Diferansiyel Denklemler

Name: Diferansiyel Denklemler
Uploaded: 2017-12-06T02:58:59+00:00
Duration: PTM17S16
Channel: Ceri Sahin
Description: Diferansiyel Denklemler

Diferansiyel Denklemler
Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm Giriş 1.2. Diferansiyel denklem biçimleri tipi

KAYNAKLAR Aydın, M., Gündüz, G., Kuryel, B. (1987). Diferansiyel Denklemler ve Uygulamaları. Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Ders Kitapları Yayınları No: 14. Boyce, W.E., DiPrima, R.C. (1992). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Fifth edition. John Wiley & Sons, Inc. Chirgwin, B.H., Plumpton, C. (1964). A course of Mathematics for Engineers and Scientists. Pergamon Press. Volume 2. Chirgwin, B.H., Plumpton, C. (1964). A course of Mathematics for Engineers and Scientists. Pergamon Press. Volume 5.

KAYNAKLAR Er, U. (1985). Uygulamalı Diferansiyel Denklemler. Anadolu Üniversitesi. Lambe, C.G., Tranter, C.J. (1964). Differential Equations for Engineers and Scientists. The English Universities Press Ltd. Rainville, E.D., Bedient, P.E. (1989). Elementary Differential Equations. Seventh edition. Macmillan Publishing Company. Spiegel, M.R. (1965). Theory and Problems of Laplace Transforms. Schaum Publishing Company.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.1. Giriş Bu bölümde diferansiyel denklem kavramı açıklanacak ve konuya açıklık getirmek amacıyla bilinen bir örnek ele alınacak ve bu örnek yardımıyla diferansiyel denklem oluşturulması sağlanacaktır.

1.2. Diferansiyel Denklem Biçimleri Bir x değişkeni ile onun fonksiyonu olan y ve bu fonksiyonun türevleri arasında mevcut olan F (x, y, y', ..., y(n)) = 0 (1.1) denklemine diferansiyel denklem denir. Konuya açıklık getirmek için aşağıda sunulan örneği göz önüne alalım.

Örnek: 1.1. Kütlesi m olan bir cisim yerçekimi etkisi altında serbest düşme yapmaktadır. Serbest olarak düşen bu kütlenin üzerine havanın direnci etki etmektedir. Havanın direnci düşen cismin hızının karesiyle doğru orantılıdır. Bir t zamanı düştüğünde cismin (v) hızını ve düştüğü mesafeyi bulunuz.

Şekil 1.1.’den de görüleceği gibi kütlenin üzerine iki kuvvet etki etmektedir: Yerçekimi kuvveti : mg Havanın direnci : kmv2 Burada k bir sabit ve g yerçekimi kuvvetidir.

Cisim yere doğru düştüğünden mg > kmv2’dir. Dolayısıyla cisme etki eden net kuvvet, F = mg – kmv2 (1.2) dir. F = m  a (1.3) olduğundan (m, kütle ve a da ivmeyi belirtmektedir).

(1.4)

(1.4) ve dolayısıyla (1.5) elde edilir.

Bu denklemde (eşitlikte) diferansiyel katsayısı bulunduğundan denklem diferansiyel denklem olarak bilinmektedir. Bu diferansiyel denklemin çözümü sonucunda bir t anındaki v hızını elde etmek mümkün olacaktır.

s’in cismin t zaman kadar düşmesi sonucu alınan mesafeyi belirttiğini varsayalım. Bu mesafeyi bulmak için ifadesi (1.5) eşitliğinde yerine konursa bu eşitlik, (1.6) şekline dönüşür.

Bir diferansiyel denklemde en yüksek dereceden türev y(n) ise denkleme n’inci dereceden diferansiyel denklem denir. Örneğin, (1.5) eşitliğinde en yüksek türev birinci dereceden olduğundan bu eşitliğe birinci dereceden diferansiyel denklem ve (1.6) eşitliğinde en yüksek dereceden türev ikinci dereceden olduğundan bu eşitliğe ikinci dereceden diferansiyel denklem denir.

Verilen örnekte bağımlı değişkenler yol s, s = f (t) ve hız v, v = g (t) sadece tek bir t bağımsız değişkeninin fonksiyonları olduğundan ordinary diferansiyel katsayılarından dolayı (1.5) ve (1.6) diferansiyel denklemleri adi (ordinary) diferansiyel denklemler olarak bilinmektedir.

Eğer z bağımlı değişkeni x ve y gibi iki bağımsız değişkenin fonksiyonu ise örneğin, z = f (x, y) ise, z’nin x ve y değişkenlerine göre türevleri alınırsa, ve benzer şekilde, kısmi diferansiyel katsayıları elde edilir. Dolayısıyla bu tür katsayıları içeren diferansiyel denklemlere de kısmi diferansiyel denklemler denir.

Örneğin, (1.7) ve (1.8) denklemleri kısmi diferansiyel denklemler olarak bilinmektedir.

Diferansiyel denklemlerin çözümünde tümünün çözümünü elde edebilecek standart bir yöntem mevcut değildir. Fakat belirli tipler için özel yöntemler vardır. Ele alınacak yöntemler sonucunda y bağımlı değişkeninin x bağımsız değişkeni cinsinden analitik çözümü elde edilecektir.

Ancak bazı durumlarda analitik çözümün elde edilmesi mümkün olmamaktadır. Bu durumlarda Nümerik yöntemler uygulanarak bağımlı değişkene ilişkin yaklaşık bir sonuç elde edilmektedir. İzleyen kısımlarda değişik tip diferansiyel denklemler için çözüm yöntemleri örneklerle açıklanmıştır.

1.3. Bu tür diferansiyel denklemlerde ardarda integral işlemi bizi sonuca götürür.

Örnek 1.2. (1.9) diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. a bir sabit değeri ifade etmektedir.

ifadesinin x’e göre integrali alınırsa,

ifadesinin x’e göre integrali alınırsa, (1.10) (A bir sabit) elde edilir. Bu ifadenin x’e göre integrali alınırsa,

ifadesinin x’e göre integrali alınırsa, (1.10) (A bir sabit) elde edilir. Bu ifadenin x’e göre integrali alınırsa, (1.11) (B bir sabit) bulunur.

Elde edilen bu ifadenin x’e göre bir kez daha integrali alınırsa, (1.12) elde edilir. Bu ifade verilen (1.9) diferansiyel denkleminin çözümüdür ve bu çözüm A, B, C gibi sabitleri içerdiğinden genel çözüm olarak bilinir.

A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa, (1.13)

A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa, (1.13) (1.14)

A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa, (1.13) (1.14) (1.15)

eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden bulunur.

eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden bulunur. Elde edilen bu değerler (1.12) nolu eşitlikte yerine konursa, elde edilir. Bu (1.9) nolu diferansiyel denklemin özel çözümüdür. Özel çözüm olarak belirtilmesinin nedeni, başlangıç koşulları değiştirildiğinde A, B, C değerlerinin de bu koşullara göre değişmekte olmasından dolayıdır.

Aşağıda verilen diferansiyel denklemlerin genel veya koşullar veriliyorsa özel çözümlerini elde ediniz. Örnek 1.3.

Örnek 1.4.

Örnek 1.4. Bu son eşitlikten

Bu son ifadenin integrali alınırsa

Bu son ifadenin integrali alınırsa elde edilir.

Örnek 1.5. Kısmi integral yöntemi uygulanırsa

Örnek 1.6.

Örnek 1.6. eşitliğinden

Örnek 1.6. eşitliğinden elde edilir.

Bu son ifadenin integrali alınırsa

Bu son ifadenin integrali alınırsa integralinin sonucu olarak genel çözüm

elde edilir.

elde edilir. Bu ifadenin sadeleştirilmesi sonucunda genel çözüm olarak bulunur.

elde edilir. Bu ifadenin sadeleştirilmesi sonucunda genel çözüm olarak bulunur. Burada ’dir.

Örnek 1.7. diferansiyel denklemi ve x = 0 için y = 0 ve koşulları verilmektedir.

Örnek 1.7. diferansiyel denklemi ve x = 0 için y = 0 ve koşulları verilmektedir. Önce genel çözümü elde edelim.

ifadesinden genel çözümü elde edilir.

ifadesinde konursa eşitliğinden

ifadesinde konursa eşitliğinden ifadesinde konursa ve dolayısıyla elde edilir.

ifadesinde konursa eşitliğinden ifadesinde konursa ve dolayısıyla elde edilir. A ve B sabitlerine ilişkin bu değerler genel çözümde yerine konursa özel çözümü bulunur.

Diferansiyel Denklemler

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Diferansiyel Denklemler"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

Diferansiyel Denklemler

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Diferansiyel Denklemler"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim