AC DEVRE ANALİZİ: Sinüzoidal gerilim ve akımlar

... konulu sunumlar: "AC DEVRE ANALİZİ: Sinüzoidal gerilim ve akımlar"— Sunum transkripti:

1 AC DEVRE ANALİZİ: Sinüzoidal gerilim ve akımlar
Bir sinüzoidal sinyal üç parametre ile tanımlanır. Genlik Vm Faz  Frekans  = 2f Örnek: v(t)=Vm Sin (2πf + θ) AC devre analizinin her bir adımında devrede tek bir frekansta salınım yapan sinyal (veya sinyallerin) etkin olduğu kabul edilir. Bu durumda geriye analiz hesaplarına katılması gereken iki parametre kalacaktır. ( Vm ve θ ) Not: Eğer devrede birden fazla frekans etkin ise bu durumda süperpozisyon ilkesi kullanılarak hesaplamalar basitleştirilir. Bunu bölüm sonunda inceleyeceğiz. Bu aşamada devrede tek bir frekansın etkin olduğunu kabul edeceğiz.

2 NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR -1
AC SİNYAL ANALİZİNDE AKIM VEYA GERİLİM KAYNAKLARINI TANIMLAMAK İÇİN SADECE GENLİK VE FAZ AÇISI BİLGİLERİNİ (dikkat sayıca iki adet bilgi söz konusu) KULLANACAK BİR HESAPLAMA YÖNTEMİ GEREKLİDİR.

3 NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR - 2:
Doğrusal devrelerde kullanılan pasif elemanlar R, L ve C ’lerden oluşmuşlardır. Bu elemanların akım ve gerilim büyüklüklerini birbirlerine bağlayan tanım bağıntıları ya ölçekleme yada türev ve integral işlemleri ile tanımlanmışlardır. Sinüzoidal işaretlerinin türev ve integralleri de yine aynı frekansta salınan fakat genlik ve fazı değişmiş bir sinüzoidal işarete denk gelir:

4 Sinyal v(t), integrali (iv(t) ile gösterilen) ve türevi (dv(t) ile gösterilen)
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 60 48 36 24 12 0.5 Hz frekansta 10V rms ac sinyal Zaman [s] Voltaj [V] 44.429 - v t n ( ) dv iv

5 NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR -2
R ELEMANI: Üzerine sin/cos şeklinde bir AC akım sinyali uygulanması durumunda elemanın uçları arasında oluşan gerilim sadece genliği R kadar ölçeklenmiş aynı sin/cos sinyali olacaktır. C ELEMANI: uçları arasında oluşan gerilim genliği 1/ωC kadar ölçeklenmiş ve fazı da -900 kadar ötelenmiş aynı sin/cos sinyali olacaktır. (Bakınız C elemanı akım-gerilim tanım bağıntısı ve sinüzoidal ifade integral işlemi) L ELEMANI: uçları arasında oluşan gerilim genliği ωL kadar ölçeklenmiş ve fazı da +900 kadar ötelenmiş aynı sin/cos sinyali olacaktır. (Bakınız L elemanı akım-gerilim tanım bağıntısı ve sinüzoidal ifade türev işlemi)

6 NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR -2 SONUÇ:
AC SİNYAL ANALİZİNDE SADECE GENLİK VE FAZ AÇISI BİLGİLERİNİ (dikkat sayıca iki adet bilgi söz konusu) KULLANACAK BİR HESAPLAMA YÖNTEMİ GEREKLİ.

7 NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR -3:
ACABA BU MAKSATLA KARMAŞIK SAYILAR (dikkat her karmaşık sayı bünyesinde adları reel ve imajiner kısım olmak üzere iki adet bilgi ihtiva eder) KULLANILABİLİRLER Mİ?

8 SİNÜZOİDAL SİNYALİN KARMAŞIK DÜZLEMDE GÖSTERİMİ
imajiner +j ( = 90 veya  /2) Normalde karmaşık-düzlemde bir nokta bir karmaşık sayıyı ifade eder. Farklı bir yaklaşım olarak zamanla konumunu değiş- tiren bir nokta göz önüne alalım: bu noktanın θ baş- langıç açısı ve ω açısal hızı ile saatin ters yönünde döndüğünü kabul edelim.  orijine olan uzaklık: Vm θ+t - reel  = 0  = 180 veya  + reel -j ( = -90 or - /2)

9 +t +j ( = 90 veya  /2)  Vm  = 180 veya   = 0 + reel - reel
0.5 Hz frekansta 10V rms ac sinyal 14.142 15  12 9 Vm 6  = 180 veya  +t 3 Voltaj [V] v ( )  = 0 imag t n - reel + reel 3 6 9 12 - 14.142 15 -j ( = -90 veya - /2) 5 10 15 ( w × t ) 12.566 n açısal frekans [rad/s] . Zaman [s] 0.5 Hz frekansta 10V rms ac sinyal w açısal hızı ile dönen noktanın imajiner eksen üzerine iz-düşümü sin(wt) olur 1.5 3 4.5 6 w açısal hızı ile dönen noktanın reel eksen üzerine iz-düşümü cos(wt) olur - w × t n 7.5 açısal frekans [rad/s] . Zaman [s] 9 10.5 12 - 12.566 13.5 15 15 10 5 5 10 15 - 14.142 v real ( t ) n 14.142 Voltaj [V]

10 NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR -3 SONUÇ:

11 8.4 Relationship between rms and peak and i and j
Electrical engineers generally use a slightly different nomenclature to mathematicians for complex notation Firstly we use j, rather than i, for the square root of –1 (i gets confused with current) Secondly, we normally use rms values rather than peak values to describe the amplitude. For sine waves the peak is always times the rms. (rms values rather than peak are used to describe voltages and currents)

12 8.5 Representation of d/dt by j
We know that a signal represented by the differentiation of a sinusoidal voltage or current is the equivalent of the original signal Multiplied by  Advanced in phase by 90 degrees or  /2 Now multiplying by j gives a phase shift of +90 degrees Thus the operation of d/dt on a sinusoidal signal is like multiplying by j  (in the complex plane)

13 8.6 Impedance of resistors, inductors and capacitors
Impedance is a term used to describe the relationship between sinusoidal voltage and current for a single passive component a group of passive components (passive components are R, L and C. They are passive because they are linear and have no gain)

14 Turev alinca esitlikler ne olur

15 Z v i v = i Z Impedance is given the symbol Z v = i R
Note v and i are complex quantities here. (Some books use bold type to distinguish between complex and absolute values of sinusoidal voltages and currents or between complex and dc values) Z v i v = i Z v = i R

16 Thus We have two components to the impedance.
One has no j term and is referred to as real The other is all j terms and is referred to as imaginary The same is true for voltage and current. All complex values can be expressed as a magnitude and phase angle Or as a complex quantity. Complex voltages and currents are called phasors

17 8.7 Phasors, Reference Phasor and CIVIL
A phasor is a term given to a voltage or current which has a real and complex part. Represented as one of the following forms + real -real - j  vm  = 0  = 90 or  /2  = -90 or - /2  = 180 or  In circuits with several voltages and currents We need to define  we need to take a current or voltage as a reference (i.e. let =0 for that variable)

18 v ZR iR ZC iC ZL iL  = 90 or  /2 + j v  = 180 or   = 0 - real
Taking the same voltage applied across a parallel combination of a resistor, a capacitor and an inductor v ZR iR ZC iC ZL iL Plotting the voltage and three current phasors on the complex plane produces a phasor diagram. Voltage is common to all so we take that as the reference phasor in this case + j  = 90 or  /2 v  = 180 or   = 0 - real + real - j  = -90 or - /2

19 v ZR iR ZC iC ZL iL + j  = 90 or  /2 iR v  = 180 or   = 0 - real
Taking the same voltage applied across a parallel combination of a resistor, a capacitor and an inductor v ZR iR ZC iC ZL iL Plotting the voltage and three current phasors on the complex plane produces a phasor diagram. Voltage is common to all so we take that as the reference phasor in this case + j  = 90 or  /2 iR v  = 180 or   = 0 - real + real - j  = -90 or - /2

20 v ZR iR ZC iC ZL iL + j  = 90 or  /2 iC iR v  = 180 or   = 0
Taking the same voltage applied across a parallel combination of a resistor, a capacitor and an inductor v ZR iR ZC iC ZL iL Plotting the voltage and three current phasors on the complex plane produces a phasor diagram. Voltage is common to all so we take that as the reference phasor in this case + j  = 90 or  /2 iC iR v  = 180 or   = 0 - real + real - j  = -90 or - /2

21 v ZR iR ZC iC ZL iL + j  = 90 or  /2 iC iR v  = 180 or   = 0
Taking the same voltage applied across a parallel combination of a resistor, a capacitor and an inductor v ZR iR ZC iC ZL iL Plotting the voltage and three current phasors on the complex plane produces a phasor diagram. Voltage is common to all so we take that as the reference phasor in this case + j  = 90 or  /2 iC iR v  = 180 or   = 0 - real + real iL - j  = -90 or - /2

22 We can see that the phase angle between current and voltage is
0 for the resistor, + 90 degrees for the capacitor and –90 degrees for the inductor A memory aid is the acronym CIVIL CIV, for a capacitor (C), current (I) leads voltage (V) VIL, voltage (V) leads current (I) for an inductor (L)

23 8.8 Phasor Addition and Complex Arithmetic to Find the Combined Current for the Previous Circuit
ZR iR ZC iC ZL iL i j Find i + real - j v iL By phasor addition - real By complex algebra and arithmetic

24 8.8 Phasor Addition and Complex Arithmetic to Find the Combined Current for the Previous Circuit
ZR iR ZC iC ZL iL i j Find i + real - real - j v iR iL By phasor addition By complex algebra and arithmetic

25 8.8 Phasor Addition and Complex Arithmetic to Find the Combined Current for the Previous Circuit
ZR iR ZC iC ZL iL i j Find i + real - real - j v iR iC iL By phasor addition By complex algebra and arithmetic

26 8.8 Phasor Addition and Complex Arithmetic to Find the Combined Current for the Previous Circuit
ZR iR ZC iC ZL iL i - real - j v iR iC iL j i  i Find i By phasor addition + real By complex algebra and arithmetic

27 8.9 General Circuit Solution
We can solve ac networks with the same tools and methods used for dc networks Must use complex representation of voltages, currents and impedances Must choose one current or voltage as reference phasor and relate all others to it in terms of the phase angle  Evaluation of power needs care (rms values help) Evaluation of stored energy needs care

28 8.10 Instantaneous power, real power and reactive power
Instantaneous power waveforms for a voltage of 2V peak and a current of 1.5A peak Flowing separately in a resistor, a capacitor and an inductor Resistor case Average power Pav=0.5Vm*Im Pav=vrms*irms Inductor case Pav = 0 Capacitor case Pav = 0

29 Empedans = Rezistans + j.Reaktans
Sinüzoidal (sin veya cos tipi) alternatif akıma gösterilen karşı koymanın (direnimin) ölçüsüdür. Biri reel diğeri sanal olmak üzere iki bileşeni vardır: Reel bileşeni klasik direnç gibi davranmanın ölçüsünü tanımlayan REZİZTANS olarak adlandırılır. Sanal bileşen ise bobin veya kapasite gibi davranmanın ölçüsünü tanımlayan REAKTANS olarak adlandırılır. Empedans = Rezistans + j.Reaktans şeklinde tanımlı olup, genellikle EE uygulamalarında Z=R+jX ile sembolize edilirler.

30 EMPEDANS DİRENÇ: değeri R0 olan elemanın
Rdirenç= R0 ve Xdirenç=0 ise ZR=R BOBİN: değeri L olan elemanın Rbobin= 0 ve Xbobin=ωL ise Zbobin=jωL KAPASİTE: değeri C olan elemanın Rkapasite= 0 ve Xkapasite=-1/ωC ise Zkapasite=1/jωC

31 Empedans = Rezistans + j.Reaktans
ADMİTANS Elektrik devrelerinde Sinüzoidal (sin veya cos tipi) alternatif akıma gösterilen karşı koymanın (direnimin) ölçüsüdür. Biri reel diğeri sanal olmak üzere iki bileşeni vardır: Reel bileşeni klasik direnç gibi davranmanın ölçüsünü tanımlayan REZİZTANS olarak adlandırılır. Sanal bileşen ise bobin veya kapasite gibi davranmanın ölçüsünü tanımlayan REAKTANS olarak adlandırılır. Empedans = Rezistans + j.Reaktans şeklinde tanımlı olup, genellikle EE uygulamalarında Z=R+jX ile sembolize edilirler.