Doğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos Neslihan Serap Şengör oda no:1107 tel no:0212 285 3610 sengorn@itu.edu.tr Müştak Erhan Yalçın oda no:1103 mail konusu: kaos yalcinmust@itu.edu.tr

Doğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos 10 Şubat 2010- 31 Mart 2010 Neslihan Serap Şengör (8 hafta) 2 Ödev % 20 Yarıyıliçi Sınavı 7 Nisan 2010 % 20 14 Nisan 2010- 12 Mayıs 2010 Müştak Erhan Yalçın (5 hafta) 1 Ödev % 20 Yarıyılsonu Sınavı % 40

Yararlanılan Kaynaklar H.K.Khalil, “Nonlinear Systems”, 3rd Edition, Pearson Education, 2000. Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004. J. Guckenheimer, P. Holmes, “Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcation of Vector Fields”, Springer-Verlag, 1983. S. Wiggens, “Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos”, Springer, 2003. S.H. Strogatz, “Nonlinear Dynamics and Chaos”, Addison-Wesley Pub. Comp., 2000. L.O. Chua, “Introduction to Nonlinear Network Theory”, Mc-Graw Hill, 1969. E. Ott, “Chaos in Dynamical Systems”, Cambridge University Press, 1993. P.G. Drazin, “Nonlinear Systems”, Cambridge University Press, 1993.

Yararlanılacak Araç XPP/XPPAUT Dinamik sistemleri çözmek, durum portreleri, dallanma diyagramlarını elde etmek için kullanılabilecek bir araç B. Ermentrout, “Simulating, Analyzing, and Animating Dynamical systems”, siam,2002. http://www.math.pitt.edu/~bard/xpp/whatis.html

Xppaut Çalıştırmak İçin Gerekenler A. Yiğit Xppaut Çalıştırmak İçin Gerekenler Xppaut, “xpp” ve “auto” isimli iki parçadan oluşur. Birbirleri arasında daima geçiş yapabilirsiniz. “auto”, dallanma diyagramını hesaplamak için kullanılır. http://www.math.pitt.edu/~bard/xpp/xpp.html adresinden indirilebilir. xppaut_yüklediğiniz_dizin\xppaut\windows\xppall dizini altında xpp.bat dosyası mevcuttur. Bu dosya içerisine uygulama ile ilgili adreslerin doğru yazılması gerekmektedir. Örneğin benim makinemde xppaut aşağıda olan adresde yüklüdür. “G:\24_mart_2008_new_data\Doktora”. Dolayısıyla G:\24_mart_2008_new_data\Doktora\xppaut\windows\xppall adresinde olan xpp.bat dosyasının içeriği aşağıdaki şekildedir. set BROWSER=C:\Program Files\Internet Explorer\iexplore.exe Set XPPHELP=G:\24_mart_2008_new_data\Doktora\xppaut\windows\xppall\help\xpphelp.html set DISPLAY=127.0.0.1:0.0 set HOME=G:\24_mart_2008_new_data\Doktora\xppaut\windows\xppall G:\24_mart_2008_new_data\Doktora\xppaut\windows\xppall\xppaut %1 %2 %3 pause

Xppaut çalıştığında nasıl bir ekran açılır? A. Yiğit Xppaut çalıştığında nasıl bir ekran açılır?

Örneklerle Dallanma Diyagramı Oluşturma A. Yiğit Örneklerle Dallanma Diyagramı Oluşturma

Neden doğrusal olmayan devreler, sistemler ve kaos? Virtually, all physical systems are nonlinear in nature. M. Vidyasagar O zaman neden hep lineer devreler ve sistemler ile ilgilenildi? “. . . not to produce the most comprehensive descriptive model but to produce the simplest possible model that incorporates the major features of the phenomenon of interest.” Howard Emmons Burada lineer sistemlerin cozumunun analitik elde edilebildigini, ve lineer sistemlerin davranisini incelemek icin genel yontemlerin oldugunu belirtmek gerek. Ve once bir lineer sistemler ile ne mumkun ona bakalim diyerek devam edecegim

Lineer sistemi hatırlıyalım... Hatırlatma Lineer sistemi hatırlıyalım... Başka nasıl ifade ediyoruz? durum değişkeni ilk koşul çıkış değişkeni giriş değişkeni Bu değişkenlere ilişkin başka neyi belirtmemiz gerek........ Burada var olan fiziksel bir yapinin matematiksel modelinin ne oldugu nasil elde edildigine iliskin genel sozler soyleyecegim bu ders kapsaminda dinamik sistemler ile ugrasilacagindan hem ayrik hem de surekli zamani beraber ele alacagimizdan bahsedecegim. Dinamik sistem nedir ondan kisaca soz edecegim, matematiksel modelin nasil farkli yaklasimlar ile elde edildiginden de bahsedecegim. Sadece bunu yazmam yeterli neden? Bu sistemin çözümü.....

Ayrık zamanda lineer sistemi hatırlıyalım... Hatırlatma Ayrık zamanda lineer sistemi hatırlıyalım... Bu sistemin çözümü..... Çözüme daha dikkatle bakarsak.....

Çözümü bir daha yazarsak özvektörler Hatırlatma Bir özel hal: Otonom sistem Çözümü bir daha yazarsak özvektörler özdeğerler Çözüm, özvektörler ve özdeğerler ile nasıl değişir?

Özvektörleri aynı özdeğerleri farklı iki sistem Hatırlatma Özvektörleri aynı özdeğerleri farklı iki sistem Hangisi daha hızlı sıfıra yaklaşıyor ? A1 sistemi A2 sistemi

Özdeğerleri aynı özvektörleri farklı iki sistem Hatırlatma Özdeğerleri aynı özvektörleri farklı iki sistem B1 sistemi B2 sistemi Hızlarında bir farklılık var mı? B1 sistemi B2 sistemi

Bu durumda lineer sistemin çözümleri neler olabilir? Hatırlatma Bu durumda lineer sistemin çözümleri neler olabilir? S. Haykin, “Neural Networks- A Comprehensive Foundation”2nd Edition, Prentice Hall, 1999, New Jersey. Tüm bu durum portrelerinde ortak bir şey var, ne?

Otonom lineer sistem için başka ne diyebiliriz? Hatırlatma Otonom lineer sistem için başka ne diyebiliriz? Özel bir çözüm: denge noktası Denge noktasının Lyapunov anlamında kararlılığı Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık sistemine ilişkin bir denge noktası olsun. Verilen herhangi bir için eşitsizliği eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir bulunabiliyorsa denge noktası Lyapunov anlamında kararlıdır. Sistemin kararliligi Ozdegerlerin yerini bilmek yeterli Ve Lyapunov anlamında kararlılığı lineer sistemde anlamak için.....

Dinamik Sistem T=R sürekli zaman Dinamik sistem: (T, X, φt ) T zaman φt : X X T=Z ayrık zaman a1) φ0=I a2) φt+s =φt ◦ φs ▪ X=Rn X durum uzayı X=Cn Hatırlatma: Metrik Uzay Çember Dinamik sistem bir küme durumları belirten ve bir kural durumların zamanda gelişimini belirten oluşuyor.Durum uzayı icin: (Kuznetsov sf. 3-5) The state space has a certain natural structure alowing for comparision between different states. More specifically, a distance d between two states is defined making these sets metric spaces. ... Discrete time systems appear naturally in ecology and economics when the state of a system at a certain moment of time t completely determines its state after a year, say at t+1

T, xo ‘da süreklidir Sürekli Dönüşüm Yakınsama,Tam Uzay,Büzülme.... Hatırlatma Sürekli Dönüşüm T, xo ‘da süreklidir Yakınsama,Tam Uzay,Büzülme.... Notasyona ilişkin hatırlatma : Öyle ki : Her : Vardır : Sadece bir tane vardır

Lineer Vektör Uzayı ‘de iki Hatırlatma Lineer Vektör Uzayı ‘de iki cebrik işlem ve aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun ve olmak üzere Vektör toplama (VT) VT1 VT2 VT3 VT4

Hatırlatma Skaler ile çarpma (SÇ) SÇ1 SÇ2 SÇ3 SÇ4

Hatırlatma Norm V vektör uzayı olmak üzere, aşağıdaki dört özelliği sağlayan fonksiyon : normdur

Yörünge: Or(xo) xo ilk koşulundan başlayan bir yörünge, x durum uzayının sıralı bir alt kümesidir. Lineer otonom sistem Surekli zaman icin yorunge zamanda gelisim fonksiyonu surekli ise durum uzayında eğriler ayrik zaman icin durum uzayında noktalardan oluşmuş seri Lojistik dönüşüm

Denge noktası- Sabit nokta: Denge noktası-Sabit nokta nasıl belirlenir? Ayrık Zaman Sürekli Zaman Çevrim: periyodik yörüngesi Çevrimdir. Ayrık Zaman Sürekli Zaman Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”3rd Edition, Springer, 2004,

Sürekli zaman, dinamik bir sisteme ait bir çevrimin komşuluğunda başka Limit Çevrim: Sürekli zaman, dinamik bir sisteme ait bir çevrimin komşuluğunda başka bir çevrim yoksa bu çevrim Limit Çevrimdir. Hangisi çevrim, hangisi limit çevrim? Faz Portresi: Dinamik bir sistemin durum uzayının yörüngeler ile bölümlenmesi faz portresini verir. Bu yörüngeleri birbirinden farklı kılan nedir? Faz portresine bakarak neleri anlayabiliriz?

Bazı Doğrusal Olmayan Sistemler Sarkaç Θ mg l yerçekimi sürtünme Durum uzayı gösterimi durum değişkenleri

Denge noktalarının civarındaki davranışı incelemek istesek Bu denge noktalarının hepsi anlamlı mı? Önce ne yapacağız ? denge noktaları π -π 2π -2π Denge noktalarının civarındaki davranışı incelemek istesek ne yapmamız gerekir? (0,0) civarında Bu sistemin kararlılığını incelemeyi biliyoruz ................................................................................

Bu sistemin de kararlılığını incelemeyi biliyoruz (π,0) civarında Bu sistemin de kararlılığını incelemeyi biliyoruz ...................................................................................... Sürtünmenin etkisini ihmal etsek.... (0,0)’ın civarı Bu sistemin kararlılığına baksak....................................... (π,0) civarı H.K.Khalil, “Nonlinear Systems”, 3rd Edition, Pearson Education, 2000.

Tünel Diyod Devresi

Denge noktaları .... * * * * * * *