İKİDEN ÇOK (K) ÖRNEKLEM TESTLERİ

BAĞIMSIZ GRUPLARA İLİŞKİN HİPOTEZ TESTLERİ

İKİ ÖRNEKLEM TESTLERİ TEK YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ (ANOVA) BAĞIMSIZ K ÖRNEKLEM TESTLERİ PARAMETRİK TESTLER PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER KRUSKAL-WALLIS VARYANS ANALİZİ ÇOK GÖZLÜKİ-KARE TESTLERİ

TEK YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ Parametrik test varsayımları sağlandığında, ölçümle belirtilen bir değişken yönünden ikiden fazla bağımsız grubun ortalamaları arasında fark olup olmadığını test etmek için kullanılır. İki ortalama arasındaki farkın anlamlılık testi için gerekli varsayımlar varyans analizi için de geçerlidir.

Varsayımlar Karşılaştırılacak gruplar normal dağılım göstermeli Grupların varyansları homojen olmalı Gruplar birbirinden bağımsız olmalı Hipotezler: H 0 :  1 =  2 =  3 =...=  k H a : En az bir  i farklıdır.

Ortalama T.. T.k T.3 T.2 T.1 Toplam x 3k x 33 x 32 x 31 x 2k x 23 x 22 x 21 x 1k x 13 x 12 x 11 k321 Gruplar j. sütunun toplamı j. sütunun ortalaması Bütün gözlemlerin toplamı

Genel Kareler Toplamı: Grup İçi Kareler Toplamı: Gruplar Arası Kareler Toplamı: GnKT=GIKT+GAKT

Gruplar İçi Kareler Ortalaması: Gruplar Arası Kareler Ortalaması: F Hesap İstatistiği:

Değişim Kaynağı Kareler toplamı Ser. Der. Kareler Ortalaması F Gruplar ArasıGAKTk-1GAKOGAKO/ GIKO Grup İçiGIKTN-kGIKO GenelGnKTN-1 ANOVA TABLOSU

Varyans Analizi Sonucu Anlamlı Olduğunda Farklı Grupların Belirlenmesi

Varyans analizi sonucunda gruplar arasında fark yoksa işlemler sona erer. Ancak, gruplar arasında fark varsa, farklılığın hangi grup ya da gruplar arasında olduğu farklı yöntemlerle araştırılabilir. Bu yöntemlere post-hoc testleri denir. Bu yöntemlerden en çok kullanılanları; LSD Tukey Bonferroni Sidak Dunnett’s C Dunnett’s T3

Örneklem genişlikleri eşit olduğunda(n 1 =n 2 =n 3 =...=n k =n) LSD Testi p<0.05 Örneklem genişlikleri eşit olmadığında(n 1  n 2  n 3 ...  n k ) p<0.05

Örnek: Adölesan dönemindeki 90 kız, yaş gruplarına göre (11-14, 15-18, 19-24) 3 gruba ayrılmıştır. Günlük kilo başına tükettikleri kaloriler hesaplanmıştır. Yaş gruplarına göre tüketilen kaloriler bakımından farklılık var mıdır?

Yaş Grupları Toplam Ortalama

H 0 :  1 =  2 =  3 H a : En az bir  i farklıdır. GAKT=GnKT-GIKT= =

ANOVA TABLOSU , Gruplar Arası Grup İçi Toplam Kareler Toplamısd Kareler Ortalaması FP değeri GIKO=GIKT/(90-3)= /87=26.75 GAKO=GAKT/(3-1)= /2= F=GAKO/GIKO=657.53/26.75=24.58 Grup ortalamaları arasında anlamlı bir farklılık vardır.

Gruplardaki kişi sayıları birbirine eşit olduğu için HipotezlerLSDİstatistiksel karar H 0 :  1 =  >2.64, H 0 red. H 0 :  1 =  >2.64, H 0 red. H 0 :  2 =  >2.64, H 0 red.

KRUSKAL- WALLIS TESTİ Tek yönlü varyans analizinin parametrik olmayan karşılığıdır. Veriler ölçümle belirtildiği halde parametrik test varsayımları sağlanmıyorsa (gözlem sayısı az ya da gruplar normal dağılmıyor ise) Kruskal-Wallis testi kullanılır.

Testin aşamaları şu şekilde gerçekleşir: 1.k grubun n 1, n 2,…, n k gözlemleri tek bir değişken altında küçükten büyüğe sıralanır. Tüm gözlemlere sıra numarası verilir. 2.k grubun sıra numaraları ayrı ayrı toplanır(R j ) 3.Test istatistiği şeklinde hesaplanır. Grup sayısı j. gruptaki gözlem sayısı j. gruptaki sıra sayıları toplamı

4.Üç grup olduğunda ve her bir grupta beş ve daha az gözlem olduğunda hesaplanan KW istatistiği, özel tablolar kullanılarak karşılaştırılır. Bir ya da daha fazla grupta beşten fazla gözlem olduğunda ise KW, k-1 serbestlik dereceli  2 tablo değeriyle karşılaştırılır.

ANOVA’da olduğu gibi bu Kruskal-Wallis testi de tüm gruplar arasında anlamlı bir farklılık olup olmadığını belirtir. Hangi gruplar arasında farklılık olduğunu vermez. Bunun için çoklu karşılaştırma yapmak gerekir.  p<0.05 Test Sonucu Anlamlı Olduğunda Farklı Grupların Belirlenmesi

Örnek: Üniversite öğrencilerinin çay içme miktarına göre hemoglobin düzeylerinin değişip değişmediği incelenmek istenmektedir. Bu amaçla 13 kişi “yemekten 1 saat önce veya sonra çay içenler”, “yemekten 30 dakika önce ya da sonra çay içenler” ve “yemekle birlikte çay içenler” olmak üzere üç gruba ayrılmışlardır ve hemoglobin düzeyleri ölçülmüştür. Buna göre hemoglobin düzeyi çayın içilme zamanına göre değişmekte midir? H 0 : Kitle dağılımları benzerdir. H a : En az bir kitle dağılımı diğerlerinden farklıdır. Hipotezler:

Grup IIIIII Sıra R i KW (5,4,4;0.05) =5.657<KW=10.68 p<0.05, H 0 red. I: Yemekten 1 saat önce veya sonra çay içenler II: Y emekten 30 dakika önce ya da sonra çay içenler III: Yemekle birlikte çay içenler

Gruplarİstatistiksel Karar p< p< p<0.05 Çoklu Karşılaştırma Tablosu

Ki-kare testi iki ya da daha fazla gruplarda oran ya da frekansları karşılaştırmak için de kullanılır. Çok gözlü ki-kare düzenleri çoğu zaman satır ve sütun sayıları yardımıyla adlandırılır. Eğer incelenen herhangi bir nitelik değişken bakımından 2’den çok grup arasında fark olup olmadığı araştırılıyor ise bağımsız değişkenin(grupların) satırlarda yer alması,gerektiğinde yapılacak bazı ileri hesaplamalar içim daha uygun olacaktır. rxc Ki-KareTesti

İkinci Ölçüt Birinci Ölçüt 12cToplam 1G 11 G 12 G 1c G 1. 2G 21 G 22 G 2c G 2. rG r1 G r2 G rc G r. ToplamG.1 G.2 G.c N

Çok gözlü ki-kare düzenlerinde beklenen frekansı 5’ten küçük göz sayısının toplam göz sayısı içinde payının %20’yi aşmaması istenir. sd = (r-1)(c-1)

Örnek: Beslenme ve diyetetik bölümünü <75, ve 85+ not ortalaması ile bitiren öğrencilerin meslekteki başarı durumları inceleniyor. Sonuçlar; Meslekteki Başarı Bitirme Puanı BaşarılıYeterliBaşarısızToplam < Toplam Bitirme puanı ile meslekteki başarı arasında bir ilişki var mıdır?

Hiçbir hücrenin beklenen değeri 5’ten küçük değildir. Meslekteki Başarı Bitirme Puanı BaşarılıYeterliBaşarısızToplam (28.2)30 (51.2)25 (25.6) (37.6)80 (68.3)25 (34.1)140 <7525 (44.3)90 (80.5)50 (40.2)165 Toplam

 2 hesap =42.22 >  2 (4,0.05) =9.488, H 0 red, p<0.05 Bitirme puanı ile meslekteki başarı arasında bir ilişki vardır. H 0 : Bitirme puanı ve meslekteki başarı bağımsızdır. H a : Bitirme puanı ve meslekteki başarı bağımsız değildir.

Farklılığın hangi gruplardan kaynakladığını bulmak için her bir grup için ayrı ayrı ki-kare değerleri hesaplanır. Meslekteki Başarı Bitirme Puanı BaşarılıYeterliBaşarısızToplam (28.2)30 (51.2)25 (25.6) (37.6)80 (68.3)25 (34.1)140 <7525 (44.3)90 (80.5)50 (40.2)165 Toplam  2 = 4.63  2 =  2 =  2 = Farklılığın hangi gruplar arasında olduğunu bulmak için ki-kare değeri büyük olan grup (85+) dışarıda bırakılır. Geriye kalan gruplar arasında fark olup olmadığı yeniden ki-kare analizi yapılarak araştırılır. Buna göre ki-kare değeri 8.60 olarak bulunur. (2-1)x(3-1)=2 Serbestlik dereceli ki-kare tablo istatistiği 5.99 olarak elde edilir ve  2 hesap =8.60>  2 tablo =5.99 olduğu için Ho hipotezi red edilir. Yani ve <75 puan grupları ile meslekteki başarı arasında anlamlı bir ilişki vardır. Genel bir yorum olarak, tüm bitirme puanları ile meslekteki başarı arasında anlamlı bir ilişki vardır.

BAĞIMLI GRUPLARA İLİŞKİN HİPOTEZ TESTLERİ

İKİ ÖRNEKLEM TESTLERİ TEKRARLI ÖLÇÜMLERDE TEK YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ BAĞIMLI K ÖRNEKLEM TESTLERİ PARAMETRİK TESTLER PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER FRIEDMAN TESTİ COCHRAN Q TESTİ

İki eş arasındaki farkın önemlilik testinin ikiden çok grup için genelleştirilmişidir Örnek 1. Kandaki şeker miktarını düşürmek için hazırlanan bir diyet programının etkinliğini ölçmek için şeker hastalarının diyetten önce, diyetin 1. ayında ve diyetin 3. ayında kandaki şeker miktarlarının farklı olup olmadığının araştırılmasında kullanılabilir. TEKRARLI ÖLÇÜMLERDE TEK YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ

Örnek 2. Üç ayrı firmanın ürettiği tansiyon ölçme araçlarının aynı kişilerin tansiyonunu aynı değerde ölçüp ölçmediğinin test edilmesinde kullanılabilir.

Ortalama n x ik x ij x i1 i x 1k x 1j x 11 1 kj1 Ortalama Zaman Gözlem

ÖRNEK: BKİ>35 olan 30 bireye mide bandı takılmıştır. Bant takılmadan önce, takıldıktan 3 ay sonra ve takıldıktan 6 ay sonra beden kitle indeksleri ölçülmüştür. Beden kitle indeksleri zamana göre değişmekte midir?

Birey Bant Öncesi Banttan 3 ay sonra Banttan 6 ay sonra 1 40,4530,0425, ,9627,3430, ,4431,8325, ,1041,8638, ,5044,6036, ,9042,7340, ,2143,1742, ,9040,2937, ,3746,0641, ,4339,0936,75 Beden Kitle İndeksi

ZamanOrtalamaS. Sapman Bant Öncesi 47,715,0830 Banttan 3 ay sonra 40,265,8330 Banttan 6 ay sonra 36,526,1625 Tanımlayıcı İstatistikler

BKİ>35 olan bireylerin zamana göre Beden Kitle İndekslerine ilişkin ortalama ve standart sapma grafiği

H 0 : Mide bandı takılmadan önceki ve takıldıktan sonraki zamanlarda BKİ değerleri bakımından fark yoktur. HİPOTEZLERİN BELİRLENMESİ H 1 : Mide bandı takılmadan önceki ve takıldıktan sonraki zamanlarda BKİ değerleri bakımından fark vardır. Karşılaştırma için F dağılımından yararlanılır. Hesapla bulunan F istatistiğinin elde edilmesinde kullanılan bilgiler sıklıkla varyans analizi tablosunda özetlenir.

