Doğrusal Programlama Linear Programming

LP nedir? Matematiksel bir yöntem Belirli bir hedefe ulaşmak için, eldeki kaynakların kullanımını, ilgili kısıtlamaları da göz önüne alarak optimize etme yöntemi

LP ile çözülebilecek örnek problemler Öğrenci servislerinin, en az yol kat edilecek şekilde organize edilmesi Bir fabrikada en fazla kar elde edebilmek için, eldeki makine ve iş gücü göz önüne alınarak üretilecek ürün tip ve miktarlarının belirlenmesi

LP ile çözüm şartları: Belirli bir büyüklüğün (amaç fonksiyonu) maksimize veya minimize edilmesi istenir Kısıtlamalar (constraints) amaç fonksiyonuna ulaşmayı sınırlar İçlerinden seçim yapılacak alternatif yolların mevcut olması gerekir Amaç ve kısıtlama fonksiyonlarının doğrusal (linear) eşitlikler veya eşitsizlikler olarak ifade edilebilmeleri gerekir

LP Problemlerinin formülasyonu: Shader Elektoronik Şirketi Problemi: İki farklı ürün imal edilebilmekte (1) cd-player and (2) walkman cd-player 4 saatlik elektronik iş ve 2 saatlik montaj ile imal edilmekte walkman 3 saatlik elektronik iş ve 1 saatlik montaj ile imal edilmekte Kapasiteniz haftada 240 saatlik elektronik işi ve 100 saatlik montaj işine yetmekte cd-player kar marjı $7; walkman ise $5

LP Problemlerinin formülasyonu: Let: X1 = number of cd-players X2 = number of walkmans Then: 4X1 + 3X2  240 electronics constraint 2 X1 + 1X2  100 assembly constraint 7X1 + 5X2 = profit maximize profit

Grafik Çözüm Yöntemi Bir kartezyen koordinat ekseninin 1.bölümü üzerinde Sınırlamaların doğruları çizilir. Sınırlama doğruları tarafından belirlenen olurlu bölge (feasible region) bulunur Optimal çözüm: Eş-kar doğruları metodu (Iso-profit line) Köşe noktası metodu

Shader Electronic Company Problem Hours Required to Produce 1 Unit Department X1 cd-players X2 walkman’s Available Hours This Week Electronic 4 3 240 Assembly 2 1 100 Profit/unit $7 $5 Constraints: 4x1 + 3x2  240 (Hours of Electronic Time) 2x1 + 1x2  100 (Hours of Assembly Time) Objective: Maximize: 7x1 + 5x2

Shader Electronic Company Constraints Electronics (Constraint A) 120 Assembly (Constraint B) 100 80 60 Number of walkmans (X2) 40 20 10 20 30 40 50 60 70 80 Number of cd-players (X1)

Shader Electronic Company Feasible Region Electronics (Constraint A) 120 100 Assembly (Constraint B) 80 60 Number of walkmans (X2) 40 Feasible Region 20 10 20 30 40 50 60 70 80 Number of cd-players (X1)

Shader Electronic Company Eş-Kar Çizgileri / Iso-Profit Lines 20 40 60 80 100 120 10 30 50 70 Number of cd-players (X1) Number of walkmans (X2) 7*X1 + 5*X2 = 210 7*X1 + 5*X2 = 410 Electronics (Constraint A) Assembly (Constraint B) Iso-profit line

Shader Electronic Company Geçerli bölge-köşe noktaları 20 40 60 80 100 120 10 30 50 70 Number of cd-players (X1) Number of walkmans (X2) Iso-profit line Electronics (Constraint A) Assembly (Constraint B) Possible Corner Point Solution

Shader Electronic Company Optimal Solution 20 40 60 80 100 120 10 30 50 70 Number of cd-players (X1) Number of walkmans (X2) Optimal solution Iso-profit line Electronics (Constraint A) Assembly (Constraint B) Possible Corner Point Solution

Shader Electronic Company Optimal Solution 20 40 60 80 100 120 10 30 50 70 Number of cd-players (X1) Number of walkmans (X2) Optimal solution Iso-profit line Electronics (Constraint A) Assembly (Constraint B) Possible Corner Point Solution X1 = 30 X2 = 40

Reddy Mikks Problem (Taha) Reddy Mikks şirketi, boya üreten bir imalathaneye sahiptir. Toptan satış için dahili(interior) ve harici(exterior) boya üretmektedir. Bu boyaların üretilebilmesi için iki temel hammdeye, A ve B’ye ihtiyaç vardır. A hammadesinden en fazla günde 6 ton, B hammaddesinden ise en fazla günde 8 ton bulunabilmektedir. Hammadde ihtiyacı ve kullanımı ile ilgili aşağdaki tablo geçerlidir. Bir piyasa araştırmasında, dahili boyaya günlük talebin, harici boyaya günlük talebi en fazla 1 ton geçebildiği belirlenmiştir. Ayrıca araştırmaya göre günlük toplam dahili boya talebi en fazla 2 ton olabilmektedir. Toptan satış fiyatı, harici boya için $3000 dahili boya için $2000/ ton dur. Şirket, karını maksimize etmek için günde ne kadar harici, ne kadar dahili boya üretmelidir ?

Reddy Mikks Problem Formülasyonu

Graphical Solution of the Ready Mikks Problem A solution is any specification of values for the decision variables. A feasible Solution (olurlu çözüm)is a solution for which all the constraints are satisfied. The feasible region (olurlu bölge) is the set of all feasible solutions. Notice that the feasible region is convex Kısıt 2: 2XE + XI  8 Kısıt 3: -XE + XI  1  I 1 2 3 4  E 5 6 7 Kısıt 4: XI  2 Kısıt 1: XE + 2XI  6 Feasible Region 0 + 2(0)  6 

Finding the Optimal Solution Amaç fonksiyonunun eğimi bulunur (eş-kar doğruları) Olurlu bölgede uygun bir nokta bulunur O noktada, amaç fonksiyonu eğiminde bir doğru çizilir Amaç fonksiyonunu arttıracak yön seçilir (maksimize etmekteyiz) Olurlu bölgede, ilk çizmiş olduğumuz doğru üzerinde olmayan ikinci bir nokta seçilir ve amaç fonksiyonunun o noktadaki değeri bulunur Amaç fonksiyon değerini arttıran yönde ilerlenilir. Bu ilerleme, olurlu bölgenin içinde kalacak şekilde son sınır köşe noktasına ulaşana kadar sürdürülür

Graphical Solution of the Ready Mikks Problem Max z = 3XE + 2XI  I 1 2 3 4 Z = 9 Z = 12 An Optimal Solution is a feasible solution that has the most favorable value of the objective function. A Corner-point feasible (CPF) solution is a solution that lies at a corner of the feasible region. The optimal solution is a corner point feasible solution (why?) Z = 12.66 Point 2: XE =4/3, XI = 1 Z = 6 Point: XE =3.33, XI = 1.33 (How can we get this point?) 1 2 3  E 4 5 6 7 Point 1: XE =2, XI = 0: Z = 6 

Team Exercise (five minutes) For the Ready Mikks problem, find all the corner-point feasible solutions Suppose that another constraint is added to the problem : XE + XI  1, and the problem is changed from maximization to minimization. For this new problem, find the new optimal solution Discuss and answer the following question: Is it possible to get a non-convex feasible region from the addition of a linear constraint? I don’t expect this exercise to be get done if the teams don’t get organized to work concurrently. The instructor should point out this (at the end of the exercise) to the teams. This should serve as a lesson learned for the next exercises

Solution Feasible Region Z = 2: XE =0, XI = 1 I 3 4 Max: XE =3.33, XI = 1.33 New Constraint: XE + XI  1 Feasible Region 1 2 3 E 4 5 6 7