OLASILIK TEOREMLERİ Permütasyon n Elemanlı bir kümeden r eleman çekilerek sıra önemli olmak kaydıyla sıralanması halinde bunun kaç farklı şekilde sıralandığını gösteren sayıya permütasyon adı verilir ve şöyle formüle edilir;

Burada (!) işareti faktöriyel olarak adlandırılır ve bunun altındaki bütün pozitif tam sayıların çarpılacağı anlamına gelir. n! = n.(n-1).(n-2)......2.1 olarak yazılır Özel olarak 0!=1’e eşittir. n çok büyük olduğu zaman n!’in hesaplanması zor olacağından stirling formülü olarak tanımlanan aşağıdaki formül kullanılmaktadır.

Permütasyon birçok probleme uygulanabilmekle birlikte, uygulamada dikkat edilmesi gereken bazı durumlar vardır. Eğer bir problemde şu üç şart gerçekleşiyorsa permütasyonu doğrudan uygulamak mümkündür. 1- Kümedeki bütün elemanlar birbirinden farklı olmalıdır, 2- Herhangi bir eleman için hiçbir kısıtlama getirilmemelidir, 3- Hiçbir eleman bir defadan fazla kullanılmamalıdır. Örnek: nP4 = 5 nP3 ise n’in değeri nedir? Çözüm: (n-3) = 5  n = 8 olur.

Örnek: 10 farklı ampul a)10 farklı yere kaç değişik şekilde takılabilir? b) 5 farklı yere kaç değişik şekilde takılabilir? Çözüm: 10!= 3628800 b)

Örnek: Bir rafta birbirinden farklı 5 tane Matematik, 2 tane Fizik ve 3 tane Kimya kitabı vardır. Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yan yana sıralanabilir? Çözüm: 5 Matematik kitabını 1 kitap, 2 Fizik kitabını 1 kitap ve 3 Kimya kitabı da 1 kitap olarak düşünülürse, bunlar 3! şeklinde sıralanır. 5 Matematik kitabı kendi arasında 5!, 2 Fizik kitabı kendi arasında 2! ve 3 Kimya kitabı da kendi arasında 3! şeklinde sıralanabilir. Şu halde kitaplar bir rafa; 3!*5!*2!*3! = 8640 farklı şekilde sıralanır. Örnek: 8! = a ise ( 10! – 9! ) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? Çözüm 10! – 9! = 10 * 9! – 9! = 9! ( 10 – 1) = 9! * 9 bu ifade = 9 * 8! * 9 şeklinde yazılırsa, = 81 * 8! = 81 a olur.

Örnek: 4 farklı istatistik ve 5 farklı matematik kitabı, matematik kitapları birbirinden ayrılmamak üzere bir rafa kaç değişik biçimde dizilebilir? Çözüm: Matematik kitapları birbirinden ayrılmayacağı için hepsi bir kitap olarak düşünülebilir. Bu durumda 5 kitap 5! şekilde sıralanır. Ayrıca 5 matematik kitabı da kendi arasında 5! şekilde sıralanır. O halde tüm sıralamalar; 5! . 5! = 120 . 120 = 14.400 olur. Örnek: 20 kişinin katıldığı bir şiir yarışmada ilk üç dereceye girenler farklı şekillerde ödüllendirileceklerdir. Yarışma kaç değişik şekilde sonuçlanabilir? Çözüm: Örnekte her derecenin farklı ödülü olduğuna göre sıra önemli olduğundan permütasyon uygulanması gerekir.

Tekrarlı permütasyon n eleman içeren bir kümede r1 eleman birbirinin aynısı, r2 eleman birbirinin aynısı,...... rk eleman birbirinin aynısı ise n elemanın Permütasyon sayısı şeklinde hesaplanır. Örnek: ÇANAKKALE kelimesinin harfleri ile kaç farklı kelime yazılabilir? Çözüm: Kelimede A, 3 kez tekrarlanmış, K, 2 kez tekrarlanmış, n = 9 (harf sayısı) olduğuna göre; Problem: Bir sınıfta bulunan 15 öğrenciye 3 farklı test verilecektir. Her testi alan öğrenci sayısı aynıdır. Dağıtım kaç farklı şekilde gerçekleştirilir. (Cevap: 756756 )

Dairesel Permütasyon: n tane farklı elemanın daire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması adı verilir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yan yana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur. Örnek: 7 kişilik bir komisyon bir masa etrafında oturacaktır. Bu komisyon yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir? Bu komisyon düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir? Komisyon başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler? Çözüm: a) (7-1)! = 6! = 720 b) 7! = 5040 c) (6-1)! *2! = 5!*2! = 240

Kombinasyon Permütasyon sıranın önemli olduğu problemlere uygulanmaktadır. Ancak bazı problemlerde sıranın önemi yoktur. Böyle durumlarda Permütasyon uygulamak doğru olmaz. Sıra önemli olmak şartıyla a,b,c,d harflerinden üçerli gruplar oluşturulduğunda aşağıdaki sonuçlar elde edilir. abc acb bac bca cab cba r! = 3! =6 abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb Tablodan görüleceği üzere üçerli grupların sayısı yani, Permütasyon sayısı; olacaktır. Sıra önemli olduğundan yukarıdaki her satır sadece bir alt kümenin permütasyonlarından ibarettir.

{a,b,c,d} Kümesinin her biri üç elemandan oluşan birbirinden farklı dört alt kümesi ({a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}) vardır. n elemanı bulunan bir kümeden seçilen r elemanın permütasyonları, her alt kümeyi r! defa içinde bulundurmaktadır. Dolayısıyla n elemanın r li kombinasyonuna ulaşabilmek için nPr ’yi r! ile bölmek gerekir. Böylece sıranın önemi ortadan kalkmış olur. Buna göre kombinasyon, n elemanı olan bir kümeden her biri r eleman içeren birbirinden farklı alt kümelerin kaç farklı şekilde seçilebileceğini gösteren sayıdır ve bu sayı şöyle bulunur. Bu kombinasyon sayısına aynı zamanda binom katsayısı adı da verilmektedir.

Alfabenin ilk dört harfi ile teşkil edilen 3’erli kombinasyonların sayısı; Özel olarak nC0 = 1 ve nCn = 1 e eşittir. Ayrıca permütasyon ve kombinasyon arasında şöyle bir ilişki vardır. Yukarıdaki ifadelere göre kombinasyonu permütasyona bağlı olarak şöyle ifade etmek mümkündür

Örnek: 10 üyesi olan bir dernekte 3 kişilik bir komisyon kaç değişik şekilde teşkil edilebilir. Çözüm: komisyonda bulunan şahısların seçim sırası önemli olmadığına göre kombinasyon formülü uygulanır. Örnek: A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile 3 basamaklı sayılar yazılacaktır. a) Bu kümedeki rakamlarla üç basamaklı kaç sayı yazılabilir. (Seçim iadeli) b) Her rakam bir defa kullanılmak şartıyla (seçim iadesiz) kaç farklı sayı yazılabilir. c) b şıkkındaki sayıların kaç tanesinde 4 rakamı bulunur. d) Bu sayıların kaç tanesinde 4 ve 5 rakamları bulunur.

e) Bu sayıların kaç tanesinde 4, 5 ve 6 rakamları vardır. f) Bu sayıların kaçı 300’den büyüktür. g) Bu sayılardan kaç tanesinin son rakamı 1’dir. h) Bu sayılardan kaçı 1 ile başlar 6 ile biter. Çözüm: a) 6x6x6 = 216 b) 6P3= 6x5x4=120 c) d) e) f) 4x5x4 = 80 g) 1x5x4=20 h) 1x4x1=4

