ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ

... konulu sunumlar: "ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ"— Sunum transkripti:

1 ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ
Doç. Dr. Ali Kemal ŞEHİRLİOĞLU

2 TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE:
Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki tek bir eleman dahi işlemin dışında kalır ise elde edilen sonuç parametre olarak kabul edilemez. ÖRNEK İSTATİSTİĞİ (PARAMETRE TAHMİNLEYİCİSİ): Bir örneğin sayısal betimsel ölçüsüdür ve örnekteki gözlemlerden hesaplanır. Diğer bir deyişle bilinmeyen bir parametrenin sayısal değerini bulabilmek (tahminlemek) için kullanılır.

3 PARAMETRE VE ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ İÇİN ÖRNEKLER
Anakütle ortalaması  Anakütle Medyan M Anakütle Varyansı 2 Anakütle Standart sapması  Anakütle Oranı P Örnek istatistiği Örnek ortalaması Örnek Medyanı m Örnek Varyansı s2 Örnek Standart sapması s Örnek Oranı p

4 Bir Populasyon Parametresi Hakkında En Geniş Bilgiyi Hangi Örnek İstatistiğinin İçerdiğine Nasıl Karar Verilecek? Örneğin anakütle ortalaması  için Aritmetik ortalama Geometrik ortalama Harmonik ortalama Medyan vb. örnek istatistiklerinden hangisi tercih edilmelidir.

5 Örnek 1 a Bir zar atılışında x üst yüzdeki sayıyı göstersin. E(x)=
anakütle parametresini (anakütle ortalamasını) bulunuz. x 1 2 3 4 5 6 P(x) 1/6 xP(x) 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6

6 Örnek 1b Ancak bu  değerinin bir an için bilinmediği ve bunu tahmin etmek için populasyondan 3 örnek alındığını varsayılsın.

7 Zar 3 kez atılsın ve örnek sonuçları; x1=2, x2=2, x3=6 elde edilsin.
ve m=2 hesaplanabilir. değeri  değerine daha yakındır. SONUÇ:

8 Zar 3 kez daha atılsın ve örnek sonuçları; x1=3, x2=4, x3=6 elde edilsin.
ve m=4 SONUÇ: m değeri  değerine daha yakındır.

9 Örnek İçin Yorum 1. Örnekten hesaplanan örnek istatistikleri (tahminleyiciler) birer şans değişkenidir. 2. Ne örnek aritmetik ortalaması Ne de örnek medyanı (m) , populasyon ortalamasına daima daha yakındır denilemez. Sonuçların genellenebilmesi için örnek istatistiklerinin dağılışına gerek duyulmaktadır.

10 ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI

11 ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI

12 ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI

13 ÖRNEK İSTATİSTİKLERİNİN-TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ

14 SAPMASIZLIK

15

16 ÖRNEK 3 Sapmasızlık Anakütle ortalaması için aritmetik ortalama sapmasız fakat medyan sapmalı bir tahminleyicidir. Sapmasız Sapmalı = m

17 MİNİMUM VARYANS

18 ÖRNEK: MİNİMUM VARYANS

19 ÖRNEK: ETKİN TAHMİNLEYİCİ

20 ÖRNEK: ETKİN TAHMİNLEYİCİ
Ortalamanınörnekleme dağılışı Medyanın örnekleme dağılışı 

21 Örnek Hacmi büyüdükçe tahminleyicinin varyansı küçülür.
ÖRNEKLEME DAĞILIMI ÖRNEK HACMİNİN BİR FONKSİYONUDUR Örnek Hacmi büyüdükçe tahminleyicinin varyansı küçülür. Büyük örnek hacimli durum Küçük örnek hacimli durum 

22 ÖRNEK :

23 ÖRNEK :

24 ÖRNEK 3:

25 ÖRNEK :

26 ÖRNEK 3:

27 ÖRNEK :

28 ÖRNEK 3

29 ÖRNEK 3

30 ÖRNEK 3

31 BEKLENEN DEĞER VE VARYANS OPERATÖRLERİNİN ÖZELLİKLERİ

32 BEKLENEN DEĞER VE VARYANS OPERATÖRLERİNİN ÖZELLİKLERİ

33 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ

34 Şans Değişkenlerinin Standartlaştırılması
Standart değişkenler genellikle z ile gösterilir. ortalaması sıfır, E(z)=0 Varyansı bir, V(Z)=1.

35

36 BİR DAĞILIMIN BELİRLENMESİ
Dağılışın tipinin belirlenmesi, (Normal, Üstel, Poisson vb.) Dağılımın parametrelerinin belirlenmesi

37

38 DAĞILIMIN TİPİ Merkezi limit teoremine göre aritmetik ortalamanın dağılımı yaklaşık olarak normal dağılıma sahiptir. Normal dağılımın parametreleri: Anakütle ortalaması Anakütle varyansı

39 Dağılımın Parametreleri: Aritmetik Ortalama için Anakütle Ortalaması

40 Dağılımın Parametreleri: Aritmetik Ortalama için Anakütle Varyansı

41

42 Aritmetik Ortalamanın Standartlaştırılması

43 Normal olmayan dağılışlardan örnekleme
Merkezi eğilim Yayılma Yerine koyarak örnekleme Anakütle dağılışı Örnekleme dağılışı n = 4 X = 5 n =30 X = 1.8

44 Normal dağılış gösteren bir anakütleden örnekleme
Merkezi eğilim Yayılma Yerine konularak örnekleme Anakütle dağılışı Örnekleme dağılışı n = 4 X = 5 n =16 X = 2.5

45 Merkezi limit teoremi Örnekleme dağılışı hemen hemen normal olur.
Örnek hacmi yeterince büyükse (n  30) ... Örnekleme dağılışı hemen hemen normal olur.

46 ÖRNEK 3 Telekom’da çalışan bir uzman, uzun zaman yaptığı gözlemlerden, telefon konuşma sürelerinin (x),  = 8 dk. &  = 2 dk. olan normal dağılış gösterdiğini belirlemiştir. 25 görüşme rasgele seçilirse, örnek ortalamasının 7.8 & 8.2 dakika arasında çıkması olasılığı nedir? © T/Maker Co.

47 Standart Normal Dağılış
Çözüm Örnekleme dağılışı Standart Normal Dağılış .3830 .1915 .1915

48

49

50

51 DAĞILIMIN TİPİ Merkezi limit teoremine göre örnek oranının dağılımı eğer n örnek hacmi yeterince büyük ise yaklaşık olarak normal dağılıma sahiptir. Bunun temel sebebi örnek oranının, n adet denemede ortaya çıkan ortalama başarı sayısını temsil etmesidir. Normal dağılımın parametreleri: Anakütle ortalaması Anakütle varyansı

52 Dağılımın Parametreleri: Örnek Oranı için Anakütle Ortalaması

53 Dağılımın Parametreleri: Örnek oranı için Anakütle Varyansı

54

55 Örnek Oranının Standartlaştırılması

56 Örnek Hacminin Örnek Oranı Üzerindeki Etkisi

57 ÖRNEK 4

58 ÖRNEK 4

59 ÖRNEK 4

60 ÖRNEK 5

61 ÖRNEK 5

62 ÖRNEK 5

63 Ki-Kare Dağılışı = 2 2 = anakütle varyansı (n - 1) s 2
n = örnek miktarı s 2 = örnek varyansı 2 = anakütle varyansı df = serbestlik derecesi = n – 1=v 2 One place where students tend to make errors with this formula is switching the values for s and . Careful reading of the problem should eliminate this difficulty. page 343 of text

64 Ki-Kare Dağılışı

65 Ki-Kare Dağılışı

66 Ki-Kare Dağılışı

67 Ki-kare istatistiğinin dağılışının özellikleri
ki-kare dağılışı simetrik değildir Serbestlik derecesi arttıkça, dağılış daha simetrik hale gelir (normale yaklaşır) df = 10 Simetrik değil df = 20 Different degrees of freedom produce different chi-square distributions. x2 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Tüm değerler sıfır veya pozitif

68 ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI

69 ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI

70 ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI

71 ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI