Geçen hafta anlatılanlar Değişmez küme Değişmez kümelerin kararlılığı Bildiğimiz diğer kararlılık tanımları ve değişmez kümenin kararlılığı ile ilgileri Asimptotik kararlılığı ne bilirdik değişmez kümeler için tanımı ne? Lyapunov anlamında kararlılığı incelemek için tanıma göre neye ihtiyacımız var? Çözüm her arandığında bulunur mu? Bulunduğunda işe yarar mı?

Dinamik sistemin kararlılığını incelemenin kolay bir yolu var mı? niye böyle bir soru sorduk? Teorem 1: (ayrık zaman sisteminin sabit noktasının kararlılığı için yeter koşul) kararlıdır

Bir örnek: Henon Dönüşümü

Denge noktaları kararlı mı?

Teorem 2: (Ayrık zaman sisteminin sabit noktasının varlığı ve kararlılığı için yeter koşul) tam metrik uzay bu metrik uzayda tanımlanmış bir metrik Ayrık zaman dinamik sisteminin bir kararlı sabit noktası vardır ve Teorem 1’den farklı ne söylemekte?

Sürekli zaman dinamik sistemlerinin kararlılığını nasıl inceleyeceğiz? Öncelikle, çözümün varlığından tekliğinden ve ilk koşullara sürekli bağımlılığından emin olmalıyız Teorem 3: (Sürekli zaman dinamik sisteminin çözümünün varlığı, tekliği ve ilk koşullara sürekli bağlılığı için yeter koşul ) ‘de açık bölge için aşağıdaki koşulları sağlayan tek bir vardır. ‘da başlayan çözüm

çözümü her için neleri belirliyor? çözüm yörünge Gelişim fonksiyonu Peki, ayrık zamanda ne oluyordu? Artık çözümlerin varlığı ve tekliğini biliyoruz, yeniden kararlı değişmez kümelere bakalım Ayrık zaman için yazılan Teorem 1 gibi bir teorem sürekli zaman için de var mı? Teorem 4: (Lyapunov ) kararlıdır trajectory orbit

Bir örnek: Lorenz Osilatörü

Teorem 5: (Lyapunov’un ikinci metodu) kararlıdır Bu teorem benzer şekilde ayrık zaman içinde var Lyapunov fonksiyonunu nasıl bulacağız? Fiziksel sistemin davranışına ilişkin denklemler Fiziksel sistemde depolanmış enerjiye ilişkin denklemler Sakınımlı sistemler Gradyen sistemler

Hamiltonyan Sistemler LC devresi Sürtünmesiz Sarkaç

Bir örnek : Sarkaç

Gradyen Sistemler E(x)’in zamana göre türevi çözümler boyunca Gradyen sistemlere ilişkin özellikler Teorem 6: (Hirsh-Smale-Devaney, sf. 205) E(x)’in olağan noktası dinamik sistemin denge noktaları ‘in izole minimumu ise asimptotik kararlı denge noktasıdır

Bir örnek daha E(x)’e ilişkin eş düzey eğrileri Durum portresi M.W.Hirsh, S. Smale, R.L. Devaney,”Differential Equations, Dynamical Systems and An Introduction to Chaos”, Elsevier, 2004.

Lineer sistemler için Lyapunov fonksiyonunu Ne olmalı? Teorem 7: (Pozitif Reel Lemma- Khalil sf. 240) pxp boyutlu transfer fonksiyonu matrisi yönetilebilir gözlenebilir olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri sağlayan P,L,W matrisleri bulunabiliniyorsa G(s) pozitif reeldir.

Tüm bu teoremler, denge noktası veya sabit noktadan oluşan değişmez kümelerin kararlılığına ilişkin yeter koşulları veriyor. Limit çevrim, veya daha başka çözümler için ne yapılabilinir? Teorem 8: (Poincare-Bendixson) kapalı, sınırlı de ya denge noktası yok ya da Değişmez küme Çevrim

Liénard’ın denklemi f,g є C 1, f,g: R + R g tek, f çift fonksiyon g(x)>0, t Ayrıca orijin civarında kararlı limit çevrim var

özel olarak.... Van der Pol Osilatörü