Yrd. Doç. Dr. Erbil KAVCI KAFKAS ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Isı iletim denklemi Tek boyutlu ısı iletim denklemi Genel ısı iletim denklemi Sınır ve başlangıç şartları Sürekli tek boyutlu ısı iletim prob. Çözümleri Bir katıda ısı üretimi Değişken ısıl iletkenlik

Isı ve sıcaklık birbiriyle yakından ilişkili olmasın rağmen, aslında farklıdır. Sıcaklık skaler bir büyüklüktür Isı transferi vektörel bir büyüklüktür. Hem büyüklük hemde de yön belirtilmelidir. Koordinat sisteminde yönü (+) ve (-) işaretleriyle belirtilir. Isı transferinin itici gücü sıcaklık farkıdır.

Üç tane koordinat sistemi vardır Kartezyen koordinat sistemi T(x,y,z,t) 2. Silindirik koordinat sistemi T(r, ɸ,z,t) 3. Küresel koordinat sistemi T(r, ɸ,Ɵ,t)

İletimle ısı transferi problemleri 3 şekilde ele alınabilir. Sistem; 1) sürekli veya zamana bağlı olabilir 2) çok boyutlu ısı transferi olabilir 3) sistemde ısı üretimi olabilir.

Zamana bağlı Sürekli

Çok boyutlu ısı transferi Isı transferi :bir boyutlu,İki boyutlu,Üç boyutlu olabilir. En genel haliyle ısı transferi üç yönde de olur. Bir yönde ki ısı transfer hızının büyüklüğü diğer yönlerdeki ısı transfer hızının yanında ihmal edilebilir. Isı transferi bir yada iki boyutlu olabilir.

Tek boyutlu ısı transferi İki boyutlu ısı transferi

Bir ortamda (mesela x doğrulusunda) ısı transfer hız, ortam içindeki sıcaklık farkı ve ısı doğrultusuna dik alan ile doğru, o doğrultudaki uzaklıkla ters orantılıdır. Isı azalan sıcaklık yönünde iletilir, ısı (+ x) yönünde iletlidiğinde, sıcaklık gradyanınegatiftir’dir

Genel ısı iletim denklemi P noktasında: izotermal yüzey üzerindeki, ısı akısı vektörü, yüzeye dik ve azalan yönde n: P noktasında izotermal yüzeyin normali ise, bu noktada ısı iletim hızı Sıcaklık dağılımın üç boyutlu olduğu ortam

Kartezyen koordinatlarda, ısı iletim vektörü

Isı Üretimi Isı iletilen ortamda elektriksel, nükleer veya kimyasal enerjinin ısı enerjisine dönüşümleri olabilir. Isı üretimi hacimsel bir olgudur. Isı üretim hızı W/m3 veya Btu/h. Ft3 é: birim hacim başına üretilen enerji V hacimli ortamda toplam ısı üretim hızı É

Soru: 1200 W’lık saç kurutma makinasının direnç teli uzunluğu 80 cm ve çapı D=0.3 cm dir. Buna göre; ?: telde birim hacim başına ısı üretim hızı ?: telin dış yüzeyindeki ısı akısı Çözüm: Kabuller: ısı direnç telinde uniform üretilmektedir.

Geniş bir düzlemde duvarda ısı iletimi

Düzlem duvar için A sabit olduğundan düzlem duvarda tek boyutlu zaman bağlı ısı iletim denklemi: Değişken iletkenlik Sabit iletkenlik 1) Sürekli rejim 2) Zamana bağlı ısı üretimi yok 3) Sürekli rejim ısı üretimi yok

Uzun bir silindirde ısı iletim denklemi

A=2∏rL alanı r’ ye bağlı olduğundan konumla değişir A=2∏rL alanı r’ ye bağlı olduğundan konumla değişir. Bu halde bir boyutlu ısı iletim denklemi Değişken iletkenlik Sabit iletkenlik

Sürekli rejim Zamana bağlı ısı üretimi yoK 3. Sürekli rejim ısı üretimi yok

Bir kürede ısı iletimi Değişken iletkenlik Sabit iletkenlik

Genel ısı iletim denklemi x+∆x, y+ ∆y,z+ ∆z Isı iletim hızı x,y,z noktalarındaki Isı iletim hızı Hacim elemanı içindeki ısı üretim hızı Hacim elemanında Enerji değişimi

Sabit iletkenlik durumundaki denklem Sürekli rejim Zamana bağlı, ısı üretimi yok Sürekli rejim, ısı üretimi yok

Silindirik koordinatlar

Küresel koordinatlar

Sınır ve başlangıç şartları Tanımlı sıcaklık sınır şartı Tanımlı ısı akısı sınır şartı Taşınım sınır şartı Işınım sınır şartı Ara yüzey sınır şartı Genelleştirilmiş sınır şartları

Tanımlı Sıcaklık Sınır Şartı L kalınlıklı bir düzlem duvarda Tek boyutlu ısı iletim için Tanımlı sıcaklık şartları T(0,t)=T1 T(L,t)=T2 Tanımlı sıcaklıklar sürekli rejimlerindeki gibi sabit olabilir, yada zamana göre değişebilir.

Tanımlı Isı Akısı Şartı Sınırlar dahil olmak üzere ortamın herhangi bir yerinde (+ x) yönünde ısı akısı Fourier ısı iletim kanunu: Isı akısı eksenin pozitif yönünde ise pozitif, Zıt yönde ise negatif olur.

İki özel durum Yalıtımlı sınır Isıl Simetri

Taşınım sınır şartı Seçilen bir doğrultuda Yüzeyde ısı iletimi Aynı doğrultuda yüzeyde ısı üretimi =

Işınım sınır şartı Yüzeydeki ısı iletimi Yüzeydeki ışınım değişimi =

Ara yüzey Sınır Şartı İki cismin temas ettiği yüzeyde sıcaklıklar aynıdır Bir ara yüzey enerji depolayamaz bu yüzden ısı akısı her iki tarafta da aynı olmalıdır.

Genelleştirilmiş Sınır Şartları Genel olarak bir yüzey aynı anda taşınım, ışınım ve tanımlı ısı akısı içerebilir. Böyle durumlarda sınır şartları yüzeylerdeki enerji balansından elde edilir. (Yüzeye olan her tür ısı transferi) = (yüzeyden olan her tür ısı transferi)

Sürekli tek boyutlu ısı iletim problemlerinin çözümü Isı transferi problemi Matematiksel formülasyon ( Diferansiyel denklemler ve sınır şartları) Diferansiyel denklemin genel çözümü Sınır şartlarının uygulanması Problemin çözümü

Bir düzlem duvarda ısı iletimi k=1.2 W/m oC yüzey,A=15 m2 L=0.2 m T1=120 oC, T2 =50 oC A) Duvar içindeki sıcaklık dağılımı ve x=0.1 m deki duvar sıcaklığı B) sürekli şartlarda duvar içindeki ısı iletim hızı

B şıkkı

Farklı sınır şartlarının olduğu bir duvar Sabit iletkenliği k olan ve içinde ısı üretimi olmayan L kalınlıklı geniş bir düzlem duvarda sürekli tek boyutlu ısı iletimini göz önüne alınız. Aşağıdaki herbir sınır şartı çifti için duvar içindeki sıcaklığın değişimi için ifadeler elde ediniz.

İki sınır şartı aynı sınırda tanımlanabilir Farklı konumlarda olması gerekmez

C1 sabiti aynı anda iki farklı değere eşit olmayacağından çözüm yoktur. Duvara her iki yandan ısı verilirken duvarda sıcaklığın sürekli kalmasını Beklemek yanlı olur.( sistem karalı)

C1 için aynı sonucu verede c2 için vermez ifade özgün bir çözüm vermez

L= 0.5 m A=300 cm2 k= 15 W/m oC olan 1200 W lık bir ütünün taban plakasını dikkate alalım.ütünün dış yüzeyi 20 oC ve çevreye taşınımla ısı kaybetmektedir. h= 80 W/m2 Işınımla ısı kaybını ihmal ederek sıcaklık değişimi için bir ifade elde ediniz ve iç ve dış yüzeylerdeki sıcaklıkları bulunuz.

Kabuller Sistem kararlı Taban alını kalınlığın göre büyük O halde ısı transfer tek boyutlu Isıl iletkenlik k sabit Isı üretimi yok Işınım ihmal Üst kısım yalıtılmış olduğundan ısının Tamamı yüzeyden plaka tabanına aktarılmaktadır.

Güneş enerjisi ile ısıtılmış bir duvarda ısı iletimi Uzayda L = 0.06 m k= 1.2 W/m oC , geniş bir düzlem duvar ele alalım. ε= 0.85 α=0.26 olan beyaz bir porselenle kaplanmıştır. Duvarın dış yüzeyi 800 W / m2 güneş ışınımına açık iken, iç yüzeyi T1= 300 K’ de sabit tutulmaktadır. Dış yüzey 0’ K deki derin uzaya ışınımla ısı kaybetmektedir. Sürekli şartlarda duvarın dış yüzey sıcaklığını ve duvardan transfer olan ısı transfer hızını bulunuz. Eğer yüzeye güneş ışınımı gelmeseydi cevap ne olurdu?

Kabuller : 1 sistem kararlı 2 kalınlığa göre duvar daha büyük o halde ısı transferi tek boyutlu 3 k sabit 4 ısı üretimi yok

Bir buhar borusundan ısı kaybı L= 20 m r1= 6 cm r2=8 cm k= 20 W/m oC bir boru göz önüne alalım. Borunun iç yüzeyi T1=150 oC dış yüzeyi T2= 60 oC ortalama sıcaklıkta sabit tutulmaktadır. Sürekli şartlarda sıcaklık dağılımını veren bir genel bağıntı bulunuz ve borunun içindeki buhardan ısı kaybını bulunuz.

kabuller sistem kararlı Isıl simetri olduğundan ve eksenel doğrultuda değişim olmadığı için ısı transferi tek boyutlu k sabit Isı üretimi yok

Küresel bir kabukta ısı iletimi r1= 8 cm r2= 10 cm k= 45 küresel tank göz önüne alalım. Küre içinde oluşan kimyasal reaksiyonlar sonucu iç ve dış yüzey sıcaklıkları T1= 200 oC ve T2= 80 oC de sabit tutulmaktadır. Sürekli şartlarda kabuğun içindeki sıcaklık dağılımı için genel bir ifade bulunuz ve ısı kayıp hızını bulunuz.

Bir katıda ısı üretimi

Katıdan ısı trns. hızı=katıdaki en. ürt hızı Yüzey sıcaklığı Ts Maksimum sıcaklık Tmax Sürekli şartlarda katı için enerji dengesi Katıdan ısı trns. hızı=katıdaki en. ürt hızı

Katıdaki ısı üretimi Newton’nun soğutma kanunu İki eşitlik birleştirilirse

2L kalınlıklı duvar için As=2Aduvar V=2LA r0 yarıçaplı uzun bir silindir için As=2r0πL V= πr02L r0 yarıçaplı bir küre için As=4/3 πr02, V=4/3 πr03

Bir katıda ısı üretimi silindirin merkezindeki maksimum sıcaklık Silindirin içinde üretilen ısı, silindirin dış yüzeyinden iletilen ısıya eşit olmalıdır

T(0)=T0 r=r0 ve T(r0)=Ts , r=r0 integre edilirse

Bir ısıtıcı dirençteki sıcaklık değişimi Şekildeki gibi k=13.5 W/m oC r0=0.5 cm bir direnç teli elektrik akımıyla suyu kaynatmaktadır. Telde üretilen enerji 4.3x107 W/m3 dür. Sistem kararlı hale geldiği zaman yüzey sıcaklığı 108 oC olarak ölçülüyorsa sıcaklık dağılımını ifade eden bir bağıntı elde ediniz ve telin eksen sıcaklığını hesaplayınız.

108 oC

r=ro ve T=Ts yazılırsa Telin eksendeki sıcaklığı r= 0

İki tabakalı bir ortamda ısı iletimi ktel= 15 W/m oC r1=0.2 cm olan bir direnç teli 50 W/cm3 hızla sabit bir ısı üretimine sahiptir. Tel k=1.2 W/m oC olan 0.5 kalınlıklı seramik tabaka içine yerleştirilmiştir. Eğer seramik tabakanın dış yüzeyi Ts=45 oC olarak ölçülüyorsa sürekli şartlarda telin merkezindeki ve seramik tabak ile telin arayüzeyindeki sıcaklıkları hesaplayınız.

Kabuller Sistem kararlı Isı transferi tek boyutlu r yönünde Isıl iletkenlik sabit Teldeki ısı üretimi üniform