Biz şimdiye kadar hangi uzaylar ile uğraştık: * Lineer vektör uzayları * Normlu uzaylar (Banach uzayı) * İç çarpım uzayları (Hilbert uzayı)

Hep Rn’ deydik fonksiyon uzayında neler oluyor acaba? Önce R∞ ’a dikkat edelim: Nasıl vektörlerden oluşuyor? Sonsuz bileşenli vektörlerden özel olarak boyu sonlu olanlar ile ilgileneceğiz….

Boyutu sonsuz olup da boyu sonlu olan vektörlerin oluşturduğu vektör uzayı ….. Özellikle de ilgilendiğimiz uzayın elemanları [a, b] aralığında tanımlı fonksiyonlar olsun…. Bu vektörlerin boyunu belirtmek için öncelikle bir norm tanımlayalım: Bir de iç çarpım tanımlayalım…..

Vektörlerinin bu aralıkta iç çarpımını belirleyiniz örnek Vektörlerinin boyunu bulunuz. Vektörlerinin bu aralıkta iç çarpımını belirleyiniz

Böylece tanımladığımız norm ve iç çarpım, iç çarpım ve normdan beklediğimiz her şeyi sağlıyor Acaba sonsuz boyutlu fonksiyonlar uzayında sinx ve cos x’den yararlanarak bir baz tanımlanabilinir mi? Bu durumda fonksiyonlar aralığında tanımlı sin(kx)’ler ve cos(kx)’ler olsun k=0,1,2,3,….. Önce norm tanımına bakalım…..

Sonra da iç çarpım tanımına…… Bunlara bakarak ne önerebilirsiniz……..

Fourier Serisi Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) periyotlu bir fonksiyon olsun Nasıl belirleriz?

V vektör uzayının ortonormal qi hatırlatma Ortonormal bazın bize sağladığı bir kolaylık….. V vektör uzayının ortonormal qi vektörlerinden oluşmuş bir bazı olsun. ise şeklinde yazılır ‘leri biliyorsak Ortonormal baz işte burada kolaylık sağlayacak 1 Ortonormal baz!!!

Geçen haftadan ortonormal bazları biliyoruz….. b1 ‘i bulmak için ne önerirsiniz?

Bir örnek İç çarpım olarak tanımlanmış olsun. kümesi aralığında ortonormaldir. S kümesindeki fonksiyonların lineer kombinasyonu olarak sin4x’i yazınız. ( ) Yazdığınız ifadeden yararlanarak aşağıdaki entegralleri hesaplayınız.

sinüs ve cosinüs’den başka fonksiyonlar yok mu? Mesela 1,x,x2 bu çok terimliler ile de ortonormal baz tanımlayabilir miyiz? Lineer bağımsızlar ancak ortogonal oldukları bir aralık yok Nedir bu yol? Ama ortogonal kılmanın bir yolunu biliyoruz Gram-Schmidt aralık [-1,1] ve v1 =1 olsun Neden bu aralık?

V2’nin q1 doğrultusunda ki bileşenine hatırlatma Gram-Schmidt Yöntemi Ortonormal vektörler kolaylık sağladığına göre verilen herhangi bir vektör kümesini ortonormal vektörlere dönüştürebilir miyiz? Lineer bağımsız özelikleri ne? verilmiş olsun, nasıl ‘ları elde ederiz Doğrultusu v1 ile aynı, boyu da 1 Kolay olan q1’i bulmak: Bu neye karşı düşüyor? q2, q1’e dik olmalı: V2’nin q1 doğrultusunda ki bileşenine Peki, neden çıkarıyoruz

q1,q2 var q3’ü oluşturalım: hatırlatma Ancak ortonormal vektörler kümesine katılması için boyunun 1 olması gerek q1,q2 var q3’ü oluşturalım: Diklik sağlandı birim olma da sağlanmalı

hatırlatma Benzer şekilde…..

Gram-Schmidt’i uygulayalım Ortonormaller mi? 1752-1833 Legendre çokterimlilerini elde etmiş olduk

Pivotlara ilişkin bağıntılar veriyor Determinant Bir kare matrisin tersinir olup olmadığına dair bilgi veriyor n- boyutlu uzayda matrisin satırlarından oluşmuş bir paralel kenarın hacmine ait bilgi veriyor Pivotlara ilişkin bağıntılar veriyor

Determinant’ın 10 özelliği Lineer bağımlılıktan bahsettiğimize göre sizce bu matrisler nasıl olacak? Determinant’ın 10 özelliği Özellik 1:Determinant birinci satıra lineer bağımlıdır Üç matris oluşturalım öyle ki ilk satırları farklı diğer satırları aynı olsun: Şimdi neyi göstereceğiz? √

Özellik 2: iki satırın yer değiştirmesi determinantın işaretini değiştirir İlk özelikle beraber bunu değerlendirince ilk satır için ne diyebiliriz? Özellik 3: birim matrisin determinantı 1’dir Özellik 4: iki satır aynı ise determinant sıfırdır

Özellik 5: Elementer satır işlemleri determinantı değiştirmez. Dördüncü ve beşinci kurallardan yararlanarak bu kuralı elde ediniz Birinci ve dördüncü kurallardan yararlanarak bu kuralı elde ediniz Özellik 6: A matrisinin sıfır satırı varsa determinantı sıfırdır. Özellik 7: A matrisi üçgen ise A’nın determinantı köşegenlerin çarpımına eşittir. Burada hangi kurallardan yararlanırız? 1,3,5 ve 6

Özellik 8: A tekil ise, determinantı sıfırdır. Atersinir ise determinantı sıfırdan farklıdır. Özellik 9:

Özellik 10: Bunlar için ne diyeceğiz? Ortak özellikleri ne? Hepsinin determinantı 1’e eşit Bir de P ve PT ‘ye bakalım Neden? veya ayrıca veya Sonuç: