Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Presentation on theme: "Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol"— Presentation transcript:

1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
DERS 7 DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMLERİ Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

2 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
R3 de verilen bir M noktasından geçen ve verilen bir vektöre paralel olan doğrunun denklemi. M(xo ,yo ,zo ), noktasından geçen ve v=(a,b,c) vektörüne paralel olan doğru d doğrusu olsun. d d doğrusu üzerinde değişken bir nokta X(x,y,z,) olsun. d doğrusunun denklemini yazmak demek X noktasının x,y,z, koordinatları arasında X noktasının d doğrusu üzerinde bulunmasını sağlayan bir bağıntı bulmak demektir. Bu bağıntı, olarak alınabilir. M(x0 ,y0 ,z0 ) noktası sabit olduğundan sabit bir vektördür. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

3 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
d doğrusunun vektörel denklemi d doğrusunun parametrik denklemi d doğrusunun kartezyen denklemi v vektörüne doğrultman vektörü, a,b,c sayılarına da doğrultman parametreleri denir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

4 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi: olsun. AB doğrusunu d ile gösterelim. d d doğrusunun parametrik denklemi Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

5 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
d doğrusunun kartezyen denklemi Doğrultman parametrelerinden birisi sıfır ise, doğru bu parametreye karşılık gelen koordinat eksenine diktir. Örneğin b = 0 (y1 - yo = 0 ise) ise doğru y eksenine dik olup denklemi olur. Örneğin a = 0 (x1 – xo = 0 ise) ise doğru x eksenine dik olup denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

6 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: AB doğrusunun veriliyor. denklemini yazınız. Çözüm: Doğru üzerinde değişken bir nokta .X(x,y,z) olsun. vektörü doğrultusunda olup P(-1,2,3) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. Örnek: Çözüm: Doğru üzerinde değişken bir nokta olsun. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

7 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

8 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: noktasından geçen ve vektörüne paralel olan doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: parametrik denklem kartezyen denklem Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

9 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
vektörünün taşıyıcı doğrusunun denklemini yazınız.. Örnek: vektörü, taşıyıcı doğrusunun doğrultman vektörüdür. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

10 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Noktasından geçen ve vektörüne paralel olan doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

11 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bir Vektörün bir d doğrusu üzerindeki dik izdüşümü: d doğrusunun doğrultman vektörü v olsun Diğer taraftan;. H h d olur. t O l Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

12 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bir Vektörün bir d doğrusu üzerindeki izdüşüm vektörü: d doğrusunun doğrultman vektörü v ise bir u vektörünün d doğrusu üzerindeki izdüşüm vektörü, uzunluğu u vektörünün d doğrusu üzerindeki izdüşümünün uzunluğu doğrultu ve yönü v vektörünün doğrultu ve yönü olan bir vektördür. Bu vektörü w ile gösterirsek H O t l d olur. dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

13 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: A(1,-2,1) ve B(2,0,3) noktaları veriliyor. vektörünün AB doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm: AB doğrusunun doğrultman vektörü dır. l Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

14 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
vektörleri veriliyor. u vektörünü biri v ye paralel diğeri v ye dik iki vektörün toplamı olarak yazınız. Örnek: Çözüm: u vektörünün v vektörü üzerindeki izdüşüm vektörü Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

15 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: vektörünün x + y =1 doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunu bulunuz. Çözüm: x + y =1 doğrusunun doğrultman vektörünü bulalım. Bunun için x + y =1 doğrusu üzerinde herhangi iki nokta alalım. A(1,0), B(0,1) olsun. AB doğrusunun doğrultman vektörü dir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

16 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
doğrusuna dik olan vektörlerin Örnek: kümesini bulunuz. Çözüm: Verilen doğrunun doğrultman vektörü dir. Verilen doğruya dik bir vektör olsun. Örneğin, olur ve dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

17 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
R3 te Bir Noktanın Doğruya Olan Uzaklığı: l t Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

18 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: noktasının doğrusuna olan uzaklığını bulunuz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

19 Paralel ve Dik Doğrular:
olsun. Paralel doğruların doğrultman vektörleri de paralel olacağından; Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

20 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: doğruları verilsin. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

21 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
R3 te Aykırı İki Doğru Arasındaki Uzaklık: Diğer taraftan bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

22 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz. Çözüm: dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

23 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Veya Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

24 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
R3 te İki Doğrunun Kesim Noktası: olsun. Buradan yazılır. Doğruların kesişmesi için, denklem sisteminin bir tek çözümünün olması gerekir Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

25 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bunun için herhangi iki denklemden bulunan değerleri diğer denklemde yerine yazılır. Bu denklem sağlanıyorsa bir tek çözüm vardır ve bu çözüm bulunan değerlerinden biri doğru denkleminde yerine yazılarak bulunur. Üçüncü denklem sağlanmıyorsa doğrular kesişmiyor demektir. Bu durumda doğrular ya paraleldirler ya da aykırıdırlar. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

26 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: doğrularının kesim noktasını araştırınız. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

27 Bir Noktası Bilinen ve Bir Doğrultusuna Dik Olan Düzlemin Denklemi:
Bir vektörün bir düzleme dik olması demek vektörün düzlemdeki her doğruya dik olması demektir. vektörüne düzlemin normali denir. düzlemin vektörel denklemi ve Düzlemin kartezyen denklemi Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

28 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: vektörüne dik olan ve noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: E … 2(x-1)-3(y-2)+5(z+3)=0 E … 2x-3y+5z+19=0 Örnek: vektörüne dik olan ve noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: E … 3(x-0)+0(y-2)+2(z-1)=0 E … 3x+2z-2=0 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

29 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Aykırı iki doğru arasındaki uzaklık Doğrulardan biri üzerindeki bir noktanın diğer doğruyu içine alan ve doğrusuna paralel olan düzleme uzaklığına eşittir. olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

30 Doğru İle Düzlem Arasındaki Açı:
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

31 Doğru İle Düzlemin Birbirlerine Göre Durumları:
Doğrunun düzleme dik olma koşulu: Doğrunun düzleme paralel olma koşulu: İki düzlemin paralel olma koşulu: İki düzlemin dik olma koşulu: Doğru İle Düzlemin Birbirlerine Göre Durumları: verilsin. x,y,z nin bu değerleri düzlem denkleminde yerine yazılırsa Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

32 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
nın bu değeri doğrunun parametrik denkleminde yerine yazılarak doğru ile düzlemin ortak noktası bulunur. Özel Durumlar: 1. Pay sıfır, payda sıfırdan farklı ise M(xo,yo,zo) ortak noktadır. 2. Pay sıfırdan farklı, payda sıfır ise ortak nokta yoktur. Doğru düzleme paraleldir. 3. Pay ve payda sıfır ise doğru düzlemin içindedir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

33 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bir Noktanın Bir Düzleme Olan Uzaklığı: M l E olsun. ile arasındaki açı sıfırdır. olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

34 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
düzlemin denklemini sağlar. noktası düzlemin üzerinde olduğundan M noktasının E düzlemine olan uzaklığı olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

35 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: M(7,3,4) noktasının 6x-3y+2z-20=0 düzlemine olan uzaklığını hesaplayınız. Paralel İki Düzlem Arasındaki Uzaklık: l1 l2 l2-l1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

36 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
İki Düzlem Arasındaki Açı : İki düzlem arasındaki açı bu düzlemlerin normalleri arasındaki açı olarak tanılanır. Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

37 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Üçlü Skaler Çarpım: vektörleri verilsin. h t olarak tanımlanır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

38 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
olsun. Buradan, bulunur. ise vektörleri lineer bağımlıdır. Yani vektörleri bir paralel yüz (bir hacim). oluşturmazlar. Bu durumda bu üç vektör düzlemseldir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

39 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Üç Noktası Bilinen Düzlemin Denklemi: X noktasının A,B,C noktalarının belirlediği düzlemde olabilmesi için vektörlerinin (lineer bağımlı olmaları) üçlü çarpımlarının sıfır olması gerekir ve yeter. A,B,C noktalarından geçen düzlemin denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

40 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: noktalarından geçen düzlemin denklemini yazınız. A,B,C noktalarından geçen düzlemin herhangi bir noktası olsun Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

41 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: denklemini bulunuz vektörlerinin gerdiği alt uzayın Bu iki vektörün gerdiği uzaya ait her hangi bir vektör yazılabilir. olsun.O zaman Çözüm: u ve v vektörlerinin gerdiği alt uzayın denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

42 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Veya; bulunur. Örnek: noktasının olan uzaklığını bulunuz. doğrusuna Çözüm: Doğru üzerindeki nokta A(2,1,2) noktasıdır. h Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

43 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: düzlemlerinin arakesit doğrusunun denklemini yazınız Çözüm: bulunur. Parametrik denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

44 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: düzlemlerine paralel olan ve P(-2,-1,5) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: Aranan doğru her iki düzleme paralel olduğundan bu düzlemlerin normallerine diktir. olur d’ nin parametrik denklemi olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

45 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: düzlemlerinin Arakesit doğrusundan ve P(-1,1,2) noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: bulunur. Not: düzlemlerinin ikisini de sağlayan noktalar denklemini de sağlar. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

46 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Veya düzlemlerini ortak çözerek ortak iki nokta bulalım. Sonra da bu iki noktadan ve verilen P noktasından geçen düzlemin denklemini yazalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

47 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: doğruları veriliyor a) Varsa kesiştikleri noktayı bulunuz b)Aralarındaki açıyı bulunuz. Çözüm: bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

48 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: doğruları veriliyor a) Paralel veya dik olup olmadıklarını araştırınız b)Varsa kesim noktasını bulunuz c) Aralarındaki uzaklığı bulunuz. Çözüm: Bu iki doğru paralel değildir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

49 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Farklı t değerleri bulunduğundan bu iki doğrunun ortak bir noktası yoktur. Doğrular kesişmezler. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

50 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

51 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: doğruları veriliyor a) Varsa kesiştikleri noktayı bulunuz b)Aralarındaki uzaklığı bulunuz. Çözüm: Farklı t değerleri bulunduğundan doğrular kesişmezler. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

52 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Doğrular arasındaki uzaklık Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

53 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Aşağıdaki doğruların standart denklemlerini yazınız.. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

54 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
c) Verilen doru düzlemlerin arakesitidir. doğru A noktasından geçer ve düzlemlerin normallerine diktir. Dolaysıyla Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

55 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: olan ve Doğrultuları noktasında kesişen doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: Aranan düzlemi A noktasından geçen ve normali olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

56 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: doğrularına paralel olan ve A(-2,1,2) noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. Çözüm: bulunur. veya Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

57 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: vektörlerinin lineer bağımlı (düzlemsel) olduğunu gösteriniz. Çözüm: düzlemseldir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

58 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Ödev: vektörlerinin düzlemsel olduklarını gösteriniz. vektörleri üzerine kurulan paralelyüzün hacmini bulunuz. düzlemsel olmaları için x ne olmalıdır? vektörlerinin aynı düzlemde olduklarını gösteriniz. noktalarının doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini yazınız. noktasından geçen ve 6. Orijinden geçen ve koordinat eksenleri ile sırasıyla. açılar yapan doğrunun parametrik ve kartezyen denklemlerini yazınız. doğrusuna olan uzaklığını bulunuz. noktasının Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

59 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
noktasından geçen ve doğrusuna dik olan düzlemin denklemini yazınız. noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. 10. Aşağıda verilen vektörlerin düzlemsel olup olmadıklarını araştırınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

60 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
noktalarının düzlemsel olduğunu gösteriniz. vektörleri üzerine kurulan paralelyüzün hacmini hesaplayınız. noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. noktalarının belirttiği düzlemin denklemini yazınız. vektörlerinin gerdiği uzayın denklemini yazınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

61 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
doğrularının kesim noktasını araştırınız ve bu doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız veriliyor. vektörleri R3 te bir baz oluşturur mu? vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazınız.. vektörünü vektörleri üzerine kurulan paralelkenarın alanını hesaplayınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

62 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

63 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

64 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Veya düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

65 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Veya düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

66 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

67 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
vektörleri düzlemsel ise üçlü skaler çarpımları sıfırdır. u,v,w vektörleri düzlemsel değildir. u,v,w vektörleri düzlemsel değildir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

68 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
u,v,w vektörleri düzlemseldir. noktalarının düzlemsel olduğunu gösteriniz. Çözüm: A,B,C,D noktaları düzlemseldir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

69 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2. Üç nokta bir düzlem belirtir. Dördüncü nokta bu düzlem denklemini sağlamalıdır. A,B,C noktalarının belirttiği düzlemin denklemi olur. D noktasının da bu düzlemde olması için D noktasının koordinatları bu denklemi sağlamalıdır. 3. A,B,C noktalarının belirttiği düzlem ile A,B,D noktalarının belirttiği düzlem aynı olmalıdır. düzlemseldir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

70 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
üzerine kurulan paralelyüzün hacmini hesaplayınız. vektörleri Çözüm: noktasından geçen ve doğrularına paralel olan düzlemin denklemini yazınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

71 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Çözüm: 1. Düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

72 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

73 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
düzlemin denklemini yazınız. noktalarının belirttiği Çözüm: Düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

74 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
denklemini yazınız. vektörlerinin gerdiği uzayın Çözüm: düzlem u ve v vektörlerinin başlangıç noktası olan orijinden geçeceğinden 1. Düzlemin herhangi bir noktası ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

75 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2. Bu iki vektörün gerdiği uzayın herhangi bir vektörü bu iki vektörün bir lineer birleşimi olarak yazılabilmelidir. Bu uzayın bir vektörü ise Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

76 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
doğrularının kesim noktasını araştırınız ve bu doğruların belirttiği düzlemin denklemini yazınız Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol