2.1 Some Basic Probability Concepts Chapter 2 September 2, 2005

2.2 Rassal Değişken : Bir değişkenin değeri belirsizdir taki o değişken bir gözlem sonucu değeri elde edilsin. Random Variable ( Rassal Değişkenler ) Ekonomistlerin sıklıkla kullandıkları değişkenlerden fiyat satışlar faiz ve issizlik oranı rassal değişkendir. Bu değişkenler 100% tahmin edilemez taki gerçekleşene kadar.

2.3 Controlled experiment --values of explanatory variables are chosen with great care in accordance with an appropriate experimental design. Uncontrolled experiment --values of explanatory variables consist of nonexperimental observations over which the analyst has no control.

2.4 Sürekli Rassal Degişkenler : Bir sürekli rassal degişken alabilecegi değerler bir gerçek sayılar serisindeki belirli bir aralık içerisinde Herhangi bir degerdir. Örnek: Gayri Safi Milli Hasıla (GSMH) Para Arzı Faiz Oranı Yumurta Fiyatı Herhangi Bir Ailenin Geliri Bir ayakkabının satış fiyatı Continuous Random Variable Sürekli Rassal Degişkenler

2.5 Kesikli Rassal Değişken : Bir kesikli rassal değişken sınırlı bir seri içerisinde pozitif Sayılarca sayılabilen elemanların serisi. Örnek:Milli Piyango tarafından verilecek Ödül dağılımı şöyledir.Ödül dağılımı kesikli bir dağılım gösterir. Birinci Ödül: $1,000 İkinci Ödül: $50 Üçüncü Ödül: $5.75 Sayılabilen bu tip seriye $0.00; $5.75; $50.00; $1, Discrete Random Variable Kesikli Rassal Değişken

2.6 Başka Kesikli Rassal Değişken Örnekleri Bir yıl boyunca doktor ziyaretlerinin sayısı Araba kredisinin ödemeleri kaç defa geç yapıldı Bir ailenin toplam çocuk sayısı. Bir kişinin kaç hafta işsiz kaldığının sonucu. İstatistik sınıfının öğrenci sayıları.

2.7 Kesikli bir rassal değişkenlerin değeri şayet kısıtlanmış ise bu değerlere gölge Değişken denir. ( genelde kısıtlanmış değer Olarak 0 veya 1 alınır). Qualitetif farklılığı ortaya koymak için gölge değişkene Çevirilir örneğin cinsiyet sorularından alınan cevaplar (Erkek-0 ve Kadın-1) Irk (Beyaz-0, Zenci-1) Vatandaşlık US-0 TR-1 Gelir Sınıfı (0=Fakir, 1=Zengin). Dummy Variable -Gölge Değişken-

2.8 Probability Distributions -Olasılık Dağılımı- Rassal değişkenlerin dağılımı nedir? farklı sonuçların olasılıklarının birleşimi o serinin olasılıklar dağılımını oluşturur. Olasılıklar dağılımı farklı karakteristikleri yansıtır ve bir kesikli rassal değişkenlerin göstereceği dağılım ile sürekli değişkenlerden oluşan olasılıklar dağılımı farklılık arz eder.

2.9 What is a Probability? -Olasılık Nedir- Kesikli değişkenlerden oluşan bir seride X herhangi bir değişkeni temsil ederken bu değişkenin belirli bir deneme sonucunda gerçekleşme olasılığı,x,olsun. Bunun anlamı tüm denemelerin toplam sayısı ile bu denemelerde X sonucunun kaç defa gerçekleştiği (ortaya çıktığının) oranıdır.

2.10 Burdan devam edın Kesikli rassal değişkenler A list of all of the possible values taken by a discrete random variable along with their chances of occurring is called a probability function or probability density function (pdf). It can be a table, a graph or a formula. Probability Distributions for Discrete Random Variables -Kesikli Rassal Değişkenlerin Olasılıklar Dağılımı-

2.11 diexf(x) one dot11/6 two dots21/6 three dots31/6 four dots41/6 five dots51/6 six dots61/6 Experiment: roll a fair die. Let random variable X = number of dots showing.

2.12 A discrete random variable X has pdf, f(x), which is the probability that X takes on the value x. f(x) = P(X=x) If X takes on the n values: x 1, x 2,..., x n, then f(x 1 ) + f(x 2 )+...+f(x n ) = 1. Therefore, 0  f(x)  1

2.13 Probability, f(x), for a discrete random variable, X, can be represented by height of a bar graph X Random Variable X: Number on Dean’s List of three roommates f(x)

2.14 Probability Distribution for a Continuous Random Variable Since a continuous random variable has an uncountably infinite number of values, the probability of one occurring is zero. P [ X = a ] = 0

2.15 We can ask questions like, “What is the probability that X is between a and b? P[a < X < b] = ? What does it mean? In an experiment, the probability P[a < X < b] is the proportion of the time, in many experiments, that X will fall between a and b.

2.16 A continuous random variable uses area under a curve rather than the height, f(x), to represent probability: f(x) X $34,000 $55,000.. per capita income, X, in the United States red area green area

2.17 For a Continuous Random Variable Probability is represented by area. Experiment: Randomly draw the name of an adult person in the U.S. and let X=income. P[X> $55,000]=.1324 this implies that 13.24% of adults have income greater than $55,000. An interval for X is needed to get an area under the curve.

2.18 The area under a curve is the integral of the equation that generates the curve: For continuous random variables it is the area under f(x), and not f(x) itself, which defines the probability of an event. b a P [ a  X  b ] =   f(x) dx

2.19 n Özellik 2:   ax i = a   x i i = 1 n Özellik 1:   x i = x 1 + x x n i = 1 n Özellik 3:   x i +  y i  =   x i +   y i i = 1 nn n Toplama Kuralı

2.20 Özellik 4:   ax i +  by i  = a   x i + b   y i i = 1 nn n Toplama Kuralı Devam…… i = 1 n n 1 5: x =   x i = x 1 + x x n n Beşinci Özellik için bir ilave özellikte şudur   x i  x) = 0 i = 1 n

2.21 Özellik 6:   f(x i ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) f(x n ) i = 1 n Notation:   f(x i ) =   f(x i ) =   f(x i ) n x i i = 1 n Özellik 7 :    f(x i,y j ) =  [ f(x i,y 1 ) + f(x i,y 2 )+...+ f(x i,y m )] i = 1 n m j = 1 Toplamdaki sıra önemli değildir    f(x i,y j ) =    f(x i,y j ) i = 1 n m j = 1 m n i = 1 Toplama Kuralı devam….

2.22 Rassal değişkenin aritmetik ortalaması o serinin matematiksel beklentileri (umulan) değerine eşittir. Rassal (Random) Değişkenin Aritmetik Ortalaması

2.23 Expected Value Beklenen Değer İki farklı tanım yapabiliriz fakat sonuçta elde edilen değerler eşittir. 1. Empirically: The expected value of a random variable, X, is the average value of the random variable in an infinite number of repetitions of the experiment. Deneysel işlemlerin bir çok defa tekrarlandığında Ortalama olarak kaç defa X değerinin tekrar ettiği yada sonuçta ortaya çıktığının değeridir.

2.24 Expected Value 2. Analytically: The expected value of a discrete random variable, X, is determined by weighting all the possible values of X by the corresponding probability density function values, f(x), and summing them up. E[X] = x 1 f(x 1 ) + x 2 f(x 2 ) x n f(x n ) In other words:

2.25 Örnek: Oyun Zarının Bir Defa Atılmasında olası sonuçlarının ortalaması Yorumu: Çok büyük bir deneme sonucunda (10000 defa zarın atıldığını düşünün) zar sonuçlarının ortalama degerinin e 3.5

2.26 Her iki yöntemin uygulanmasında elde edilecek bulacağı sonuç aynı olacaktır şayet deneme rakamı sonsuz gibi büyük bir rakam olduğunda Ortalama değerlerde aynı olur. Empirical vs. Analytical The empirical method for computing expected values can be used even when the probability distribution is not known--for example when the die is not fair.

2.27 Ana Kütle Ortalaması =Umulan Deger(Expected value) = Analytical mean =  =E[X] = Birçok denemenin ortalaması Population Mean vs. Sample Mean Anakütle Ortalaması ve Örnek Kütle Ortalaması

2.28 Sample mean Örnek Kütle Ortalaması Örnek Kütle Ortalaması = örnek kütlenin aritmetik ortalamac bazi örnek kütle degerlerinin ortalaması = Empirical Mean. Örnek: T defa zar atarsak ve diyelimki x t t’ci zar atışının ortalamazı (empirical ortalaması)…

2.29 E X =  x i f(x i ) i=1 n X-karesi …. Umulan (Beklenen) değeri : E X =  x i f(x i ) i=1 n 2 2 Burdaki önemli özellik f(x i ) hiçbir zaman degişmez! X-küp (Beklenen) Umulan degeri: E X =  x i f(x i ) i=1 n 3 3 X değerinin umulan (Beklenen) değeri:

2.30 Kesikli Rassal Değişkenler`de X fonksiyonun beklenen (umulan) değeri This is for discrete random variables. For continuous random variables the rule is similar but with “integration” replacing “summation.”

2.31 Expected Value of g(X) X = number of 3 roommates on Dean’s List

2.32 EX = 0 (.1) + 1 (.3) + 2 (.3) + 3 (.2) + 4 (.1) = 1.9 = = EX = 0 (.1) + 1 (.3) + 2 (.3) + 3 (.2) +4 (.1) = = 14.5

2.33 E [g(X)] =  g ( x i ) f(x i ) n i = 1 g(X) = g 1 (X) + g 2 (X) E [g(X)] =  g 1 (x i ) + g 2 (x i )] f(x i ) n i = 1 E [g(X)] =  g 1 (x i ) f(x i ) +  g 2 (x i ) f(x i ) n i = 1 n E [g(X)] = E [g 1 (X)] + E [g 2 (X)]

2.34 Toplam ve Çıkarma Rassal Değişkenler E(X-Y) = E(X) - E(Y) E(X+Y) = E(X) + E(Y)

2.35 E(X+a) = E(X) + a Sabit bir sayının değişkene ilave edilmesi : Sabit bir sayının Çarpımı: E(bX) = b E(X)

2.36 var(X) = X degerlerinin Ortalamadan sapmaların karesi var(X) = expected value of the squared deviations around the expected value of X. var(X) = E [(X - EX) ] 2 Varyans

2.37 var(X) = E [(X - EX) ] = E [X - 2XEX + (EX) ] = E(X ) - 2 EX EX + E (EX) 2 2 = E(X ) - 2 (EX) + (EX) 2 22 = E(X ) - (EX) 2 2 var(X) = E [(X - EX) ] 2 var(X) = E(X ) - (EX) 2 2

2.38 Kesikli Rassal Degişkenlerde Varyans Standart Sapma varyansın karekök degeridir. var ( X ) = (xixi - EX) 2 f (xixi ) i= 1 n 

2.39 Semboller

2.40 x i f(x i ) (x i - EX) (x i - EX) f(x i ) = (.1) = = (.3) = = (.1) = =.7.49 (.2) = = (.3) =.867  x i f(x i ) = = 4.3  (x i - EX) f(x i ) = = Kesikli Rassal Degişken olan X”ler için Varyans hesabi: i = 1 n n

2.41 Z = a + cX var(Z) = var(a + cX) = E [(a+cX) - E(a+cX)] = c var(X) 2 2 var(a + cX) = c var(X) 2

2.42 A joint probability density function, f(x,y), provides the probabilities associated with the joint occurrence of all of the possible pairs of X and Y. Joint pdf

2.43 college grads in household joint pdf f(x,y) Y = 1 Y = 2 vacation homes owned X = 0 X = 1 City College,NY Anket sonuçları f (0,1) f (0,2) f (1,1) f (1,2)

2.44 E[g(X,Y)] =   g(x i,y j ) f(x i,y j ) i j E(XY) = (0)(1)(.45)+(0)(2)(.15)+(1)(1)(.05)+(1)(2)(.35)=.75 E(XY) =   x i y j f(x i,y j ) i j İki Random Değişkenin Beklenen Değerlerinin hesabı

2.45 The marginal probability density functions, f(x) and f(y), for discrete random variables, can be obtained by summing over the f(x,y) with respect to the values of Y to obtain f(x) with respect to the values of X to obtain f(y). f(x i ) =  f(x i,y j ) f(y j ) =  f(x i,y j ) i j Marginal pdf

Marginal Probabilitiess Y = 1 Y = 2 X = 0 X = f (X = 1) f (X = 0) f (Y = 1) f (Y = 2) marginal pdf for Y: marginal pdf for X:

2.47 The conditional probability density functions of X given Y=y, f(x | y), and of Y given X=x, f(y | x), are obtained by dividing f(x,y) by f(y) to get f(x | y) and by f(x) to get f(y | x). f(x | y) = f(y | x) = f(x,y) f(y) f(x) Conditional pdf

Conditional Probabilities Y = 1 Y = 2 X = 0 X = f (Y=2 | X= 0)=.25 f (Y=1 | X = 0)=.75 f (Y=2 | X = 1)=.875 f (X=0 | Y=2)=.30 f (X=1 | Y=2)=.70 f (X=0 | Y=1)=.90 f (X=1 | Y=1)=.10 f (Y=1 | X = 1)=.125

2.49 X and Y are independent random variables if their joint pdf, f(x,y), is the product of their respective marginal pdfs, f(x) and f(y). f(x i,y j ) = f(x i ) f(y j ) for independence this must hold for all pairs of i and j Independence

X & Y not independent Y = 1 Y = 2 X = 0 X = f (X = 1) f (X = 0) f (Y = 1) f (Y = 2) marginal pdf for Y: marginal pdf for X:.50x.60=.30.50x.40=.20 The calculations in the boxes show the numbers required to have independence.

2.51 Statistical Independence P[X=x|Y=y]=P[X=x] Knowing Y=y does not affect probability that X=x

2.52 Example: Promotion and Sex

2.53 Are Sex and Promotion Statistically Independent? Yes, since conditonal and unconditional probabilities are equal in this population

2.54 The covariance between two random variables, X and Y, measures the linear association between them. cov(X,Y) = E[(X - EX)(Y-EY)] Note that variance is a special case of covariance. cov(X,X) = var(X) = E[(X - EX) ] 2 Covariance

2.55 cov(X,Y) = E [(X - EX)(Y-EY)] = E [XY - X EY - Y EX + EX EY] = E(XY) - 2 EX EY + EX EY = E(XY) - EX EY cov(X,Y) = E [(X - EX)(Y-EY)] cov(X,Y) = E(XY) - EX EY = E(XY) - EX EY - EY EX + EX EY

Y = 1 Y = 2 X = 0 X = EX=0(.60)+1(.40)=.40 EY=1(.50)+2(.50)=1.50 E(XY) = (0)(1)(.45)+(0)(2)(.15)+(1)(1)(.05)+(1)(2)(.35)=.75 cov(X,Y) = E(XY) - EX EY =.75 - (.40)(1.50) = =.15 covariance

2.57 The correlation between two random variables X and Y is their covariance divided by the square roots of their respective variances. Correlation is a pure number falling between -1 and 1. cov(X,Y)  (X,Y) = var(X) var(Y) Correlation

Y = 1 Y = 2 X = 0 X = EX=.40 EY=1.50 cov(X,Y) =.15 correlation EX=0(.60)+1(.40)= var(X) = E(X ) - ( EX) =.40 - (.40) = EY=1(.50)+2(.50) = = var(Y) = E(Y ) - ( EY) = (1.50) =  (X,Y) = cov(X,Y) var(X) var(Y)  (X,Y) =.61

2.59 What does correlation look like??  =0  =.3  =.7  =.9

2.60 Independent random variables have zero covariance and, therefore, zero correlation. The converse is not true. Zero Covariance & Correlation

2.61 The Normal Distribution Y ~ N( ,  2 ) f(y) = 2  22  2 1 exp  y f(y) 2  2 (y -  ) 2 -

2.62 The Standardized Normal Z ~ N( ,  ) f(z) = 2 2  1 exp 2 z2z2 - Z = (y -  )/ 

2.63 P [ Y > a ] = P > = P Z > a -  Y -      y f(y) a Y ~ N( ,  2 )

2.64 P [ a < Y < b ] = P < < = P < Z < a -  Y -    b -   a -   b -    y f(y) a Y ~ N( ,  2 ) b