Metrik koşullarını sağlıyor mu? 7) Uzayı Hatırlatma Metrik koşullarını sağlıyor mu? Adımlar: (1) (2) Hölder eşitsizliği (3) Minkowski eşitsizliği (4) Üçgen eşitsizliği

(3) Minkowski eşitsizliği !!! için eşitsizlik, üçgen eşitsizliğinden gösterilir. Hangi üçgen eşitsizliği??? için Nasıl geçildi? j üzerinden 1’den n’e kadar toplarsak 2

C C C 3

C C C C C C 4

Minowski eşitsizliği (4) Üçgen eşitsizliği 5

X=(X,d) metrik uzayında bazı özel alt kümeler Yuvar ve Küre Açık Yuvar Kapalı Yuvar Küre Açık küme, Kapalı Küme Açık kümedir ‘nın ‘deki tümleyeni açık ise Kapalı kümedir. Her açık yuvar, bir açık küme, Her kapalı yuvar, bir kapalı kümedir.

- komşuluk, komşuluk ‘nun -komşuluğudur. ‘nun -komşuluğunu kapsayan her , ‘nun komşuluğudur. İç Nokta, içi , ‘nun komşulu ise, ‘nin iç noktasıdır. ‘in içi, ‘nin tüm iç noktalarının oluşturduğu kümedir. Teorem MU1 ‘in tüm açık alt kümeleri olsun (T1) (T2) ‘in elemanlarının herhangi sayıda birleşimi ‘nin elemanıdır. (T3) ‘in elemanlarının sonlu sayıda arakesiti ‘nin elemanıdır. Tanıt (T1) açık küme tanımından (T2) açık küme olmak üzere açık küme

(T3) ‘lerin en küçüğü Hatırlatma: Süreklilik fonksiyonu tanım bölgesindeki bir noktasında ancak ve ancak, seçilen her sayısı için alındığında olacak şekilde bir sayısı bulunabiliniyorsa süreklidir. Sürekli Dönüşüm için noktasında süreklidir. için sürekli ise süreklidir.

Yığılma Noktası, Kapanış ‘nin yığılma noktası ise ‘nun her komşuluğunda en az bir vardır ve ‘ in yığılma noktalarını içeren küme ‘nin kapanışıdır. ‘ yi içeren en küçük kapalı kümedir. Sayılabilir Küme ve kümeleri arasında birebir ve üzerine bir dönüşüm varsa bu iki küme birbirine sayısal olarak eşdeğerdir. Sayısal olarak doğal sayılar kümesine eşdeğer olan bir kümesine numara- lanabilir denir. Sonlu ya da numaralanabilir bir kümeye sayılabilir adı verilir. Yoğun Küme, Ayrılabilir Küme ‘de yoğundur ‘in sayılabilir, ‘de yoğun alt kümesi varsa ayrılabilirdir.

Dizi Örnek 1) ayrılabilirdir, neden? 2) ayrılabilir midir? Dizi Uzayı kompleks sayılardan oluşan sınırlı diziler kümesi

sıfır ve birlerden oluşan bir dizi olsun ve y ile bir reel sayı ‘yı ilişkilendirelim. Nasıl? Bu dizi neden uzayının elemanıdır? Her bir ‘ye karşı düşen dizi oluşturusak bunlardan kaç tane olur? Her için oluşturulan dizi farklı olacağından ile tanımlanmış metrik ne verecek? Her dizi küçük bir yuvarın merkezinde olsun Bu mesafe ne idi? Bu yuvarlardan kaç tane var? Yarıçaplar ne olabilir? Yoğun küme tanımından ve yoğun olsun yuvarların herbirinde bir elemanı vardır. sayılabilir değildir. Neden? ayrılabilir değildir. herhangi bir küme idi

3) ayrılabilir midir? Uzayı olmak üzere diziler oluşturalım ve bu dizilerin oluşturduğu küme olsun. Neden ? sayılabilir bir küme Neden ? Herhangi bir alalım Neden ? Bu terim neyi temsil ediyor?

‘de yoğun olduğundan her için civarında bir vardır. sağlayan bir bulunur. ‘de yoğundur.