BKİ için Varyans Analizi Tablosu Değişim Kaynağı KTSdKO FP Genel 4544,86 89 Zamanlar Arası 1847, ,52 165, Denekler Arası 2374, ,89 Hata322,98585,57 BKİ’nin zamanlara göre değişimi önemlidir (p<0.05). Hangi zamanlar arasında fark olduğu ikişerli karşılaştırmalarla incelenmelidir.

Tukey HSD testi ile ikişerli karşılaştırmalara bakılacak olursa; P<0.05 GISD: Grup içi serbestlik derecesi

q değerleri tablosu

Gruplarİstatistiksel Karar p< p< p<0.05 Çoklu Karşılaştırma Tablosu

FRIEDMAN TESTİ Tekrarlı ölçümlerde varyans analizinin varsayımları yerine gelmediğinde (özellikle denek sayısı az ve/ya da veriler sayımla belirtildiğinde ya da sıralama ölçeğinde olduğu durumlarda) kullanılır.

n: Satır sayısı k: Grup (sütun sayısı) R j : Her bir gruba (sütuna) ilişkin sıra numaraları toplamı Friedman testi için test istatistiği:

İstatistiksel karar için ki-kare ya da F dağılımından yararlanılabilir (F dağılımından yararlanılarak yapılan çözüme burada değinilmeyecektir). Gruplar arasında fark olması durumunda ikişerli karşılaştırmalar yapılır. İstatistiği seçilen yanılma düzeyinde k-1 serbestlik dereceli ki-kare dağılımı gösterir.

Örnek : Tekrarlı ölçümlerde tek yönlü varyans analizi için verilen örneğin 11 birey üzerinde yapıldığını düşünelim. Bu durumda Friedman testi için hazırlık tablosu aşağıdaki gibi olacaktır.

Birey Bant Öncesi Banttan 3 ay sonra Banttan 6 ay sonra R(1) Sıra no R(2)R(3) 1 40,4530,0425, ,9627,3430, ,4431,8325, ,1041,8638, ,5044,6036, ,9042,7340, ,2143,1742, ,9040,2937, ,3746,0641, ,4439,5925, ,6739,6035,84 321

Örneğimiz için hipotez: Ho: BKİ zamana göre değişmemiştir. =20.18 Ho red Friedman test istatistiği: =5.99

COCHRAN Q TESTİ Cochran Q testi, McNemar bağımlı örneklerde ki-kare testinin ikiden çok grup için genelleştirilmişidir. Cochran Q testinde incelenen değişken, evet- hayır, yeterli-yetersiz… gibi iki durumludur.

Cochran Q istatistiği: C j : sütun toplamları R i : satır toplamları n: gözlem sayısı k: grup sayısı

Hesapla bulunan Q istatistiği seçilen alfa yanılma düzeyinde k-1 serbestlik dereceli ki- kare tablo istatistiği ile karşılaştırılır. Q HESAP > Q TABLO ise Ho Hipotezi reddedilir. İstatistiksel karar:

Örnek: Beslenme ve diyetetik öğrencilerinin geleceğe yönelik kaygılarının yıllar içinde değişip değişmediğini incelemek amacıyla düzenlenen ve aynı öğrenciler üzerinde son 3 öğretim yılı süresince devam eden bir çalışmada öğrencilere geleceğe yönelik kaygılarının var olup olmadığı soruluyor ve yanıtlar; geleceğe yönelik kaygı var için 1, yok için 0 şeklinde kodlanıyor. Öğrencilerin geleceğe yönelik kaygılarının yıllar içinde değişip değişmediği Cochran Q testi ile araştırılabilir.

Öğrenci Dönem II Dönem III Dönem IV RiRi CjCj Q HESAP = 9 >  2 (2,0.05) =5.99 p<0.05 H 0 reddedilir. Fark önemli olduğu için ikişerli karşılaştırmalar McNemar testi ile yapılabilir.

Kİ-KARE TABLOSU