KRONIG PENNEY MODELİ U(x) x U0 II I III (a+b) b a a+b Bu model ataomlararası etkileşme potansiyelinin periyodik yapısını dikkate alarak bant aralıklarının oluşumunu açıklayan analitik bir modeldir. (a+b) b a a+b U(x) x U0 II I III

Felix Bloch 1905-1983 Bloch Dalgafonksiyonu Felix Bloch periyodik bir potansiyel içindeki elektronlar için Schrödinger denklemi çözümlerinin özel bir fonksiyon olması gerektiğini göstermiştir: burada u örgü periyodu aynı periyoda sahip örgü potansiyelidir. Felix Bloch 1905-1983 The Bloch Theorem states: The eigenfunctions of the wave equation for a periodic potential are the product of a plane wave and a function with the periodicity of the lattice. Bloch functions can be assembled into packets to represent electrons propagating freely through the potential fied of the ion cores.

Kronig-Penney Model I. Bölge - 0 < x < a ve U = 0 Dalgafonksiyonu sağa ve sola hareket eden düzlem dalgaların lineer bir kombinasyonudur. Enerji özdeğeri:

Kronig-Penney Model II. Bölge - b < x < 0 ve U = U0 Bariyer içindeki dalgafonksiyonu aşağıdaki gibidir ve

Bloch’a göre, III. Bölge çözümü II. Bölge çözümüne benzer olmalıdır. Kronig-Penney Model (a+b) b a a+b U(x) x U0 II I III The insertion of k via the Bloch theorem let’s us define the wavevector k as a means of labeling the solution. Bloch’a göre, III. Bölge çözümü II. Bölge çözümüne benzer olmalıdır.

Kronig-Penney Model Dalgafonksiyonu ve türevleri hem x=0 hem de x=a da sürekli olacak şekilde A, B, C ve D seçilir. x = 0 x = a These are the usual boundary conditions you had when you did the quantum mechanics of square well potentials. At x=a, with the use of the Bloch requirement for the wavefunction at a under the barrier in terms of the wavefunction at –b. Thus, we have four equations and four unknowns. The solution is found by requiring that the determinant of the coefficients of A through D equals zero. The mathematical process to get this is tedious, so we’ll avoid it.

Kronig-Penney Model E < U0 için sonuç: Kronig - Penney daha uygun bir form elde edebilmek için potansiyel engeli bir delta fonksiyonu olarak kabul etmişlerdir. Burada U0 sonsuz büyüktür ve b sonsuz küçük mesafedir, fakat sonuç U0b sonlu ve sabittir. U0 sonsuza giderken:

Kronig-Penney Model U0 sonsuza gittikçe Qb ne olur? U0 sonsuza gittikçe b sonsuz küçük olur. Ancak Q, U0 ,’ın karekökü ile orantılı olduğu için b’nin sıfıra gittiği hızda sonsuza gitmez. Yani, U0 sonsuza gittiğinden Qb de sıfıra gider. Tüm bunların sonucunda...

Kronig-Penney Model P is sometimes referred to as the stopping power. It is a measure of the barrier strength. This is the dispersion relationship for electrons in a periodic one-dimensional crystal. The allowed values of the energy, determined by K, are given by those ranges of for which the function lies between +/- 1. For other values of the energy, there are no traveling wave or Bloch-like solutions to the wave equation, so that forbidden gaps in the energy spectrum are formed. Here, the ranges of K for which the equation has solutions are plotted for the case of P = 3/2.

Kronig-Penney Model İndirgenmiş Bölge Gösterimi  /a 2/a 3/a k k  /a /a Genişletilmiş Bölge Gösterimi İndirgenmiş Bölge Gösterimi

İletkenler, Yalıtkanlar ve Yarıiletkenler Apart from superconductors, the electrical resistivity of metals can be as low as 10-10 ohm-cm. The resistivity of a good insulator can be as high as 1022 ohm-cm. This range of 1032 may be the widest of any physical property.

İletkenler, Yalıtkanlar ve Yarıiletkenler

İletkenler, Yalıtkanlar ve Yarıiletkenler “termal olarak uyarılmış” (T  0K)

Kristallerin Oluşumu (Kristal Büyütme) Yapay olarak kristallerin oluşturulmasında çeşitli yöntemler vardır. Genel olarak bunları sınıflandırmak istersek; 1.Külçe Büyütme 2.Tabaka Büyütme (Epitaksiyel) 3.Nano boyutta sentezleme (nanoteller, nanotüpler, nanoşeritler, nanonoktalar gibi...) Külçe kristal büyütme tekniklerinin amacı olabildiğince büyük çaplı ve olabildiğince kusursuz kristaller üretmektir. Silisyum (Si) üretiminde çap 30 cm ve uzunluk 100cm’ye dek ulaşmıştır. Tek kristal (single crystal) malzemeler taşıyıcı (substrate) ya da külçe (bulk) ve epitaksiyel tabakalar olarak sınıflandırılabilir. Epitaksiyel tabakalar taşıyıcı (alttaş) malzemeler üzerine büyütülür.

Külçe Kristal Büyütme Yöntemleri Dikey Büyütme: Czochralski Yöntemi Erimiş malzemenin (kalitesi yüksek polikristal) üst yüzeyi erime sıcaklığının biraz üstünde tutulur. Çekirdek kristal eriyik içine yavaşça sokulur ve yavaşça çekilir. Eriyikten çekirdeğe ısı transferi gerçekleşir, eriyik yüzeyi soğur ve kristal büyümeye başlar. Çekirdek dairesel kesitli bir bir kristal büyütülmesinin sağlanması için ekseni etrafında döndürülür.

Külçe Kristal Büyütme Yöntemleri Yatay Büyütme: Bridgeman Yöntemi Başlangıç malzemesi ve çekirdek kristal bir fırın içinde yer alan kuartz bir tüpe yerleştirilmektedir. Büyütme eriyik başlangıç malzemelerinin, çekirdek kristalden başlayarak kontrollü soğutulmasıyla gerçekleşir.. Sabit sıcaklık bölgesinde kuartz hareket ettirilebilir ya da ya da ısıtıcının belli bölgelerdeki direnci değiştirilerek farklı sıcaklık bölgelerinin olması sağlanır. katı-eriyik arayüzeyinin kontrollü soğutulması tek-kristal (single crystal) büyütülmesine olanak sağlar.

Silisyum kristal alttaşların elde edilmesi Silisyum doğada saf halde bulunmaz, oksijenle bileşik şekilde kuvars ya da kum formundadır. Güneş pili üretimi için olarak istenmeyen element olan kumun silisyumdan ayrıştırılması gerekir. Bunun için, kuvars, kum karbon tozu, kok kömürü ve aktif kömür ile birlikte elektrik ark ocağında ısıtılır. Bu işlem sonucunda CO ve %98 saflıkta metalürjik silisyum olarak bilinen madde açığa çıkar. Hammadde halindeki silisyum kimyasal işlemlerle daha da saflaştırılır. Silisyumun gaz formundaki HCl ile tepkimeye girmesiyle hidrojen ve triklorsilan oluşur. Kirlilik oranı gereken seviyeye düşünceye kadar bu bileşen defalarca damıtma işlemine sokulur. Bu süreç sonunda üretilen silisyum polikristal yapıdadır. Yüksek sıcaklıktaki büyütme fırınlarında eriyik halde bulunan silisyum saf bir silisyum çekirdeği ile temas ettirilir ve eriyik Si çekirdek yardımıyla döndürülerek çekilir ve çapları 10 – 15 cm’ye ulaşan külçe silisyum kristali elde edilir. Bu silindirler külçeler halinde parçalara ayrılırlar ve parlatılırlar. Yüzey yansımalarıyla oluşacak kayıpların önlenmesi için yasımayı önleyici bir kaplama ile kaplanırlar. Her bir güneş pili modülü için güneş pilleri ile elektriksel olarak bağlanır ve panellere yerleştirilir. Silisyum pulların (wafer) kalınlığı 100-200m kadar ince yapılabilir. Saç teli yaklaşık 100 m kalınlıktadır. Si wafer production: http://www.youtube.com/watch?v=AMgQ1-HdElM

EPİTAKSİYEL MALZEME BÜYÜTME TEKNİKLERİ Epitaksi bir tek-kristalin taşıyıcı adı verilen benzer bir tek-kristal üzerinde kalınlık ve katkılama miktarı kontrollü olarak atomik tabakalar halinde büyütülmesidir. Epitaksiyel teknikleri külçe yarıiletken büyütme teknikleri ile kıyaslandığında malzeme kalitesi açısından daha üstündür. Epitaksiyel tekniklerle çok ince tabakalar kalınlık kontrollü olarak büyütülebilmektedir. En yaygın olarak kullanılan epitaksiyel büyütme teknikleri sıvı faz epitaksisi, buhar fazı epitaksisi ve moleküler ışın epitaksisidir. SIVI FAZ EPİTAKSİSİ (LIQUID PHASE EPITAXY- LPE) LPE 1970lerin sonuna dek yaygın olarak kullanılmış olan basit bir büyütme tekniğidir. Diğerlerine göre daha ucuzdur, ancak arayüzey geçişlerinin keskin olarak sağlanabilmesinde kontrolü azdır. LPE halen HgCdTe gibi uzun dalgaboyunda çalışan dedektörlerin ve AlGaAs gibi heteroyapı laserlerin büyütülmesinde kullanılmaktadır. LPE’de taşıyıcı grafit ya da kuartz kayık içine yerleştirilir ve büyütülecek olan kristalin sıvı fazındaki eriyikle kaplanır. Sıvı katkı atomlarına da içerirse katkılama da yapılmış olur. LPE’de bir taşıyıcı üzerine kristal büyütülmesi kristali oluşturacak olan satüre olmuş çözeltinin çökelmesi ile gerçekleşir. Büyüyen tabakanın kristalografik yönelimini alttabaka belirler. Sıvı bileşiminin ve sıcaklığın hassas kontrolü ile alaşım bileşikler elde edilebilir.

BUHAR FAZI EPİTAKSİSİ (VAPOUR PHASE EPITAXY- VPE) VPE yöntemi kristali oluşturacak bileşenlerin bir gaz ortamında kristali oluşturması esasına dayanır. VPE aynı zamanda kimyasal buhar depolama (Chemical Beam Epitaxy- CBE) olarak da bilinir. CVD farklı kimyasal bileşimli gaz ortamında yoğunlaşmış faza geçişi temsil eder. VPE’de bir gaz buharının karışımı reaktörün içinde ilerler ve epitaksiyel tabakanın oluşacağı ısıtılan taşıyıcıyla etkileşir. VPE, fiziksel buhar depolama tekniklerinden farklıdır çünkü fiziksel depolama tekniklerinde kimyasal bir değişim olamadan yoğunlaşma gerçekleşir. Taşıyıcı yüzeyine vuran buhar atom ya da moleküller taşıyıcı yüzey üzerinde birikmeye başlayarak epitaksiyel tabakayı oluştururlar. CVD sistemlerinde genelde taşıyıcı gaz olarak hidrojen kullanılır. Büyütülecek malzemeyi de içeren buhar taşıyıcı gazla reaktöre gönderilir ve reaktörde yer alan taşıyıcı üzerine püskürtülür, taşıyıcı üzerinde moleküller birikmeye başlar. Buhar içindeki moleküllerin kısmi basınçları P ise yüzeye vuran molekül/atomların akısı:

GaCl (gaz) + As (gaz) + 1/2H2 (gaz) GaAs (katı)+HCl (gaz) Genelde taşıyıcı gaz olarak hidrojen kullanılır. GaAs büyütmek için kaynak malzemeleri elementel Ga ve AsCl3’tür. AsCl3 hidrojenin geçtiği fıskiye şeklindeki bir hatta yer alır. Gaz Ga kaynak üzerinden akar ve sonra da taşıyıcı üzerine ilerler. Reaktör tüpü kaynak bölgesinde (Ga kayık) 1000 derece civarına kadar ve taşıyıcı bölgesinde 800-850oC’ye kadar ısıtılır. AsCl3 ‘e doymuş hidrojen kaynak bölgesi üzerinde geçer ve şu reaksiyon oluşur: AsCl3 (gaz) + 3/2 H2 (gas) As (gaz) + 3HCl (gaz) Bu reaksiyonda oluşan HCl Ga kaynağı ile reaksiyona girer ve GaCl oluşur: Ga (sıvı) + HCl (gas) GaCl (gaz) + 1/2H2 (gaz) Isıtılan taşıyıcı üzerinde gelişen reaksiyonla epitaksiyel tabaka büyütülür: GaCl (gaz) + As (gaz) + 1/2H2 (gaz) GaAs (katı)+HCl (gaz) Reaksiyon ekzotermiktir. Başlangıçta hemen GaAs oluşmaz. Erimiş galyumda arsenik çözülür, satüre olur ve ürün olarak GaAs taşıyıcı üzerine çökelir.

MOLEKÜLER IŞIN EPİTAKSİSİ (MOLECULAR BEAM EPITAXY, MBE)

MBE in Anadolu Univ. in Eskisehir-TR

Moleküler Işın Epitaksisi (Moleculer Beam Epitaxy – MBE) Tekniği Komplike ve nitelikli yarıiletken düşük boyutlu yapıların üretimi için epitaksiyel tekniklerden yararlanılması gereklidir. Epitaksiyel büyütme teknikleri içinde en yaygın olarak kullanılanlar Metal-Organik Kimyasal Buhar Depolama (Metal-Organic Chemical Vapour Deposition – MOCVD, MOVPE) ve Moleküler Işın Epitaksisi (Moleculer Beam Epitaxy – MBE) teknikleridir. Hemen hemen her yarıiletken sistemi MBE tekniği ile büyütülebilir. MBE,  10-11 torr basınca kadar ulaşabilen bir yüksek vakum tekniğidir. Bu kadar yüksek vakuma sahip olması nedeni ile ışınların ortalama serbest yolu, çok büyüktür. MBE’de büyütme oranları, tipik olarak saniyede 1 atomik tabakadır ( 5 Å ). Reaktörün merkezi, yüksek vakum içeren bölmedir. Her biri ayrı bir kapakla kontrol edilen buharlaştırma hücreleri büyütülmesi gereken örneğin moleküler ışınlarının sıcak akışına sahiptir. Efüzyon hücreleri, her bir evsahibi kristal için kullanıldığı gibi katkılar için de kullanılmaktadır. Her bir efüzyon hücresi, ayrı olarak ısıtılmaktadır ve birbirlerinden bir ısı kalkanı ile yalıtılmışlardır. Moleküler ışınların başlatılması ve durdurulması için basit bir mekanik kapak kullanılmaktadır. Bu kapağın açılıp kapanma zamanı 0.1-0.3 saniyedir. Bu açılıp kapanma zamanı, bir atomik tabakanın biriktirilmesi için gereken 1s ile kıyaslandığında kısa bir süredir. Işın akışları genellikle bir iyon ölçü aygıtı ile görüntülenir. Büyütme hücresinde bulunan rezonant yüksek enerji elektron difraksiyonu (RHEED) ise büyütme işlemine başlamadan önce yüzeyden kaldırılmış olan doğal oksitlerin ve büyütme oranlarının büyütme sırasında incelenmesi için kullanılır. Hazırlama hücresinde bulunan küçük bir monitör ile bu RHEED spektrumu gözlenir. RHEED sistemi, büyütme hücresinin bir tarafında 5-20 keV elektron tabancasını ve diğer tarafında bulunan bir pencere üzerindeki flüorışıl ekranını içerir. Elektron ışını, çok dar bir açı ile (1o – 4o) taşıyıcı yüzeyine gelir. Yüzeyden yansıyan ışınlar, yüzey yapısı ve yüzeydeki kusur durumları hakkında yeterli bilgiyi verebilecek özel bir desene sahiptir. Çok küçük bir açı ile elektron ışını örnek yüzeyine geldiğinden, RHEED’den elde edilen bilgi yalnızca ilk birkaç atomik tabaka ile ilişkilidir.

Büyütülecek olan kristal malzemenin çok iyi bir kaliteye sahip olması için taşıyıcı sıcaklığı 400 ve 700oC arasında tutulur. Bu sıcaklık, vakum sistemi içinde sürekli olarak bulunan bir ısıtıcıyla sağlanmaktadır. Ayrıca nitelikli büyütmenin yapılabilmesi için taşıyıcı yüzeyinin her türlü kristalografik ve diğer kusurlardan arındırılması gerekmektedir. Bu işlem için oksidi kaldıran kimyasal aşındırma işlemi uygulanır. Kimyasal aşındırma yüzeyden oksitleri kaldırır ve ardında uçucu bir oksitle korunan bir yüzey bırakır. Uçucu oksidi temizlemek için vakum ortamının arsenik ışınıyla ısıtılması yeterlidir. Farklı MBE kaynaklarından akışlar farklı doğrultularda olduğundan, her bir malzemenin taşıyıcı üzerindeki dağılımı farklı olacaktır ve bu durum büyütülen filmlerin kalınlık ve bileşiminde değişikliklere neden olacaktır. Bu sorunun üstesinden büyütme sürecinde örneğin döndürülmesi ile gelinebilir. 5-8 cm çaplı bir örnekte düzgün büyütme oranı elde etmek için, örnek tutucusu 0.03 ve 2 Hz arasındaki hızlarda döndürülür. Büyütme işlemi, taşıyıcı sıcaklığı uygun duruma getirildikten sonra arsenik ışınıyla başlar ve sonra III. Grup elementinin hücresinin önünde bulunan kapak açılır. Büyütme hızları, 0.03-3 nm/s (0.1-10 m / saat) dolayındadır bu da  5x 1013’den 5x1015’e kadar olan ışın akışlarına karşılık gelmektedir. Arsenik akışı, III. Grup elementlerinden 3-5 kez daha büyüktür. Kaynak malzemeleri genellikle elementlerdir. Katkı atomlarının ışınları da efüzyon hücrelerinden elde edilir. MBE’de katkı malzemesi olarak genellikle, p tipi filmler için Be ve n tipi filmler için Si ya da Sn kullanılır. Serbest taşıyıcı konsantrasyonu 1014 – 1019cm-3 aralığında kontrol edilebilir.

MOCVD (Metal Organic CVD) TMGa TMAl H2 Akış Kontrolleri Isıtılan GaAs taşıyıcı AsH3 Katkı Eksoz Havalandırma hattı Eksoz hattı Büyütme hattı Kütle akışı TMGa : Ga içeren organik bileşik TMAl: Alüminyum içeren organik bileşik AsH3 : Arsenik içeren bileşik

Nano Boyutta Sentezleme Buhar-Katı (Vapour-Solid) Yöntemi O2 Ar Zn Pellets Si substrates Tüp Fırın Alumina tube Alumina boat Position (cm) Temperature (oC)