmek: (+2) … Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

Modeller: Tam sayılarda toplama işlemi İlk sayı konum, ikinci sayı ise değişim, aradaki artı işlemi“devam etmek”, eksi işareti ise ters yöne gitmek anlamına gelir. Modeller: Tam sayılarda toplama işlemi – pul almak ve + pul vermek anlamına gelir, Sayı Doğrusu (Tam sayılar = Yönlü sayılar) Tam Sayı Pulları (+2)+(+1) (-2)+(-1) (-2)+(+1) (-1)+(+2) + + + - - - Bir – pul bir almak ve bir + pul bir vermek anlamına gelir, dolayısıyla sonuç sıfırdır. - - + - + + Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

Sayı doğrularında eşitlikten yararlanılabilir İşlemlerde + işaretler ve parantezler kaldırılabilir: 1= +1 2=+2 3=+3 … (+5)-(+3) = 5-3 = 2 Somut Örnek: BİLANÇO Sabah bilançosu Akşam bilançosu Günün bilançosu Sayısal bilanço Sayısal ifade 10 puan kazanç 8 puan kazanç 18 puan kazanç +18 (+10)+(+8) 10+8 8 puan kayıp 12 puan kazanç 4 puan kazanç +4 (-8)+ (+12) -8+12 6 puan kayıp 5 puan kayıp -11 (-6)+ (-5) -6-5 5 puan kazanç -3 (+5)+(-8) 5-8 9 puan kazanç 9 puan kayıp Kazanç veya kayıp yok (+9)+(-9) 9-9 4 puan kayıp 0 puan kazanç Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

Modeller: Tam sayılarda çıkarma işlemi İlk sayı konum, ikinci sayı ise değişim, aradaki artı işlemi“devam etmek”, eksi işareti ise ters yöne gitmek anlamına gelir. Modeller: Tam sayılarda çıkarma işlemi – pul almak ve + pul vermek anlamına gelir, Sayı Doğrusu (Tam sayılar = Yönlü sayılar) Tam Sayı Pulları (+2)-(+1) (+1)-(+2) (-2)-(-1) (-1)-(-2) (+2)-(-1) (-2)-(+1) Bir puldan iki pul çıkaramayacağımız için gerektiği kadar pul (sıfır çifti) ekliyoruz + + + + + + + + - - - Bir – pul bir almak ve bir + pul bir vermek anlamına gelir, dolayısıyla sonuç sıfırdır. Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

Modeller: Tam sayılarda çarpma işlemi (+2) x (+3) ve (+2) x (-3) işlemleri kolaylıkla modellenebilir. Fakat (-2) x (-3) modellenmesi kolayca algılanamayabilir. Farklı öneriler sunulabilir: (-2) x (-3) sonucu ya (-6) dır ya da (+6) dır. Sonuç (+6) olsun. O halde (-6) ile toplandığında sonuç 0 olur: [(-2) x (-3)] + [(-2) x (+3)] = 0  (-2) x (-3+3) = (-2) x 0 = 0. Varsayım doğrudur. (+3) + (-3) = 0  (-2) x [(+3) + (-3)]  [(-2) x (+3)] + [(-2) x (-3)]  (-6) + [(-2) x (-3)] = 0  (-2) x (-3) = (+6) Örüntü yolu ile: … 2 x 3 6 (-2) x 2 -4 2 x 2 4 (-2) x 1 -2 2 x 1 2 (-2) x 0 2 x 0 (-2) x (-1) 2 x (-1) (-2) x (-2) 2 x (-2) Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

Modeller: Tam sayılarda bölme işlemi Modellerden ve özellikle çarpma işleminden faydalanılabilir: (+2) x (+3) = (+6) ise (+6) : (+2) = (+3) (+2) x (-3) = (-6) ise (-6) : (+2) = (-3) veya (-6) : (-3) = (+2) (-2) x (-3) = (+6) ise (+6) : (-2) = (-3) Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri