B)Diziler yardımıyla limit C)Epsilon tekniği ile limit D)Özel tanımlı fonksiyonların limitleri A)Sağdan ve Soldan Limt A)süreklilik şartları Alıştır- malar

Limit f(x)’sağdan incelersek elde ettiğimiz değer ile,soldan incelediğimizde elde edeceğimiz değer eşit olmalıki limit olsun 1 2 ۵ Limit olması için sağ ve sol limitler eşit olmalı. ¶ Limit varsa tektir. µ Sağ ve sol limitler eşit değilse limt yoktur. ¥ Bir noktada limit olması için foksiyonun o noktada Tanımlı olması gerekmez.

Örnek: Yandaki soruda –3,1 ve 4’ün limitlerini inceleyiniz. -3 için soldan limiti 2 dir fakat sağdan limiti yoktur. 1 için sağdan ve soldan limitleri vardır ve limiti 5 tir. 4 için sağdan ve soldan limiti bellidir ve 3 tür. Çözüm:

Tanım:A R olmak üzere,f:A R fonksiyonu verilmiş olsun. Terimleri A kümesinin elemanı olan bir dizisinin f fonk- siyonuna göre görüntü dizisi denir.

Tanım:A R,f:A R bir fonksiyon a R,L R, olmak üzere önermesine uyan a bağlı varsa x, a ya yakınsarken f nin limiti L dir, denir ve biçminde yazılır. Yani x ler a ayısına yaklaşırken, x lerin ordinatları olan f(/x) ler L reelsayısına yaklaşıyora,”x ler a ya yakınsarken f(x)ler L ye yakınsar.” denir. L şeklinde gösterilir.

1)Parçalı Fonksiyonların Limitleri Fonksiyonunun;x=1, x=2 ve x=-2 noktalarındaki limitini bulalım. Olduğundan, devamı

3)1(lim)( 22    xxf xx Oldugundan, lim=3’tür Olduğundan, lim=1 dir

In bulunuşunda: I:x=a noktası kıritik nokta (f(a)=0) ise,soldan ve sağdan limit incelenmelidir. İİ:Limit sorulan nokta kritik nokta değilse, (f(a) 0’a eşit olmaz) limit değeri ile görüntü değeri eşit olmayacağından, dır. Fonksiyonunun; x=-2,x=0,x=2 ve x=4 noktalarında limitinin olup olmadığını araştıralım. Çözüm:f(x) fonksiyonu tablo yardımıyla parçalı fonksiyon şeklinde yazalım. x x F(x) DEVAMI

Lim f(x)=yoktur. Lim f(x)=2dir Lim f(x) yoktur.

İşaret değiştirdiği noktalarda lim yoktur. Yani fonksiyonun eğer işareti değiştiriyorsa O fonksiyonun limiti yoktur. + _ + _ 2x-12x+1 ÖRNEK: f(x)=2x+Sgn(x-3) CEVAP: Lim f(x)yok

ÖRNEK: ÇÖZÜM: İşaret değiştirdiği için Lim yok. + _ İşaret değiştirdiğinden lim yoktur.

Soldan ve sağdan lim incelenir. ÖRNEK: ÇÖZÜM:

ÖRNEK: CEVAP: İşleminin sonucu nedir? =-3=+2

BİR NOKTADA SÜREKLİLİK Tanım: Tanım:, olmak üzere ye tanımlanan f(x) fonksiyonunda, ise, f fonksiyonu x=a noktasında süreklidir, denir. Bu tanıma göre, f fonksiyonunun x=a noktasında sürekli olması için: 1. f fonksiyonu x= a’da tanımlı olmalıdır. 2. f fonksiyonunun x=a için reel bir limiti olmalıdır. 3. f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, fonksiyonun x=a noktasındaki görüntüsüne eşit olmalıdır. Bu üç koşuldan biri gerçekleşmez ise f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir denir.

L=f(a) 0 a x yf(x) 1. f(a)=L 2. olduğundan, x=a noktasında f fonksiyonu süreklidir. L 0 a x x = a’da tanımsızdır. Çünkü a’nın görüntüsü yoktur. Bunun için f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir. L 0 a x y f(a) için f, x=a noktasında süreksizdir. ÖRNEK Fonksiyonu x=1’de sürekl midir? y ÇÖZÜM

ÇÖZÜM

SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK Tanım: Tanım:, olmak üzere fonksiyonunda: 1. ise f fonksiyonu x= a noktasında soldan süreklidir, denir. 2. ise f fonksiyonu x=a noktasında sağdan süreklidir, denir.

Tanımı aşağıdaki grafiklerle inceleyiniz. y x L=f(a) a 0 x a y f f fonksiyonu a noktasında soldan süreklidir. f fonksiyonu a noktasında sağdan süreklidir. ÖRNEK fonksiyonunun x=1’de soldan ve sağdan sürekliliğini inceleyelim. 0 ÇÖZÜM

ÇÖZÜM           )(f(1) 1)1-x2(limf(x)lim 2)1x( f(x)lim 1x1x 2 1x1x olduğundan, fonksiyon x=1de soldan sürekli değildir. 2. olduğundan, fonksiyon x=1de sağdan süreklidir.

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK Tanım: Tanım: fonksiyonu için sürekli ise f fonksiyonu kapalı aralığında süreklidir, denir. Bu tanımı aşağıdaki grafiğe göre inceleyelim. 0x y L=f(a) f(x) 0 K=f(b) ax 0 b y=f(x) ÖRNEK fonksiyonunun kapalı aralığında sürekli olduğunu gösterelim. ÇÖZÜM

ÇÖZÜM için olduğundan, f fonksiyonu kapalı aralığında süreklidir. x y xf(x) 2 

Uygulamalar

1. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = belirsizliği var = = =

2. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = belirsizliği var = 1 = ==

3. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : belirsizliği var = = - sinx cosx ==0

4. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = belirsizliği var = e x - sinx 0  0

5. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = belirsizliği var = cosx/sinx 2cos2x/sin2x cosx/sinx 2cos2x/sin2x = Cosx.sin2x 2cos2x.sinx

Cosx.sin2x 2cos2x.sinx 2sinx.cosx 2.sinx.cos 2 x 2cos2x.sinx = = =1

6. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : =0   = = = exex 1 = ee 1 =  1 = 

7. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : =   = === 2

8. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : =  -  = =

== ==