Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

ANALİTİK YÖNTEM VALİDASYONU 6.DERS. Zaman zaman, iki popülasyonun varyanslarının (veya standart sapmalarının) karşılaştırılmasına gerek duyulur. Örneğin,

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "ANALİTİK YÖNTEM VALİDASYONU 6.DERS. Zaman zaman, iki popülasyonun varyanslarının (veya standart sapmalarının) karşılaştırılmasına gerek duyulur. Örneğin,"— Sunum transkripti:

1 ANALİTİK YÖNTEM VALİDASYONU 6.DERS

2 Zaman zaman, iki popülasyonun varyanslarının (veya standart sapmalarının) karşılaştırılmasına gerek duyulur. Örneğin, normal t testi karşılaştırılacak veri takımlarının s’larının eşit olmasını gerektirir. F testi adı verilen istatistiksel test, popülasyonların normal (Gauss) dağılımı göstermesi şartıyla, bu kabulün test edilmesi amacıyla kullanılabilir. Aynı zamanda F testi, ikiden daha çok sayıda ortalamanın karşılaştırılmasında ve doğrusal regresyon analizinde de kullanılır. F testi, düşünülen şartlarda iki popülasyon varyansının eşit olduğunu ifade eden null hipotezini, H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 esas alır. İki örneklem varyansının oranı ise; F = s 1 2 / s 2 2 olarak ifade edilen test istatistiği (F) hesaplanır ve istenilen güven seviyesindeki F’nin kritik değeri ile (F tablo ) karşılaştırılır. Deneysel olarak hesaplanan F değeri, olasılık tablolarından bulunan kritik F değerini geçerse, iki varyansın da aynı olduğu null hipotezinin sorgulanması için istatistik bir dayanak vardır. Ayrıca, F tablolarına bakarken tek veya çift taraflı olmasına göre bakılması gerekir. 2 Kesinliklerin karşılaştırılması – F testi

3 F tablosunda, 0,05 olasılık seviyesi için kritik F değerleri, iki tane serbestlik derecesi ile birlikte verilmektedir. Bunlardan bir tanesi paya karşılık gelirken, diğeri paydaya karşılık gelmektedir. F testi, tek yanlı ve iki yanlı olarak kullanılabilmektedir. Tek yanlı test için, alternatif hipotez olarak, varyanslardan birinin diğerinden daha büyük olup olmadığı ya da daha kesin olup olmadığı test edilir. Buna göre, kesinliğinin daha yüksek olduğu kabul edilen işlemin varyansı paydaya, kesinliğinin daha düşük olduğu kabul edilen işlemin varyansı ise paya yazılır. Alternatif hipotez, H a : σ 1 2 > σ 2 2 ‘dir. İki yanlı test için, varyansların birbirinden farklı olup olmadığını H a : σ 1 2  σ 2 2 test ederiz. Bu uygulama için ise, daha büyük olan varyans daima paya yazılır.

4 A işleminin kesinliği B işleminin kesinliğinden önemli derecede farklı ise, iki yanlı test uygulanır: Örneğin; Metot A’nın metot B’den daha kesin olup olmadığının araştırılmasında veya iki metodun kesinlikleri arasında bir fark olup olmadığının araştırılmasında kullanılan F testi ile; A işleminin kesinliği B işleminin kesinliğinden daha yüksek ise, tek yanlı test: 4 α için F kritik (n 1 -1) ve (n 2 -1) tek yanlı test α/2 için F kritik (n 1 -1) ve (n 2 -1) iki yanlı test

5 F testi için öncelikle isteğimizi hipoteze dönüştürürüz. İki normal biçimde dağıtılmış veri grubu söz konusu olduğunda, null hipotezi şöyle verilir ki; iki numune varyansları arasında önemli bir fark yoktur. Yani; H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 null hipotezi, aralarında önemli bir fark yok, σ 2 1 ≤ σ 2 2 şüpheli değer red edilir (tek yanlı) (σ 2 1 / σ 2 2 = 1). H a : σ 2 1 ≠ σ 2 2 alternatif hipotez, aralarında önemli bir fark var (iki yanlı) (σ 2 1 > σ 2 2 ). F hesaplanan < F tablo ise varyanslar arasında anlamlı bir farklılık yok F hesaplanan > F tablo ise varyanslar arasında anlamlı bir farklılık var demektir. 5

