Hatırlatma Ortogonal bazlar, ortogonal matrisler ve Gram-Schmidt yöntemi ile ortogonaleştirme vektörleri aşağıdaki özeliği sağlıyorsa ortonormaldir: ortogonallik normalizasyon standart baz

*Ortogonal martis, sütunları ortonormal vektörlerden Hatırlatma *Ortogonal martis, sütunları ortonormal vektörlerden oluşan kare matristir *Q’nun sütunları ortonormal vektörlerden oluşmuş ise: Neden ortogonal matris denmedi? Q dikdörtgen matris olsa bile QTQ=I ancak QT sadece sol ters

Varlık ve teklik teoremi Hatırlatma Varlık ve teklik teoremi Varlık: Ax=b’nin her b için en az bir çözümü x vardır A’nın sütunları Rm ‘i örter Bu durumda r=m’dir ve ve AC=Imxm sağlayan A’nın nxm boyutlu sağ tersi vardır. Bu durum m≤n ise mümkündür.

Teklik: Ax=b’nin her b için en çok bir çözümü x vardır Hatırlatma Teklik: Ax=b’nin her b için en çok bir çözümü x vardır A’nın sütunları lineer bağımsız Bu durumda r=n’dir ve ve BA=Inxn sağlayan A’nın nxm boyutlu sol tersi vardır. Bu durum m≤n ise mümkündür.

Sağ ve sol tersleri bulmanın yolu Hatırlatma Sağ ve sol tersleri bulmanın yolu Sol ters Sağ ters

İki örnek Ortogonal mi? Başka ortogonal matris hatırlıyor musunuz?

Ortogonal matris ile çarpma vektörün boyunu korur Nasıl anlarız? Aynı zamanda iki vektörün iç çarpımı ve aralarındaki açıyı da korur

V vektör uzayının ortonormal qi Ortonormal bazın bize sağladığı bir kolaylık….. V vektör uzayının ortonormal qi vektörlerinden oluşmuş bir bazı olsun. ise şeklinde yazılır ‘leri biliyorsak Ortonormal baz işte burada kolaylık sağlayacak 1 Ortonormal baz!!!

baz vektörleri ortonormal olmasaydı nasıl olacaktı? Benzer şekilde….. 1 . 1 Tüm bu işlemleri matris şeklinde yazarsak Sütunları baz vektörleri baz vektörleri ortonormal olmasaydı nasıl olacaktı? Kazancımız matris tersi hesaplamak yerine…

b’nin a’’ya izdüşümü p: Bir şeye daha dikkat…… b’nin a’’ya izdüşümü p: =1 Tekrar yazalım : v vektörü için ne diyebiliriz?

Q mxn boyutunda ise ne olacak…. Artık QT, Q’nun tersi değil ama hala daha QTQ=I Bunu daha önce gördük Sonuç: ‘nin çözümü Q kare ise tam çözüm, Q dikdörtgen ise en küçük kareler çözümü

b’nin sütun uzayına izdüşümü p de p=Ax*=A(ATA)-1ATb Hatırlatma m denklem ve n bilinmeyen içeren, tutarsız Ax=b denklem takımının en küçük kareler yaklaşıklığı ile elde edilecek çözümü x* ATAx*=ATb Eşitliğini sağlar ve A’nın sütunları lineer bağımsızsa, ATA tersinirdir ve x*=(ATA)-1ATb b’nin sütun uzayına izdüşümü p de p=Ax*=A(ATA)-1ATb eşitliğini sağlar

Q’ nun sütunları ortonormal ise en küçük kareler problemi basitleşiyor….. x*=(AT A)-1 ATb yerine x*=(QTQ)-1QTb ortonormal Q için: Qx=b (dikdörtgen sistemlerde çoğu b için çözüm yoktur) QTQx*=QTb (en iyi x* için denklem) x*= QTb (çözüm) p=Qx* (b’nin sütunlara izdüşümü- ) P=QQT (izdüşüm matrisi)

V2’nin q1 doğrultusunda ki bileşenine Gram-Schmidt Yöntemi Ortonormal vektörler kolaylık sağladığına göre verilen herhangi bir vektör kümesini ortonormal vektörlere dönüştürebilir miyiz? Lineer bağımsız özelikleri ne? verilmiş olsun, nasıl ‘ları elde ederiz Doğrultusu v1 ile aynı, boyu da 1 Kolay olan q1’i bulmak: Bu neye karşı düşüyor? q2, q1’e dik olmalı: V2’nin q1 doğrultusunda ki bileşenine Peki, neden çıkarıyoruz

q1,q2 var q3’ü oluşturalım: Ancak ortonormal vektörler kümesine katılması için boyunun 1 olması gerek q1,q2 var q3’ü oluşturalım: Diklik sağlandı birim olma da sağlanmalı

Benzer şekilde….. Eskisi neydi? Gram-Schmidt bize A matrisi için yeni bir ayrıştırma veriyor

A sütunları lineer bağımsız mxn boyutunda bir matris olsun; Q sütunları ortonormal bir matris ve R tersinir, üst üçgen olmak üzere A’nın A=QR ayrışımı vardır. m=n ise ve tüm matrisler kare ise Q ortogonal matristir. Bu ayrışımı en küçük kareler yönteminde kullanırsak: (ATA)x*=ATb (RTQT QR)x*= (RTQT)b (RTR)x*= (RTQT)b Rx*= QTb

Biraz tekrar A matrisinin sütunlarından Gram-Schmidt yöntemiyle ortonormal bir baz elde ediniz. A=QR ayrışımını elde edniz ve Ax=b’nin en küçük kareler çözümünü belirleyiniz. x1 ve x2 R4 ‘de ortonormal bir küme oluşturmaktadır. Bu kümeyi ortonormal baza tamamlayınız.