Örnek: Bir düzlem üzerinde 10 nokta yer almaktadır Örnek: Bir düzlem üzerinde 10 nokta yer almaktadır. Noktalar üçü bir doğru üzerinde olmayacak şekilde yerleştirilmiştir. a) Bu noktalardan kaç doğru geçer? b) Bu doğrulardan kaç tanesi A noktasından (10 noktadan biri) geçer c) Bu noktalar kaç üçgen teşkil eder d) Bu üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A’dır. e) Bu doğrularla kaç dörtgen oluşturulabilir? Çözüm: a) İki noktadan bir doğru geçtiğine ve AB doğrusu aynı zamanda BA doğrusu olduğuna göre; b) A noktası dışında kalan 9 nokta ile A birleştirilerek 9 doğru elde edilir.

c) 3 nokta ile bir üçgen teşkil edildiğine göre; d) i) Söz konusu üçgenlerin bir köşesi A’da bulunacağına göre diğer iki köşe: ii) Bir köşesi A’da bulunmayan üçgen sayısı Toplam üçgen sayısı 120 olduğuna göre 120-84=36 üçgenin bir köşesi A noktası alır. e)

Binom teoremi: Eğer n pozitif tamsayısı ise; Binom katsayıları Binom katsayılarını genel olarak şöyle ifade edebiliriz. (a+b)n ifadesi açıldığında an-rbr ’nin katsayısı r adet b ve n-r adet a’yı seçmek için mevcut olan hal sayısına eşittir. Dolayısıyla a b’nin katsayısı, n elemanlı bir Kümeden r elemanı olan bir alt küme seçmek için mevcut olan hal sayısına eşittir. Yani kısaca dur. Binom teoremi: Eğer n pozitif tamsayısı ise;

Binom katsayıları şu üç teorem kullanılarak kolayca hesaplanabilir. Teorem 1) n pozitif tamsayı ve r=0,1,.....n için olur. Bu ifade binom katsayılarının simetrik olduğunu ifade etmektedir. Teorem 2) n pozitif tamsayı ve r=0,1,2,.....n-1 için olur. Bu teoreme göre Paskal üçgenindeki üstteki iki sayının toplamının alttaki sayıya eşit olduğu anlaşılmaktadır. 2. teorem kullanılarak, binom katsayıları, paskal üçgeni yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir. n =0 (a+b)0 1 n =1 (a+b)1 1 1 n =2 (a+b)2 1 2 1 n =3 (a+b)3 1 3 3 1 n =4 (a+b)4 1 4 6 4 1 n =5 (a+b)5 1 5 10 10 5 1

Örnek: (a+1/a)8 ifadesinin açılımında sabit terimi bulunuz. Teorem 3) Örnek: (a+1/a)8 ifadesinin açılımında sabit terimi bulunuz. Örnek: (3x-5)10 ifadesinin açılımında x6 yı içeren terimi bulunuz (Cevap: 95681250x6)

Örnek: (3+5x)4 teriminin açılımını yazınız. Çözüm: (3+5x)4 = 81+540x+1350x+1500x+625x Örnek: ifadesinin açılımını yazınız.

Örnek: ifadesinin açılımında sabit terimi bulunuz. Çözüm: Sabit terim x0 lı terim dir. Bu durumda veya, 24 - 4r = 0 ise r = 6 olur. Bu durumda; Olarak bulunur.

Örnek (2a2 -3b3)n ’in açılımında terimlerden biri ma6b15 ise, a) n’i bulunuz b) m’i bulunuz. Çözüm a) terim ma6b15 ise, a’nın üssü 6, b’nin üssü 15 olduğuna göre bu üsler a ve b ifadelerinin üsleri de dikkate alınarak şöyle yazılabilir. ma2x3b3x5 olur. O halde: n =3+5 = 8 dir. b) n =8 olduğuna göre r = 5 olur. Buna göre;

Örnek ifadesinin açılımındaki terimlerden x’ teriminin katsayısını bulunuz. Çözüm x’in katsayısı arandığı için x1 e bakmak gerekir. 1=11-2r 10=2r r=5 olur. Buradan 4r = 45 = 1024 dolayısıyla x’in katsayısı 462x1024 =473088

KAYNAKLAR 1. Yüksel, İ., ‘İstatistik ve Olasılık Ders Notları’, 2011.