6 F hesaplanan > F tablo ise H 0 red, H a kabul, fark önemli F hesaplanan < F tablo ise H 0 kabul, H a red, fark önemsiz F hesaplanan = F tablo ise H 0 kabul, H a red, fark önemsiz Exceldeki F-testi sonuç tablosunda p>0,05 olursa da, aradaki fark önemli değildir. Örnek: 2 veri seti için n 1 =10, n 2 =10 olsun. F (0,05, 9, 9) (α, n 1 -1, n 2 -1) 6 Hesapla bulunan ile tablodan bulunan arasında fark vardır. p (α)= 0,05 düzeyinde (iki taraflı) :

7 7 p>0,05 olursa, aralarında fark yoktur. F hesaplanan =36,7/18,9=1,94 (iki yanlı) F kritik =9,12 F kritik >F hesaplanan

8 İki ölçüm varyanslarının oranını veren F testinde, eğer standart bir metot varsa; standart metot ile diğer metodun kesinliği için tablodan pay için serbestlik derecesi olarak ∞ alınır. F tablosu genellikle %95 ihtimaliyete göredir. Soldan sağa doğru pay, yukarıdan aşağıya doğru paydaya bakılır. 8 F değerleri α, n 1 -1 ve n 2 -1’e bağlıdır. Bu durumda, varyansı daha az kesin olan metot paya, daha kesin olan ise paydaya yazılır. Ya da büyük olan varyans paya, küçük olan varyans paydaya yazılır. F değeri 1’den küçük olamaz. F’nin 1 olması veya 1’den küçük olması durumunda, sapmalarının tesadüften ileri gelebilecek farklılık kadar olması beklenir. F değerleri 1’den büyük olacak şekilde hesaplanır.

9 Örnek Gaz karışımlarındaki karbon monoksidin tayini için bir standart yöntemin yüzlerce ölçümünden 0,21 ppm CO’lik bir standart sapmaya sahip olduğu bilinmektedir. Yöntemin değiştirilmiş bir şekli, 12 serbestlik derecesi ile, birleşik veri takımı için, 0,15 ppm CO’lik bir s değeri vermektedir. Yine 12 serbestlik derecesine dayanan ikinci bir değiştirilmiş şeklinin standart sapması ise 0,12 ppm CO’dur. Değiştirilmiş her iki yöntemin, orijinal yöntemden önemli derecede daha kesin olup olmadığını bulunuz. Null hipotezi olarak H 0 : σ std 2 = σ 1 2 test edilecektir. Burada, σ std 2 standart yöntemin varyansı, σ 1 2 ise modifiye edilmiş 1. yöntemin varyansıdır. Alternatif hipotez H a : σ 1 2 < σ std 2 ise tek yanlıdır. Yöntemde bir iyileştirme amaçlandığı için geliştirilmiş yöntemin varyansı paydaya yazılır. İlk geliştirilmiş yöntem için: İkinci geliştirilmiş yöntem için:

10 F hesaplanan < F tablo ise varyanslar arasında önemli bir farklılık yok F hesaplanan > F tablo ise varyanslar arasında önemli bir farklılık var Gelişmiş birinci yöntem için F 1 değeri 2,30’dan küçüktür ve bu yüzden %95 olasılık seviyesinde null hipotezi çürütülemez. Bu durumda, kesinlikte bir iyileşme olmadığı (bir fark yok) sonucuna varırız. Ancak, ikinci gelişmiş yöntem için F 2 > 2,30 dur. Burada, null hipotezi reddedilir ve ikinci gelişmiş yöntemin %95 GS de kesinliğinin daha iyi göründüğü sonucuna varılır. Standart yöntem için, çok sayıda ölçüm alındığından, s std  σ’ya yeterince yakındır ve pay için serbestlik derecesi sonsuz olarak alınabilir. Böylece, F değeri için kritik değer 2,30 dur.

11 İkinci değişikliğin kesinliğinin birinciden önemli derecede daha iyi olup olmadığını incelemek için de, daha büyük olan varyans paya küçük olan ise paydaya yerleştirilir. Burada, alternatif hipotez H a : s 1 2  s 2 2 iki yanlıdır. F için tablodan bulunan yeni kritik değer 2,69 dur. F hesaplanan < F kritik olduğundan, H 0 kabul edilmeli ve iki gelişmiş yöntemin eşit kesinlik verdiği sonucuna varılmalıdır.

12 Denemelerde elde edilen verilere etki eden faktör sayısı genellikle birden fazladır. Kontrol edemediğimiz değişkenliğin tahmini deneme hatası olarak bilinir. Deneme hatası, denemenin başlangıcından itibaren verilerin elde edilmesine kadarki dönem içinde deneme materyalindeki heterojenlikten ve deneyler yapılırken ölçüm, tartım ve sayım gibi hatalardan kaynaklanabilir. Deneme hatasının geçerliliğinde önemli olan hususlar şansa bağlılık ve tekrarlardır. Bunlar dikkate alınmak şartıyla denemeden elde edilen sonuçların güvenilirliğini artırmak için, deneme hatasının büyümesine etki edebilecek faktörlerin iyi bilinmesi gerekir. Çünkü deneme hatasının büyük olması istatistiki açıdan arzu edilmeyen bir durumdur. Bu amaçla hata bileşenlerinin analizi, Calder tarafından tanımlanan Varyans Analizi ya da kısaca ANOVA (ANalysis Of VAriance) uygulanır. Varyans analizi, ikiden fazla sayıda numuneden elde edilen ortalamaların aralarındaki farkın gerçek mi, yoksa rastgele bir hata sonucu mu olduğunu belirlemek için yapılan bir karşılaştırma işlemidir. Anı zamanda, ikiden fazla varyansı karşılaştırmak için de varyans analizi (F-testi) kullanılır. 12 Varyans Analizi

13 İki örneklem ortalamasının veya bir örneklem ortalaması ile bilinen bir değerin karşılaştırılması için kullanılan yöntemlerin ilkeleri, ikiden fazla popülasyon ortalamasının karşılaştırılabilmesine olanak tanıyacak şekilde geliştirilmiştir. İşte bu çoklu karşılaştırma yöntemleri, popülasyon ortalamaları arasında fark olup olmadığını, ikili karşılaştırmalarda olduğu gibi, t testini kullanmak yerine tek bir test (ANOVA) kullanarak tayin edebilir. ANOVA işlemlerinde, çeşitli popülasyon ortalamaları arasındaki farklılıklar, bunların varyanslarının karşılaştırılması ile tayin edilir. I tane yığının ortalamasının, µ 1, µ 2, µ 3,…… µ I karşılaştırılmasında H 0 null hipotezi aşağıdaki gibidir: H 0 = µ 1 = µ 2 = µ 3 = ………… = µ I ve alternatif hipotez H a da aşağıdaki gibidir: H a : en az iki tane µ I farklıdır.

14 ANOVA’nın tipik uygulamalarına örnekler: 1. Volumetrik bir yöntemle kalsiyum tayininde, beş analizcinin sonuçları arasında bir fark var mıdır? 2. Dört farklı çözücü bileşimi kullanılınca, bir kimyasal sentezin veriminde farklanma olur mu? 3. Farklı üç analitik yöntemle bulunmuş mangan tayini sonuçları farklı mıdır? 4. Altı farklı pH değerinde bir kompleks iyonun floresansları arasında bir fark var mıdır? Burada karşılaştırılan popülasyonların hepsinin ortak bir özelliğinde bir farklanma vardır ve bu farklanan özelliğe genellikle faktör, bazen de uygulama denir. Örneğin; volumetrik yöntemle Ca tayininde, ilgilenilen faktör analizcidir. İlgilenilen faktörün farklı değerleri ise seviye olarak adlandırılır. Ca örneği için 5 analizciye karşılık gelen 5 seviye vardır. Farklı popülasyonlar arasındaki karşılaştırma, her örnekleme ait bir cevap ölçülerek yapılır. Kalsiyum tayini durumunda, cevap değeri, her bir analizci tarafından elde edilen mmol Ca değeridir. Yukarıda verilen örnekler için faktörler, seviyeler ve cevaplar aşağıdaki gibidir:

15 FaktörSeviyelerCevap AnalizAnalizci 1, Analizci 2, Analizci 3, Analizci 4, Analizci 5 mmol Ca ÇözücüBileşim 1, Bileşim 2, Bileşim 3, Bileşim 4Sentez verimi, % Analitik yöntemler Yöntem 1, Yöntem 2, Yöntem 3Mn derişimi, ppm pHpH 1, pH 2, pH 3, pH 4, pH 5, pH 6Floresans şiddeti Faktör bağımsız bir değişken, cevap ise bağımlı bir değişkendir. Volumetrik yöntemle Ca tayininde görülen ANOVA tipi, tek faktörlü veya bir yönlü ANOVA’dır. Örnek olarak, bir kimyasal reaksiyonun hızının pH ve sıcaklıktan etkilenip etkilenmediğinin tayininde ANOVA’nın tipi, iki yönlü ANOVA olarak bilinir. ANOVA’da faktör seviyeleri çoğunlukla grup olarak isimlendirilir. ANOVA’nın temel ilkesi, gruplar arası değişimi grup içi değişimle karşılaştırmaktır. Bu örnek için, gruplar (faktör seviyeleri) farklı analizcilerdir ve bu analizciler arasındaki değişimle analizcilerin kendi içindeki değişimlerin karşılaştırılmasıdır.

16 Burada, null hipotezi H 0 doğru olduğunda, grup ortalamaları arasındaki değişim, gruplar içi değişime yakın demektir. H 0 yanlış ise, grup ortalamaları arasındaki değişim, gruplar içi değişimden büyüktür. ANOVA için kullanılan temel istatistiki test, F testidir. Burada, tablodan elde edilen kritik değer ile karşılaştırıldığında, büyük bir değer olarak karşımıza çıkan F değeri, bize H 0 ’ın reddi ve alternatif hipotezin kabulü gerçeğini verir. Tek faktörlü (yönlü) ANOVA analizi (One way ANOVA): Tek yönlü varyans analizi, tek değişken ile birbirinden ayrılan ikiden çok bağımsız veri grubunu karşılaştırmak için yapılır. Grup içi dağılımın normale uyması veya gruplardaki denek sayılarının eşit olması durumunda ortalamaların karşılaştırılması için yapılır. Parametrik bir testtir ve niteliksel verilere uygulanmaz.

17 İki faktörlü (yönlü) varyans analizi (Friedman varyans analizi): İki yönlü varyans analizi, iki veya daha çok değişken ile birbirinden ayrılan ikiden çok bağımsız veri grubunu karşılaştırmak için yapılır. Bir denekten çok sayıda tekrarlanan ölçümler elde edilmesi söz konusu olduğunda yapılan nonparametrik bir testtir. p<0,05 bulunursa, ikili karşılaştırmalar daha düşük yanılma düzeyinde Wilcoxon testi denilen test ile de yapılabilir. Varyans analizinde kaç grup olursa olsun, tek bir F değeri ve buna karşılık gelen tek bir p değeri vardır. p<0,05 ise, grup ortalamaları eşit değildir. Çoklu karşılaştırma testleri ile hangi grupların birbirinden farklı olduğu araştırılır. p>0,05 ise, grup ortalamaları eşittir ve çoklu karşılaştırma testlerine gerek yoktur. 17

18 18 Tekrarlar (n) 1.Yöntem (k=1) 2.Yöntem (k=2) 3.Yöntem (k=3) xx  x top = 222 x k-ort x ort =24,67 Örnek Bir analiz laboratuarında spektrofotometri (1), voltametri (2) ve HPLC (3) gibi üç farklı yöntem ile bir draje içindeki B1 vitamininin analizi yapılıp, 3 tekrarlı olarak analiz sonuçları (mg/tablet olarak) elde ediliyor. Drajelerdeki B1 vitamininin analizi üzerine etki bakımından bu 3 farklı draje analiz yöntemi arasında bir fark var mıdır? (p=0,05 düzeyinde ya da α=0,05)

19 Varyans Analiz tablosu 19 Varyans Kaynağı (VK) Serbestlik Derecesi (SD) Kareler Toplamı (KT) Kareler Ortalaması (KO) F h değeri Gruplar Arasık-1= 3-1=27474/2=37F h =37/3=12,33 Gruplar içik(n-1)=3(3-1)=61818/6=3F t =5,14 Genel varyasyon (GKT) n.k-1=3.3-1=892F h > F t k: işlem sayısı : 3 n: tekrar sayısı : 3 F h : gruplar arası kareler ortalaması (GAKO)/gruplar içi kareler ortalaması(GİKO) Genel Kareler Toplamı (GKT) =  (X i -X ort ) 2 = (24-24,67) 2 + (25-24,67) 2 + (26- 24,67) 2 + (19-24,67) 2 + (21-24,67) 2 + (23-24,67) 2 + (26-24,67) 2 + (28-24,67) 2 + (30-24,67) 2 = 92,0 Gruplar Arası Kareler Toplamı (GAKT) = 3.  (X k-ort -X ort ) 2 = 3.[(25-24,67) 2 + (21- 24,67) 2 + (28-24,67) 2 ] = 74,0 Gruplar İçi Kareler Toplamı (GİKT) =  (X i -X k-ort ) 2 = (24-25) 2 + (25-25) 2 + (26- 25) 2 + (19-21) 2 + (21-21) 2 + (23-21) 2 + (26-28) 2 + (28-28) 2 + (30-28) 2 = 18,0 GKT = GAKT + GİKT = = 92,0

20 3 farklı analitik yöntem ile elde edilen verilerin varyans analizi sonucunda kontrol ve karşıt hipotezlerin oluşturulması gerekir: H 0 hipotezi: Drajelerdeki B1 vitamininin analizi üzerine yaptığı etki bakımından bu 3 farklı draje analiz yöntemi arasındaki fark bir tesadüften ileri gelmektedir ve kabul edilebilir. Yani; µ 1 = µ 2 = µ 3 H a hipotezi: En az iki draje analiz yönteminin drajelerdeki B1 vitamininin analizi üzerine yaptığı etki bakımından aralarındaki fark bir tesadüften ileri gelmemektedir. Hangi hipotezin kabul edileceğine dair karar vermek için F değerinin hesaplanması gerekmektedir. Varyans analiz tablosundan F h : gruplar arası kareler ortalaması (GAKO)/gruplar içi kareler ortalaması (GİKO) hesaplanır. F değerinin en az 1 olması veya 1’den küçük olan sapmalarının ise tesadüften ileri gelebilecek farklılık kadar olması beklenir. F dağılımı, iki serbestlik derecesine bağlı bir dağılımdır. Burada F t değeri normal dağılım cetvelinde 2 ve 6 serbestlik derecesine göre bakılır. 20

21 21 p<0,05 olduğundan, grup ortalamaları eşit değildir. Ya da F hesaplanan > F kritik

22 H 0 hipotezinin red bölgesi 5,14 değerinde başlar. Hesaplanan F değeri H 0 hipotezinin red bölgesine düşmektedir. F h > F t → H 0 red F h < F t → H 0 kabul Yani en az iki draje analizi yönteminde farklılık olduğu zaman H 0 reddedilir. Burada B1 vitamininin analizi üzerine etki bakımından aralarındaki farkın tesadüften ileri gelmediği sonucuna varılır. 22

23 23 Burada yapılabilecek istatistiksel işlemlerden bir diğeri de Varyasyon Katsayısıdır. Yapılan çalışmanın ve uygulanan planın güvenirlik derecesini tahmin etmek için denemeye ait varyasyon katsayısı hesaplanır. VK, varyans analiz tablosundan yararlanılarak bulunur. VK’nin küçük bulunması, ilgili denemenin doğruluk derecesinin yüksek olduğunu gösterir. VK’nin derecesi hakkında kesin bir sınır olmamakla birlikte genellikle %25’den daha küçük olması arzu edilir. Bundan yukarıya çıkıldıkça araştırma planında veya uygulanışında bir yanlışlık yapıldığı şüphesi kuvvetlenir. Bu sebeple VK için araştırma planının bir kontrolüdür diyebiliriz. Buradaki y değeri, x genelort ’ dır ve VK’nın % 7 gibi bir değer çıkması, planın uygulamasının sağlıklı olduğunu gösterir.

24 24 Tekrarlar (n) A.Yöntemi (k=1) B.Yöntemi (k=2) C.Yöntemi (k=3) D.Yöntemi (k=4) ∑ 16,63,24,12,716,6 25,42,94,32,114,7 34,85,62,91,815,1 44,55,13,42,015,0 55,93,04,81,515,2 XX 27,219,819,510,176,6 X ort 5,443,963,92,02 3,83 Örnek: Dört farklı sulama yöntemi ile yetiştirilen şeker pancarının verim durumu araştırılıyor. Deneme 5 tekrarlı olarak yapılmıştır. Sulama şekillerinin pancar verimine etkilerinin önemli derecede farklı olup olmadığını belirleyiniz. (p=0,01 düzeyinde ya da α=0,01)

25 Varyans Analiz tablosu 25 Varyans Kaynağı (VK) Serbestlik Derecesi (SD) Kareler Toplamı (KT) Kareler Ortalaması (KO) F h değeri Gruplar Arasık-1= 4-1=329,4529,45/3=9,81F h =9,81/0,782= 12,5 Gruplar içik(n-1)=4(5-1)=1612,51212,512/16=0,782F t = 5,29 Genel varyasyon (GKT) n.k-1=4.5-1=1941,962F h > F t (0,01) k: işlem sayısı n: tekrar sayısı F h : gruplar arası kareler ortalaması (GAKO)/gruplar içi kareler ortalaması(GİKO) Bu sonuca göre, sulama şekillerinin pancar verimine etkileri arasındaki fark önemlidir. Yani sulama şekilleri pancar verimini farklı etkilemiştir. (p < 0,01) Ya da; y = ∑X top /∑y = ∑X top /k.n= 76,6/4x5 =3,83 VK = (√GIKO/y).100 = (√0,782/3,83).100 = % 23 %23’lük bir varyasyon önemli olmadığından işlemin uygulanması sağlıklıdır da diyebiliriz.

26 26 p<0,01 olduğundan, fark önemlidir. Ya da F hesaplanan > F kritik

27 Örnek Beş analizci, volumetrik yöntem kullanarak kalsiyum tayini için aşağıdaki çizelgede görülen sonuçları (mmol Ca) elde etmiştir. Ortalamalar arasında, %95 güven seviyesi için anlamlı bir fark var mıdır?

28 Şüpheli Değerin İncelenmesi Q Testi: Bazen bir veri geri kalan verilere uymaz. Bu durum olduğunda, şüpheli veriyi bırakmamaya veya güvenilmez olarak kabul ederek atıp atmamaya karar vermek durumunda kalırsınız. Bu karara yardım etmek için istatistiki Q testi kullanılır. Yani Q testi, tüm kötü verileri atmak için kullanılır. Q gözlenen > Q tablo ise şüpheli değer atılabilir. Q gözlenen < Q tablo ise şüpheli nokta tutulmalıdır. Q testi her bir veriye uygulanırken, güven aralığı sadece ortalamaya uygulanır. 28 x ş : şüpheli değer x n : şüpheli değere en yakın değer w: en küçük ve en büyük değer arasındaki fark (yayılma)

29 Atılma oranı Q için kritik değerler 29

30 Bazen sapan değerler büyük hataların sonucudur. İşte bu sapan değerler için Q testi yapılır. Şüpheli sonuç ve ona en yakın komşu sonuç arasındaki farkın mutlak değeri, Q gözlenen ’i verir. Bu da takımın yayılmasına (w) bölünür. Tablodan bulunan atılma değeri Q kritik(tablo) ile karşılaştırılır. n = 6 ise; w = x 6 – x 1 d = x 6 – x 5 = x ş - x n Örnek: Bir kalsit numunesi analizinde CaO %’si; 55,95 56,00 56,04 56,08 56,23 olarak bulunmuştur. Son değer, normal gözükmemektedir. Bu değer atılmalı mıdır? (%90 güvenle) W= (56,23-55,95) = %0,28 d= 56,23-56,08 = %0,15’dir. Tablodan Q kritik : 0,64 olarak bulunur. Q gözlenen < Q tablo(kritik) olduğu için son değer atılmaz. 30

31 W= (56,23-55,95) = %0,28 d= 56,23-56,08 = %0,15 için %95 güvenle olsaydı, tablodan Q kritik : 0,71 olarak bulunurdu. Q gözlenen < Q tablo(kritik) olduğundan, beş ölçüm için %95 güven seviyesinde 0,54 < 0,71 olduğundan bu durumda da şüpheli veri hesaba katılmalıdır.


"ANALİTİK YÖNTEM VALİDASYONU 6.DERS. Zaman zaman, iki popülasyonun varyanslarının (veya standart sapmalarının) karşılaştırılmasına gerek duyulur. Örneğin," indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları