Lineer Cebir (Matris)

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna mxn türünde(m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir. Elemanların sıralanışı olarak tanımladığımız matris bir gösterim, determinant ise bir değerdir. Bunlar matris ve determinantı birbirinden ayıran en önemli iki özelliktir.

Matrisler büyük harfle gösterilir Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir elemanları, A matrisinin 3. sütununu oluşturmaktadır. Burada aij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır. Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.

 MATRİSLERİN TOPLAMI Aynı boyutlu matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli terimler toplanır.

MATRİSLERİN FARKI Aynı boyutlu matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.

MATRİSİN REEL SAYI (Skaler) İLE ÇARPIMI Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.

İKİ MATRİSİN ÇARPIMI A ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun sayısı,B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır. m x n türünde A matrisi ile n x p türünde B matrisinin çarpımı m x p türünde olur. Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.

 MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.

MATRİSİN ÖZELLİKLERİ 1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır.) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.) 3. k(A+B)=kA+kB (k:skaler) 4. (k1.k2)A=k1(k2)A=k2(k1)A 5. (k1+k2)A=k1A+k2A 6. A(B+C)=AB+AC 7. (A+B)C=AC+BC 8. A(BC)=(AB)C 9. AB≠BA (genellikle) 10. AB=BC ise A=C olması gerekmez. 11. AB=0 ise A=0 ya da B=0 olması gerekmez.

ÖZEL MATRİSLER 1-Kare Matris Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir. Kare bir matrisin determinantı hesaplanabilir. A matrisi (4 x 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.

2-Sıfır Matris Tüm elemanları sıfır olan matristir. A dizeyi 2x3 türünden bir sıfır matristir.

3-Köşegen Matris 4-Birim Matris Köşegen üzerindeki elemanların dışında tüm elemanları 0 olan matrise köşegen matris denir. aij elemanlarından bazıları 0 olabilir. 4-Birim Matris Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. Aşağıdaki matris 4 x 4 boyutlu birim matristir.

5-Periyodik Matris A bir kare matris olmak üzere; Ak+1 = A oluyorsa A’ya periyodik matris denir. k=1 için A2 = A ise A İdempotent matristir. Ak=0 (kєN) ise A matrisi Nilpotent matristir.

6-Tekil Matris 7-Transpoze Matris A bir kare matris olsun. Eğer detA=0 ise A matrisine tekil matris denir. 7-Transpoze Matris mxn boyutlu bir A matrisinin aynı numaralı satırları ile sütunları yer değiştirilirse ortaya çıkan nxm boyutlu matristir. A’nın transpozesi AT veya A’ ile gösterilir. (AB)T=BTAT

8-Simetrik ve Yarı Simetrik Matris A bir kare matris olsun. Eğer A’nın transpozesi A’ya eşitse A’ya simetrik, A’nın transpozesi A’nın negatifine eşit ise A’ya yarı simetrik matris denir. AT=A simetrik AT=-A yarı simetrik

9-EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS) Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir. ÖZELLİKLERİ A.Ek(A)=Ek(A).A Ek(A.B)=Ek(A).Ek(B)

10-Ters Matris Özellikler; A tekil olmayan bir matris olsun; A.B=B.A= I bağıntısını sağlayan B matrisine A ’nın tersi denir. B= A-1 ile gösterilir. Özellikler;

BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ a = [Aij]m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A–1 biçiminde gösteririz. Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

11-Ortagonal Matris A bir kare matris A-1 = AT ise A ’ya ortagonal matris denir.

Bir Matrisin Rankı mxn boyutlu bir A matrisinin tekil olmayan en büyük boyutlu kare alt matrisinin rxr boyutuna A matrisinin rankı denir.(r≤m, r≤n) RankA=r şeklinde gösterilir.

Denk Matrisler Boyutları ve rankları aynı olan A ve B gibi iki matrise denk matrisler denir. A~B ile gösterilir.Aşağıdaki elemanter işlemleri içeren matrisler denk matrislerdir. Anın i’inci satırı ile j’inci satırı yer değiştirebilir. Bu işlem Hij ile gösterilir. A matrisinin i’inci satırı 0’dan farklı bir k sayısı ile çarpılabilir.Bu işlem Hi(k) ile gösterilir. A matrisinin i’inci satırındaki elemanları 0’dan farklı bir k sayısı ile çarpılıp j’inci satıra eklenebilir. Bu işlem Hji(k) ile gösterilir. Bu işlemler matrisin sütunlarına da uygulanabilir. Sütun işlemleri K ile gösterilir KJİ(k)

Bir Matrisin İzi A kare matrisinin köşegen üzerindeki elemanlarının toplamına matrisin izi denir. Özellik: