OLASILIK (6BMHMAU102) Bölüm 6 Tahmin Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER.

... konulu sunumlar: "OLASILIK (6BMHMAU102) Bölüm 6 Tahmin Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER."— Sunum transkripti:

1 OLASILIK (6BMHMAU102) Bölüm 6 Tahmin Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

2 Güven Aralığı Bu bölümün içeriği:
Popülasyon (Ana Kütle) Ortalaması, μ için Güven Aralıkları Popülasyon Varyansı σ2 bilindiğinde Popülasyon Varyansı σ2 bilinmediğinde Popülasyon (Ana Kütle) orantısı, için Güven Aralıkları (büyük örnekler) Bir normal popülasyonun varyansı için Güven Aralığı Tahminleri Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

3 Tanımlar Bir ana kütle parametresinin tahmin edicisi
örneklem bilgilerine dayanan rassal bir değişkendir. bu bilinmeyen parametreye bir yaklaşık değer sağlamaktadır Bu rassal değişkenin spesifik bir değeri tahmin olarak anılmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

4 Nokta ve Aralık Tahminleri
Bir nokta tahmini tek bir sayıdır, bir güven aralığı değişkenlik hakkında ilave bilgi vermektedir Üst Güven Sınırı Alt Güven Sınırı Nokta Tahmini Güven Aralığı genişliği Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

5 Nokta Tahminleri μ x P Ortalama Orantı
Bir Ana kütle (popülasyon) Parametresini … Bir Örneklem İstatistiği ile tahmin ederiz (bir Nokta Tahmini) μ x Ortalama Orantı P Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

6 Sapmasızlık Eğer örneklem dağılımının beklenen değeri veya ortalaması  ise  parametresinin bir sapmasız tahmin edicisi olarak tanımlanmaktadır, Örnekler: Örneklem ortalaması μ’nün bir sapmasız tahmin edicisidir Örneklem varyansı s2 σ2’ bir sapmasız tahmin edicisidir Örneklem orantısı P’nin bir sapmasız tahmin edicisidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

7 Sapmasızlık sapmasız bir tahmin edicidir, sapmalıdır: (devam)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

8 Sapma ’nın bir tahmin edicisi olmak üzere
‘da sapma onun ortalaması ve  arasındaki fark olarak tanımlanmaktadır ve aşağıdaki gibi ifade edilir Sapmasız bir tahmin edicinin sapması 0’dır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

9 En Etkin Tahmin Edici ’nın birkaç sapmasız tahmin edicilerinin olduğunu varsayınız.  ‘nın en etkin tahmin edicisi veya minimum varyans sapmasız tahmin edicisi en küçük varyanslı tahmin edicisidir ve ’nın aynı gözlem sayısına dayanan iki sapmasız tahmin edicisi olmak üzere, bu durumda Eğer ise ‘in ‘ye göre daha etkin olduğu söylenmektedir ‘in ’ye göre göreli etkinliği, onların varyanslarının oranıdır: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

10 Güven Aralıkları Bir ana kütle parametresinin nokta tahmini ile ne kadarlık bir belirsizlik ilişkilidir? Bir aralık tahmini bir nokta tahminine göre bir ana kütle karakteristiği hakkında daha fazla bilgi temin etmektedir Böyle aralık tahminleri güven aralıkları olarak anılmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

11 Güven Aralığı Tahmini Bir aralık bir değerler dizisi vermektedir:
Örneklem istatistiğindeki örneklemden örnekleme varyasyonunu dikkate almaktadır 1 örneklemden olan gözleme dayanmaktadır Bilinmeyen ana kütle parametrelerine yakın olma hakkında bilgi vermektedir Güven seviyesi olarak ifade edilir asla %100 güvenli olamaz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

12 Güven Aralığı ve Güven Seviyesi
Eğer P(a <  < b) = 1 -  ise o halde aralık a’dan b’ye ’nın %100(1 - ) güven aralığı olarak anılmaktadır. (1 - ) de aralığın güven seviyesi olarak anılmaktadır ( 0 ve 1 arasındadır) Ana kütlenin tekrarlanan örneklemlerinde,  parametresinin gerçek değeri yolla hesaplanan aralığında %100(1 - )’i içinde yer alabilmektedir. Bu yolla hesaplanmış olan güven %100(1 - ) ile a <  < b olarak yazılmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

13 (ortalama, μ, bilinmiyor)
Tahmin Süreci Rastgele Örneklem μ’nün 40 & 60 arasında olduğundan %95 eminim. Ana kütle Ortalama X = 50 (ortalama, μ, bilinmiyor) Örneklem Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

14 Güven Seviyesi, (1-) Güven Seviyesi = 95% olarak varsayınız
(devam) Güven Seviyesi = 95% olarak varsayınız (1 - ) = 0,95 olarak da yazılabilir Bir göreli frekans yorumu: Tekrarlayan örneklerden oluşturulacak tüm güven aralıklarının %95’i bilinmeyen gerçek parametreyi içerecektir Bir spesifik aralık gerçek parametreyi içerebilir veya içermeyebilir Spesifik bir aralığa hiçbir olasılık dahil değildir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

15 Nokta Tahmini ± (Güvenilirlik Faktör)(Standart Hata)
Genel Formül Tüm güven aralıkları için genel formül: Güvenilirlik faktörünün değeri arzu edilen güven seviyesine bağlıdır Nokta Tahmini ± (Güvenilirlik Faktör)(Standart Hata) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

16 Güven Aralıkları Güven Aralıkları Ana kütle Ortalaması Ana kütle
Orantısı Ana kütle Varyansı σ2 biliniyor σ2 bilinmiyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

17 μ için Güven Aralığı (σ2 Biliniyor)
Varsayımlar Ana kütle varyansı σ2 biliniyor Ana kütle normal dağılmış Eğer ana kütle normal değilse, büyük örnekler kullanınız Güven Aralığı tahmini: (burada z/2 her bir kuyruktaki /2 olasılığı için normal dağılımdır) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

18 Hata Payı Güven aralığı olarak da yazılabilir
burada HP hata payı olarak anılmaktadır Aralık genişliği, w, hata payının iki katıdır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

19 Hata Payının Azaltılası
Hata Payının azaltılması için Ana kütle standart sapması azaltılabilir (σ↓) Örnek büyüklüğü artırılır (n↑) Güven seviyesi azaltılır, (1 – ) ↓ Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

20 Güvenilirlik Faktörü z/2’nin Bulunması
%95’lik bir Güven Aralığını ele alalım: z = -1,96 z = 1,96 Z birimler: Alt Güven Sınırı Üst Güven Sınırı X birimler: Nokta Tahmini z0,025 = 1,96’i standart normal dağılım tablosundan bulunuz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

21 Yaygın Güven Seviyeleri
Yaygın olarak kullanılan güven seviyeleri %90, %95, ve %99’dur. Güven Katsayısı, Güven Seviyesi Z/2 değeri %80 %90 %95 %98 %99 %99.8 %99.9 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99 0,998 0,999 1,28 1,645 1,96 2,33 2,58 3,08 3,27 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

22 Aralıklar ve Güven Seviyesi
Ortalamanın Örneklem Dağılımı x Aralıklar ‘den ‘e uzanmaktadır x1 Oluşturulan %100(1-)’lık aralıklar μ’yü içermektedir; %100() ise içermez. x2 Güven Aralıkları Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

23 Örnek Büyük bir ana kütleden seçilen 11 devre 2,20 ohm’luk bir ortalama dirence sahiptir. Geçmişteki bilgilerden ana kütlenin standart sapmasının 0,35 ohm olduğu bilinmektedir. Ana kütlenin gerçek ortalamasını %95’lik bir güven aralığında belirleyiniz. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

24 Örnek (devam) Büyük bir ana kütleden seçilen 11 devre 2,20 ohm’luk bir ortalama dirence sahiptir. Geçmişteki bilgilerden ana kütlenin standart sapmasının 0,35 ohm olduğu bilinmektedir. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

25 Yorum Gerçek ortalama direncin 1,9932 ile 2,4068 ohm arasında olduğundan %95 eminiz Gerçek ortalamanın bu aralıkta olmamasının da mümkün olmasına rağmen bu şekilde oluşturulmuş olan %95’lik aralıklar gerçek ortalamayı içerecektir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

26 Güven Aralıkları Güven Aralıkları Ana Kütle Ortalaması Ana Kütle
Orantısı Ana Kütle Varyansı σ2 biliniyor σ2 bilinmiyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

27 Student t Dağılımı n gözlemlik bir rassal örneklemi ele alalım
ortalaması x ve standart sapması s olsun ortalaması μ olan bir normal dağılımdan seçilmiş olsun O halde değişken Serbestlik derecesi (n – 1) olan Student t dağılımını takip Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

28 μ için Güven Aralığı (σ2 Bilinmiyor)
Eğer ana kütle standart sapması σ biliniyorsa, örneklem standart sapması, s’i yerine koyabiliriz. Bu durum yeni bir belirsizlik ortaya koyar, çünkü s örnekten örneğe değişkenlik göstermektedir Bu yüzden normal dağılım yerine t dağılımını kullanmaktayız Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

29 μ için Güven Aralığı (σ2 Bilinmiyor)
(devam) Varsayımlar Ana kütle varyansı σ2 bilinmiyor Ana kütle normal dağılmış Eğer ana kütle normal değilse, büyük örnekler kullanınız Student t Dağılımını kullanınız Güven Aralığı Tahmini burada tn-1,α/2 n – 1 serbestlik derecesine ve her bir kuyrukta α/2 alana sahip olan t dağılımının kritik değeri olarak anılmaktadır: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

30 Hata Payı Güven Aralığı, olarak da yazılabilmektedir
burada HP Hata Payı olarak da anılmaktadır: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

31 Student t Dağılımı t bir dağılımlar ailesidir
t değeri serbestlik derecesine (s.d.) bağlıdır. Örneklem ortalamasından sonra değişme serbestisi olan gözlem sayısı aşağıdaki hesaplanmaktadır s.d. = n - 1 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

32 Student t Dağılımı t Dikkat ediniz: t Z (n arttıkça) Standart Normal
(sd= ∞ olan t) t (sd = 13) t-dağılmları çan eğrisi sergilerler ve simetriktirler, fakat ‘daha geniş’ kuyruklara sahiptir t (sd = 5) t Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

33 Student t Tablosu .05 2 t /2 = 0,05 2,920 Üst Kuyruk Alanı .10 .025 1
Örnek: n = sd = n - 1 =  = 0, /2 =0,05 sd .10 .05 .025 1 3.078 6.314 12.706 2 1.886 2.920 4.303 /2 = 0,05 3 1.638 2.353 3.182 Tablo içeriği t değerlerini içerir olasılık değerlerini içermez t 2,920 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

34 Z değeri ile karşılaştırıldığında
t dağılım değerleri Z değeri ile karşılaştırıldığında Güven t t t Z Seviyesi (10 s.d.) (20 s.d.) (30 s.d.) ____ 0, , , , ,282 0, , , , ,645 0, , , , ,960 0, , , , ,576 Dikkat: t Z (n arttıkça) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

35 Örnek n = 25 olan bir rastgele örnek x = 50 ve
s = 8 değerlerine sahiptir. μ için %95’lik bir güven aralığı oluşturunuz s.d.= n – 1 = 24, bu yüzden Güven Aralığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

36 Güven Aralıkları Güven Aralıkları Ana kütle Ortalama Ana kütle
Orantısı Ana kütle Varyansı σ2 Biliniyor σ2 Bilinmiyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

37 Ana kütle Orantısı için Güven Aralığı
Ana kütle orantısı (P) için bir aralık tahmini örneklem orantısı ( )’nin belirsizliği için bir tolerans payı ekleyerek hesaplanabilmektedir. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

38 Ana kütle Orantısı P için Güven Aralığı
(devam) Eğer örneklem büyüklüğü yeterince büyükse örneklem orantısının aşağıdaki standart sapma ile yaklaşık olarak normal olduğunu hatırlayınız Bunu bu örneklem verileri ile tahmin edeceğiz: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

39 Güven Aralığı Uç Noktaları
Popülasyon orantısı için üst ve alt güven sınırları aşağıdaki formül ile hesaplanmaktadır burada z/2 ; istenilen güven seviyesi için standart normal değeridir ; örneklem orantısı n; örneklem büyüklüğü nP(1−P) > 5 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

40 Örnek 100 kişilik rastgele bir örneklem 25’inin solak olduğunu göstermektedir. Solakların gerçek orantısı için %95’lik bir güven aralığı oluşturunuz. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

41 Örnek (devam) 100 kişilik rastgele bir örneklem 25’inin solak olduğunu göstermektedir. Solakların gerçek orantısı için %95’lik bir güven aralığı oluşturunuz. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

42 Yorum Ana kütledeki solakların yüzdesinin %16,51 ile %33,49 arasında olduğundan %95 eminiz. 0,1651 ile 0,3349 arasındaki aralığın gerçek orantıyı içermeyebilmesine rağmen büyüklüğü 100 olan örneklerden oluşturulan aralıkların %95’i gerçek orantıyı içerecektir. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

43 Güven Aralıkları Güven Aralıklar Ana Kütle Ana Kütle Ana Kütle
Ortalaması Ana Kütle Orantısı Ana Kütle Varyansı σ2 Bilinmiyor σ2 Biliniyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

44 Ana Kütle Varyansı için Güven Aralığı
Amaç: Ana kütle varyansı, σ2 için bir güven aralığı oluşturmak Güven aralığı örneklem varyansı s2’na dayanmaktadır Varsayılan: ana kütle normal olarak dağılmıştır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

45 Ana Kütle Varyansı için Güven Aralığı
(devam) Rassal değişken (n – 1) serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı izlemektedir Burada ki-kare değeri aşağıdaki olasılık değerini temsil etmektedir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

46 Ana Kütle Varyansı için Güven Aralığı
(devam) Ana kütle varyansı için %(1 - ) güven aralığı aşağıdaki gibidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

47 Örnek Ana kütlenin normal olduğunu varsayınız.
Üretilen bir bilgisayar işlemcileri partisi test edilmektedir. Aşağıdaki veriler (MHz olarak) toplanıyor: Örneklem Büyüklüğü Örneklem Ort Örneklem std sap Ana kütlenin normal olduğunu varsayınız. σx2 için %95 güven aralığını belirleyiniz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

48 Ki-kare Değerlerinin Bulunması
n = 17 ve ki-kare dağılımı(n – 1) = 16 serbestlik derecesine sahiptir  = 0,05, o halde her bir kuyruktaki ki-kare değeri 0,025’tir: Olasılık α/2 = 0,025 Olasılık α/2 = 0,025 216 216 = 6,91 216 = 28,85 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

49 Güven Sınırlarının Hesaplanması
%95 güven aralığı aşağıdaki gibidir: Standart sapmayı dönüştürürken, CPU hızının 55,1 ile 12,6 MHz arasında olduğundan %95 eminiz. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

50 Sonlu Ana kütleler Eğer örneklem büyüklüğü ana kütle büyüklüğünün %5’i büyüklüğünde ise (ve örnekleme yerine koymaksızın oluyorsa) o halde standart hata hesaplanırken sonlu ana kütle düzeltme faktörü kullanılmak zorundadır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

51 Sonlu Ana kütle Düzeltme Faktörü
Örneklemin yerine koymaksızın yapıldığını ve örneklem büyüklüğünün ana kütle büyüklüğüne göre büyük olduğunu varsayınız Ana kütle büyüklüğünün merkezi limit teoremini uygulamak üzere yeterince büyük olduğunu varsayınız Ana kütle varyansını tahmin ederken sonlu Ana kütle Düzeltme Faktörünü uygulayınız Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

52 Ana kütle ortalamasının Tahmin Edilmesi
Büyüklüğü n olan bir basit rassal örneklem ortalaması μ olan bir N üyeli ana kütleden alınmış olsun Örneklem ortalaması, μ ana kütle ortalamasının sapmasız tahmin edicisidir Nokta tahmin edicisi aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

53 Sonlu ana kütleler: Ortalamalar
Eğer örneklem büyüklüğü ana kütle büyüklüğünün %5’inden daha büyük ise, örneklem ortalamasının varyansı için sapmasız bir tahmin edici aşağıdaki gibidir O halde ana kütle ortalaması için güven aralığı %100(1-α)’dır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

54 Ana kütle Toplamının Tahmin Edilmesi
Büyüklüğü N olan bir ana kütleden büyüklüğü n olan bir basit rassal örneklemi ele alınız Tahmin edilecek olan miktar Nμ popülasyon toplamıdır Nμ ana kütle toplamı için sapmasız bir tahmin edicinin tahmin prosedürü Nx nokta tahmini ile sonuçlanmaktadır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

55 Ana kütle Toplamının Tahmin Edilmesi
Ana kütle toplamının varyansının sapmasız bir tahmin edicisi aşağıdaki gibidir: Ana kütle toplamı için bir %100(1 - )’lık güven aralığı aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

56 Ana Kütle Toplamı için Güven Aralığı: Örnek
Bir firma 1000 hesaplık bir ana kütleye sahiptir ve toplam ana kütle değerini tahmin etmek istemektedir Ortalaması 87,6 $ ve standart sapması 22,3$ olan 80 hesaplık bir örnek seçildi. Find the Toplam dengenin %95’lik güven aralığı tahminini bulunuz. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

57 Örnek Çözüm Ana kütle toplam dengesi için %95 güven aralığı ,53$ ile ,47$ arasında idi. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

58 Ana Kütle Orantısının Tahmin Edilmesi
Ana Kütlenin gerçek orantısı P olsun n gözlemden olan bir basit rassal örneklemin örneklem orantısı olsun Örneklem orantısı , P ana kütle orantısının sapmasız bir tahmin edicisidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

59 Sonlu Ana kütleler:Orantı
Eğer örneklem büyüklüğü ana kütle büyüklüğünün %5’inden daha büyük ise, örneklem orantısının varyansı için sapmasız bir tahmin edici aşağıdaki gibidir O halde, Ana kütle orantısı için bir %100(1 - )’lık güven aralığı aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

60 Tahmin: İlave Konular Bölüm Konuları Güven Aralıkları
Ana Kütle Ortalamaları Bağımlı Örneklemler Ana Kütle Ortalamaları Bağımsız Örneklemler Örneklem Büyüklüğünün Tayin Edilmesi Ana Kütle Orantıları Örnekler: Büyük Ana Kütleler Sonlu Ana Kütleler İşlem öncesine karşın sonrasındaki aynı grup 1. Gruba karşın bağımsız 2. Grup 1. Orantıya karşın 2. Orantı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

61 Bağımlı Örneklemler di = xi - yi
İki ilişkili ana kütlenin ortalamalarının testleri Eşli veya eşlenmiş örneklemler Tekrarlanmış ölçütler (önce/sonra) Eşli değerler arasındaki farkı kullanınız: Denekler arasındaki varyasyonu ortadan kaldırır Varsayımlar: Her iki ana kütle normal olarak dağılmaktadır Bağımlı Örneklemler di = xi - yi Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

62 Ortalama Farkı i’inci eşli fark di’dir , burada fark aşağıdaki gibidir
Bağımlı Örneklemler di = xi - yi Ana kültle eşli ortalama eşli farklının nokta tahmini d’ dir: Örneklem standart sapması: n örneklemdeki eşleşmiş çiftlerin sayısı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

63 Ortalama Farkı için Güven Aralığı
Ana kütle ortalamaları arasındaki fark μd için güven aralığı aşağıdaki gibidir Bağımlı Örneklemler Burada n = örneklem büyüklüğü (eşleşmiş örneklemlerdeki eşleşmiş çiftlerin sayısı) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

64 Ortalama Farkı için Güven Aralığı
(devam) Hata payı; tn-1,/2 (n – 1) serbestlik derecesi Student’s t dağılımından gelen değerdir aşağıdaki olasılık değerine sahiptir Bağımlı Örneklemler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

65 Eşli Örneklemler: Örnek
Altı kişi bir kilo verme programına kaydolmaktadırlar. Aşağıdaki veriler toplanmıştır Bağımlı Örneklemler  Ağırlık: Kişi Önce (x) Sonra (y) Farkı, di 42 di d = n = 7,0 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

66 Eşli Örneklemler: Örnek
(devam) Bağımlı Örneklemler %95’lık bir güven seviyesi için, uygun t değeri tn-1,/2 = t5,0,025 = 2,571 Ortalamalar arasındaki fark μd için %95 güven aralığı aşağıdaki gibidir Bu aralık sıfır içerdiğinden dolayı bu sınırlı verilerle kilo verme programının kişilere yardım ettiğine dair %95 emin olamamaktayız Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

67 İki Ortalama Arasındaki Fark: Bağımsız Örneklemler
Amaç: İki ana kütle ortalaması arasındaki fark için bir güven aralığı oluşturunuz, μx – μy Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler Farklı veri kaynakları İlişkili olmayan Bağımsız Tek bir ana kütleden seçilen örneklemler başka bir ana kütleden seçilen örneklem üzerinde hiçbir etkiye sahip değildir Nokta tahmini iki örneklem ortalaması arasındaki farktır: x – y Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

68 İki Ortalama Arasındaki Fark: Bağımsız Örneklemler
(devam) Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler σx2 ve σy2 biliniyor Güven aralığı z/2’yi kullanır σx2 ve σy2 bilinmiyor σx2 ve σy2 eşit kabul edilir Güven aralığı Student t dağılımından olan bir değeri kullanmaktadır σx2 ve σy2 eşit kabul edilmez Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

69 Ana Kütle Ortalamaları,
σx2 ve σy2 Biliniyor Varsayımlar: Örneklemler rastgele ve bağımsız olarak seçilmiştir Her iki ana kütle dağılımı normaldir Ana kütle varyansları bilinmektedir Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler * σx2 ve σy2 biliniyor σx2 ve σy2 bilinmiyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

70 σx ve σy bilindiğinde ve her ikisi de normal olarak dağıldığında,
σx2 ve σy2 Biliniyor (devam) σx ve σy bilindiğinde ve her ikisi de normal olarak dağıldığında, X – Y’nin varyansı Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler * σx2 ve σy2 biliniyor …ve rassal değişken standart bir normal dağılıma sahiptir σx2 ve σy2 bilinmiyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

71 Güven Aralığı σx2 ve σy2 Biliniyor
Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler * σx2 ve σy2 biliniyor μx – μy için güven aralığı: σx2 ve σy2 bilinmiyor Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

72 σx2 ve σy2 Bilinmiyor, Eşit Kabul Ediliyor
Varsayımlar: Örneklemler rastgele ve bağımsız olarak ve seçilmektedir Ana kütleler normal olarak dağılmaktadır Ana kütle varyansları ilinmemektedir fakat eşit oldukları varsayılmaktadır Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler σx2 ve σy2 biliniyor σx2 ve σy2 bilinmiyor * σx2 ve σy2 eşit kabul edilir σx2 ve σy2 eşit kabul edilmez Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

73 σx2 ve σy2 Bilinmiyor, Eşit Kabul Ediliyor
(devam) Aralık tahminlerini oluştururken: Ana kütle varyanslarının eşit olduğu varsayılmaktadır, o halde iki standart sapmayı kullanmak ve σ’yı tahmin etmek üzere onları havuzda toplamak gerekir getirmek (nx + ny – 2) serbestlik derecesinde bir t değeri kullanınız Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler σx2 ve σy2 biliniyor σx2 ve σy2 bilinmiyor * σx2 ve σy2 eşit kabul edilir σx2 ve σy2 eşit kabul edilmez Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

74 σx2 ve σy2 Bilinmiyor, Eşit Kabul Ediliyor
(devam) Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler Toplanmış varyans σx2 ve σy2 biliniyor σx2 ve σy2 bilinmiyor * σx2 ve σy2 eşit kabul edilir σx2 ve σy2 eşit kabul edilmez Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

75 Güven Aralığı, σx2 ve σy2 Bilinmiyor, Eşit
* σx2 ve σy2 eşit kabul edilir μ1 – μ2 için güven aralığı: σx2 ve σy2 eşit kabul edilmez Burada Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

76 Toplanmış Varyans: Örnek
İki bilgisayar işlemcisini hız yönünden test edilmektedir. CPU hızlarındaki fark için bir güven aralığı oluşturunuz. Aşağıdaki hız (MHz) verileri toplanmıştır: CPUx CPUy Test Edilen Sayı Örneklem Ort Örneklem std s 74 56 Her iki ana kütlenin eşit varyanslı olduğunu varsayınız ve %95 güven aralığını kullanınız Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

77 Toplanmış Varyansı hesaplarken
%95’lik bir güven aralığı için t değeri: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

78 Güven Sınırlarını Hesaplarken
%95’lik güven aralığı CPU hızındaki ortalama farkın 416,69 ile 515,31 MHz arasında olduğundan %95 eminiz. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

79 σx2 ve σy2 Bilinmiyor, Eşit olmadıkları Varsayılıyor
Varsayımlar: Örneklemler rastgele ve bağımsız olarak ve seçilmektedir Ana kütleler normal olarak dağılmaktadır Ana kütle varyansları bilinmemektedir ve eşit olmadıkları varsayılmaktadır Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler σx2 ve σy2 biliniyor σx2 ve σy2 bilinmiyor σx2 ve σy2 eşit kabul edilir * σx2 ve σy2 eşit kabul edilmez Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

80 σx2 ve σy2 Bilinmiyor, Eşit olmadıkları Varsayılıyor
(devam) Aralık tahminlerini oluştururken: Ana kütle varyanslarının eşit olmadığı varsayılmaktadır, bu yüzden toplanmış varyans uygun değildir.  serbestlik derecesi ile bir t değerini kullanınız, Ana Kütle Ortalamaları, Bağımsız örneklemler σx2 ve σy2 biliniyor σx2 ve σy2 bilinmiyor σx2 ve σy2 eşit kabul edilir * σx2 ve σy2 eşit kabul edilmez Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

81 Güven Aralığı, σx2 ve σy2 Bilinmiyor, Eşit Değil
σx2 ve σy2 eşit kabul edilir μ1 – μ2 için güven aralığı: * σx2 ve σy2 eşit kabul edilmez Burada Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

82 Fark için nokta tahmini
İki Ana Kütle Orantısı Amaç: İki ana kütle orantısı arasındaki Px – Py farkı için bir güven aralığı oluşturmaktır. Ana kütle orantıları Varsayımlar: Her iki örneklem büyüklüğü büyüktür (genellikle her bir örneklemde 40 gözlem) Fark için nokta tahmini Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

83 İki Ana Kütle Orantısı Rassal değişken Ana kütle orantıları
(devam) Rassal değişken yaklaşık olarak normal dağılmıştır Ana kütle orantıları Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

84 İki Ana Kütle Orantısı için Güven Aralığı
Ana kütle orantıları Px – Py için güven sınırları: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

85 Örnek: İki Ana Kütle Orantısı
Kolej diploması olan erkeklerin orantısı ve kadınların orantısı arasındaki fark için %90’lık bir güven aralığı oluşturunuz. Bir rassal örneklemde 50 erkeğin 26’sı 40 kadının 28’si kolej diploması almıştır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

86 Örnek: İki Ana Kütle Orantısı
(devam) Erkekler: Kadınlar: %90’lık güven aralığı için, Z/2 = 1,645 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

87 Örnek: İki Ana Kütle Orantısı
(devam) Güven sınırları: o halde güven aralığı aşağıdaki gibidir -0,3465 < Px – Py < -0,0135 Aralık sıfır içermediği için iki orantının eşit olmadığından %90 eminiz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

88 Örneklem Büyüklüğünün Tespit Edilmesi
Belirlenmesi Büyük ana kütleler Sonlu ana kütleler Ortalama için Orantı için Ortalama için Orantı için Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

89 Hata Payı Gereken örneklem büyüklüğü tanımlanmış olan bir güven seviyesi (1 - ) olan istenen bir hata payına (HP) ulaşılarak bulunabilmektedir Hata payı örnekleme hatası olarak da anılmaktadır ana kütle parametresinin tahminindeki hatalı ölçü miktarı güven aralığını oluşturmak üzere nokta tahminine eklenen veya çıkarılan miktar Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

90 Örneklem Büyüklüğünün Tespit Edilmesi
ana kütleler Ortalama için Hata Payı (örneklem hatası) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

91 Örneklem Büyüklüğünün Tespit Edilmesi
(devam) Büyük ana kütleler Ortalama için Şimdi n için çözünüz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

92 Örneklem Büyüklüğünün Tespit Edilmesi
(devam) Ortalama için gereken örneklem büyüklüğünü belirlemek üzere, aşağıdakileri bilmeniz gerekmelidir: z/2 değerini belirleyen istenen güven seviyesi (1 - ), Kabul edilebilir hata payı (örneklem hatası), HP Ana kütle standart sapması, σ Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

93 Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü, Örnek
Eğer  = 45 ise, ortalamayı %90 güven aralığında ± 5 içerisinde tahmin etmek için gereken örneklem büyüklüğü nedir? O halde gereken örneklem büyüklüğü n = 220 (Daima yuvarlayınız) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

94 Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi: Ana kütle Orantısı
ana kütleler Orantı için Hata Payı (örneklem hatası) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

95 Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi: Ana kütle Orantısı
(devam) Büyük ana kütleler Orantı için zaman 0,25’den daha büyük olamaz yerine 0,25’i koyunuz ve n için çözünüz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

96 Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi: Ana kütle Orantısı
(devam) Örneklem ve ana kütle orantıları, ve P, genellikle bilinmemektedir (çünkü daha henüz hiçbir örneklem alınmadı) P(1 – P) = 0,25 mümkün olan en büyük hata payını meydana getirmektedir (böylece bulunan örneklem büyüklüğü istenen güven seviyesini garantilemiş olacaktır) Orantı için gerek olan örneklem büyüklüğünü belirlemek üzere, aşağıdakileri bilmek zorundasınız: kritik z/2 değerini belirleyen (1 - ) istenen güven seviyesini kabul edilebilir örneklem hatası (hata payı), HP P(1 – P) = 0,25’yi sağlayan P’nin tahmini Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

97 Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü-Örnek: Ana kütle Orantısı
%±3 içerisinde, %95 güven aralığı ile bir büyük ana kütledeki gerçek orantıyı tahmin etmek üzere ne büyüklükte bir örneklem gerekli olacaktır? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

98 Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü-Örnek
(devam) Çözüm: %95 güven aralığı için, z0,025 = 1,96’yi kullanınız HP = 0,03 P(1 – P) = 0,25 olarak tahmin ediniz O halde n = 1068’i kullanınız Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

99 Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi : Sonlu Ana kütleler
Gerekli olan örneklem büyüklüğü n0’ı ön formülü kullanarak hesaplayınız: Daha sonra sonlu ana kütle için ayarlayınız: Ortalama için Bir sonlu ana kütle düzeltme faktörü ilave edilmektedir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

100 Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi : Sonlu Ana kütleler
n için çözünüz: Bu ifade için mümkün olan en büyük değer (Eğer P = 0,25 ise): 3. Aynı örneklem orantısından %95’lik bir güven aralığı ± olarak yer almaktadır Sonlu Ana kütleler Orantı için Bir sonlu ana kütle düzeltme faktörü ilave edilmektedir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

101 Örnek: Ana Kütle Orantısını tahmin etmek üzere Örneklem Büyüklüğü
(devam) 850 kişiden oluşan bir ana kütledeki kolej mezunlarının gerçek orantısını ±%5 içerisinde %95 güven aralığı ile tahmin etmek üzere gerekli olan bir örneklem ne büyüklükte olmalıdır? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

102 Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü-Örnek
(devam) Çözüm: %95 güven aralığı için, z0.025 = 1,96’yı kullanınız HP = 0,05 O halde n = 265’i kullanınız Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER