İşletim Sistemleri (Operating Systems)

... konulu sunumlar: "İşletim Sistemleri (Operating Systems)"— Sunum transkripti:

1 İşletim Sistemleri (Operating Systems)

2 Ölümcül Kilitlenme (Deadlock)

3 Ölümcül Kilitlenme (Deadlock)
Bilgisayardaki kilitlenmeler trafikteki kilitlenmelere benzer. Örneğin, bir dörtyol kavşağına gelindiğinde uygulanması gereken kural sağdan gelene yol vermeyi belirtir. Ancak eğer bu kavşağa aynı anda 4 araba gelirse ve hepsi de geçmeye çalışırsa kilitlenme olacaktır. Yada, tek şeritli yolun iki araç tarafından da kullanılmak istenmesi sonucunda yolun tıkanması gibi.

4 Ölümcül Kilitlenme (Deadlock)
Bilgisayar sistemleri, aynı anda yalnızca bir process tarafından kullanılabilen bazı kaynaklara sahiptir. Çok process’li çalışma ortamlarında process’ler sonlu sayıdaki kaynakları kullanmak için yarışırlar. Kaynak, herhangi bir anda tek bir process ile kullanılabilen donanım (örn. tape drive) yada yazılım (örn. locked record in a database) temelli olabilir. Kilitlenme, bekleme (waiting) durumundaki process’lerin hazır (ready) durumuna geçebilmek için diğer process’lerin sağlayacağı koşulu karşılıklı beklemelerine verilen addır. Kilitlenme, genelde process’lerin ellerindeki kaynakları bırakmadan, başka process’lere ait olan kaynakları kullanmak istedikleri durumlarda gerçekleşir.

5 Ölümcül Kilitlenme (Deadlock)
Kilitlenme (deadlock) iki yada daha çok process’in karşılıklı olarak hiç bir zaman gerçekleşmeyecek koşulları beklemeleriyle oluşan bir durumdur. Her process yalnız bir başka process’in sağlayacağı bir koşulu beklerse ve bu processler de kapalı bir zincir oluşturursa, kilitlenme kaçınılmazdır.

6 Ölümcül Kilitlenme (Deadlock)
Ana bellekte 200KB’lık boş yer olduğunu varsayınız. İki process aşağıdaki sırayla ana bellekten istekte bulunurlar. Her iki process’in de ilk istekleri bellek tarafından karşılanınca geriye sadece 50 Kb’lik boşluk kalacaktır. Bu durumda her iki process de ikinci isteğini alamayacağı için kilitlenme olacaktır. P1 … 80 Kb istek  60 Kb istek P2 … 70 Kb istek  80 Kb istek

7 Ölümcül Kilitlenme (Deadlock)
Bu gibi durumda kilitlenmeyi önlemek için process’lerin istekleri işlem sırasına göre yapılabilir. İlk olarak P1 process’inin istekleri karşılanır. P1 işini bitirince bellekten silinecektir. Daha sonra da P2’nin istekleri karşılanır ve kilitlenme ortadan kaldırılır. P1 … 80 Kb istek  60 Kb istek  P2 … 70 Kb istek 80 Kb istek

8 Ölümcül Kilitlenme (Deadlock)
Bir sistemde, 3 tane CD WR sürücüsü olsun. 3 process bu kaynakları kullanırken, her process diğer CD WR sürücülerden birisine istek yaparsa kilitlenme oluşur. Bir sistemde, 1 yazıcı ve 1 DVD sürücü olsun. P0 process’i yazıcıyı, P1 process’i DVD sürücüyü tutarken, P1 yazıcıya ve P0 DVD sürücüye istek yaparsa kilitlenme oluşur. Multithread uygulama geliştiriciler kilitlenme (deadlock) olasılığına dikkat etmelidir.

9 Kaynak Tahsis Grafikleri
Process’lerin istekleri ve kaynakların process’lere atanması kaynak tahsis grafikleri ile gösterilirler. Process’ler daireler şeklinde, kaynaklar kareler şeklinde gösterilir. Kaynak içindeki noktalar, kaynağın o kadar process’e atanabileceğini belirtir. Bir process’ten kaynağa doğru giden ok, process’in kaynak için istek yaptığını gösterir. Kaynaktan process’e doğru gösterilen ok, process’in kaynağa sahip olduğunu gösterir. dört process’e atanabilen kaynak Pi bir Rj kaynağını istiyor Rj kaynağının bir örneği Pi’ye atanmış

10 Kaynak Tahsis Grafikleri
P1, P2 tarafından tutulan bir kaynak talebinde bulunuyor. Hiçbir process R4 kaynağını talep etmiyor. Kaynak atama (allocate) R2 kaynağı P1 ve P2 ye atanmış. R1 kaynağı P2 ye atanmış. R3 kaynağı P3 e atanmış. Kaynak talebi (request) P1 process’i R1 için istekte bulunuyor. P2 process’i R3 için istekte bulunuyor.

11 Kaynak Tahsis Grafikleri
Eğer graf üzerinde döngü yoksa kilitlenme (deadlock) yoktur, döngü varsa kilitlenme olabilir. Her kaynaktan sadece 1 örnek varken graf üzerinde döngü varsa, kilitlenme oluşur. Döngü içerisinde yer alan tüm process’ler kilitlenme durumundadır. Kaynakların birden fazla olması durumunda, kilitlenme için döngü oluşması gereklidir ancak yeterli değildir. Döngü dışındaki bir process’e atanmış kaynak seçilebilir.

12 Kilitlenme olmadan kaynak tahsis grafiği
Bazı durumlarda, kilitlenme, aşağıdaki özelliklere sahip olan Kaynak Ayırma Grafikleri kullanılarak daha net anlaşılabilir: Bir kaynak kategorileri kümesi {R1, R2, R3,. . ., RN}, grafikte kare düğümler olarak görünür. Kaynak düğümleri içindeki noktalar, kaynağın kaç process’e atanabileceğini gösterir. Bir process dizisi, {P1, P2, P3,. . ., PN} Şekilde P1, P2 ve P3 arasında kilitlenme (deadlock) durumu bulunmaz. P3 sahip olduğu R3 kaynağını serbest bıraktığında, R3 kaynağı P2 process’ine atanır.

13 Kilitlenme olmadan kaynak tahsis grafiği
Bir kaynak ayırma grafiği döngü içermiyorsa, sistemde kilitlenme (deadlock) olmaz. (Döngü ararken, bunların yönlendirilmiş grafikler olduğunu unutmayın.) Bir kaynak ayırma grafiği döngüler içeriyorsa ve her bir kaynak yalnızca tek bir process’e atanabiliyorsa, bir kilitlenme (deadlock) var demektir. Bir kaynak birden çok process’e atanabiliyorsa, kaynak ayırma grafiğinde bir döngü varlığı bir kilitlenme (deadlock) olasılığını gösterir ancak bir döngü kilitlenme olduğunu garanti etmez.

14 Kilitlenme olmadan kaynak tahsis grafiği
P1 ve P3 process’leri boşta kaynağı olmayan R1 ve R2 kaynaklarını beklemektedir. Ancak P2 ve P4 istekte bulundukları tüm kaynaklara sahiptir.

15 Kilitlenme olmadan kaynak tahsis grafiği
Bu durumda bu iki process işlerini bitirince, kullandıkları kaynakları bırakacaklardır. Bırakılan kaynakları diğer process’ler kullanabilir.

16 Kilitlenme olmadan kaynak tahsis grafiği
Şekilde döngü vardır, ancak kilitlenme (deadlock) yoktur.

17 Kilitlenme (deadlock) ile kaynak tahsis grafiği
Process 1 Process 2 Process 3 … Request(Kaynak_1); //Kaynak_1 tutuluyor Request(Kaynak_2); … Request(Kaynak_2); //Kaynak_2 tutuluyor Request(Kaynak_3); … Request(Kaynak_3); //Kaynak_3 tutuluyor Request(Kaynak_1); Process 1 Process 2 Process 3 Kaynak 1 Kaynak 2 Kaynak 3

18 Kilitlenme (deadlock) ile kaynak tahsis grafiği
Şekilde P1, P2 ve P3 deadlock durumundadır.

19 Kilitlenme (Deadlock)
Örnek : Aşağıdaki kümelerde P process’leri, R kaynakları, E ise process istekleri ile kaynak atamalarını belirtmektedir. P={P1, P2, P3} R={R1, R2, R3} E={P1→R1, P2 → R3, P3 → R2, R1 → P2, R2 → P2, R2 → P1, R3 → P3} R1 ve R3 kaynakları bir process’e, R2 kaynağı ise iki process’e atanabilmektedir. a) Kaynak tahsis grafiğini çiziniz. b) Kilitlenme durumu var mıdır, karar veriniz.

20 Kilitlenme (Deadlock)
a) Kaynak tahsis grafiğini çiziniz. E={P1→R1, P2 → R3, P3 → R2, R1 → P2, R2 → P2, R2 → P1, R3 → P3}

21 Kilitlenme (Deadlock)
b) Kilitlenme durumu var mıdır, karar veriniz. Kilitlenme vardır. P1, P2 ve P3 process’leri kilitlenmiştir. P1 process’i R1 kaynağını beklemektedir. P2 process’i R3 kaynağını beklemektedir. P3 process’i R2 kaynağını beklemektedir.

22 Bölüşülür ve bölüşülemez kaynaklar (Preemptable and non-preemptable resources)
Kilitlenmeler sistem kaynaklarının processler arasında paylaşım zorunluluğundan ortaya çıkar. Bilgisayarda bulunan kaynaklar iki kategoriye ayrılabilir. 1. Bölüşülür-geri alınabilir kaynaklar (preemptable resources) 2. Bölüşülemez-geri alınamaz kaynaklar (non-preemptable resources)

23 Bölüşülür kaynaklar (preemptable resources)
Process’ler tarafından eşzamanlı biçimde paylaşılabilen birimler bölüşür kaynaklardır (preemptable resources). İşlemci, ana bellek, disk birimleri, ve veritabanı kütükleri bölüşülür kaynaklardır. CPU ve ana bellek gibi bölüşülebilir kaynaklar işletim aşamasında geri alınıp başka bir process’in kullanımına verilebilir.

24 Bölüşülemez kaynaklar (nonpreemptable resources)
Process’ler tarafından ardıl biçimde kullanılması zorunlu olan birimler bölüşülemez kaynakları (nonpreemptable resources) oluşturur. Bu kaynaklar istem üzerine aynı anda en çok bir process’e atanan, sınırlı (sonsuz olmayan) bir süre sonunda serbest bırakılan ve başka bir process’in kullanımına verilen kaynaklardır. Bölüşülemez kaynakların kullanımları sona ermeden bir process’den geri alınarak diğer bir process’e atamaları yapılamaz.

25 Bölüşülemez kaynaklar (nonpreemptable resources)
Örneğin, bir process CD yazıcıyı kullanıyorsa CD yazıcının kullanan process’in elinden alınması oluşan CD nin bozulmasına yol açar. CD yazıcı bölüşülemez bir kaynaktır. Örneğin; yazıcı (printer) bir yazma işlemindeyken, işletim sistemi yazıcıyı bu process’den alıp başka bir process’e veremeyeceği için yazıcı bölüşülemez bir kaynaktır. Bölüşülemez kaynaklara birden fazla process tarafından eşzamanlı erişim yapılamaz (Semafor veya mutex lock ile engellenir).

26 Bölüşülemez kaynaklar (nonpreemptable resources)
Bu kaynaklarla ilgili kilitlenmeler, bu türdeki kaynakları paylaşan belirli sayıda processle sınırlı kalır. Process’lere atanan kaynakların, process’ler istemedikçe alınamaması kilitlenmeleri oluşturan bir koşuldur. Atanan kaynakların, process’lerin istemleri dışında da sistemce geri alınmasının sağlanması, kilitlenmelerden korunmada akla gelen bir yöntem olabilir. Ancak bu yöntem bölüşülemez kaynaklar için uygulanamaz.

27 Kilitlenme için Gerekli Koşullar (Conditions for Deadlock)
Processler arasında kilitlenme aşağıdaki koşullarda ortaya çıkabilir. 1. Karşılıklı dışlama durumu (mutual exclusion condition) 2. Sahiplenme ve bekleme durumu (hold and wait condition) 3. Bölüşülemez-Geri alınamaz kaynak durumu (no preemption condition) Döngüsel bekleme durumu (circular wait condition) Aslında dördüncü koşul, ilk üçün koşulun potansiyel bir sonucudur.

28 Kilitlenme için Gerekli Koşullar
Bu koşulların tamamının aynı anda bulunması kilitlenmeyi oluşturur. Bu dört koşul aynı anda gerçekleşmezse kilitlenme durumu oluşmaz. Kilitlenmeleri önlemek üzere bu koşullardan en az birinin oluşmasını engellemek yeterlidir.

29 1. Karşılıklı dışlama (mutual exclusion-mutex):
Kilitlenmeleri önlemek için process’lerin karşılıklı dışlama davranışları içinde bulunmaları durumu. İki process veya thread’ın birbirinden bağımsız çalışmasını, aynı anda bir işlemi yapmamasının istendiği durumlarda karşılıklı dışlama özelliği kullanılabilir. İki adet birbirine paralel ilerleyen process için aynı anda bir kaynağa erişme veya birbirleri için kritik olan işlemler yapma ihtimali her zaman bulunur. (iki ayrı process’in paylaşılan bir dosyaya aynı anda yazmaya çalışması gibi) Bir kaynağın aynı anda yalnız bir process tarafından kullanılabilmesi (aynı anda bölüşülememesi) durumudur.

30 2. Sahiplenme ve bekleme (hold and wait):
Bir process en azından bir kaynağı elinde tutmalı ve diğer process’ler tarafından tutulan ek bir kaynağa gereksinim duymalıdır. Yani bir process bir kaynağa sahipken başka bir kaynak talebinde bulunduğu durumdur. Talep edilen kaynak ise başka bir process tarafından kullanılır durumdadır.

31 3. Bölüşülemez-geri alınamaz kaynak (no preemption):
Bir process’e atanan kaynaklar, işletim sistemi tarafından process’in kendi isteği dışında elinden alınamıyorsa. Bir process’e atanan kaynakların yalnız bu process tarafından özgür bırakılması, işletim sisteminin bu kaynaklara kullanımda iken el koyamaması durumudur. Bir kaynak, kendisini kullanan bir process’i bırakamaz. Ancak, process görevini tamamladıktan sonra gönüllü olarak bırakılabilir. Bu yüzden bölüşülemez kaynakların beklenmesi kilitlenmeye sebep olur. İşletim aşamasında kullanılan kaynakları gerektiğinde tekrar geri alan bir atama yönetimi uygulamak çoğu fiziksel kaynak için olanaksızdır.

32 4. Döngüsel bekleme (circular waiting):
Process’lerin gereksinim duyduğu kaynakları, karşılıklı olarak birbirlerinden beklemesi durumudur. Bir process’in elinde tuttuğu kaynaklardan bir yada daha çoğunun, bu process ile aynı döngüsel işletim zinciri içinde yer alan diğer process’ler tarafından istenmesi. İki veya daha fazla process zincir şeklinde kendinden önceki process’e ait olan kaynağı bekler. Kilitlenme tam iki process ile olmak zorunda değildir. Döngüsel olarak birbirini bekleyen en az iki process’le kilitlenme ortaya çıkar. {P0, P1, ..., Pn} processleri birbirini beklemektedir. P0 process’i P1’i, P1 process’i P2’yi, ..., Pn process’i de P0’ı beklemektedir. Bu yüzden, kilitlenme varsa mutlaka döngüsel bir bekleme vardır; ancak döngüsel bekleme varsa mutlaka kilitlenme olur denilemez, çünkü bir kaynağın birden çok örneği varsa, bu örnekler farklı process’ler tarafından kullanılabilir ve döngü olmasına rağmen kilitlenme oluşmaz.

33 Kilitlenme yönetimi için metotlar
Kilitlenme problemi için 3 farklı yol izlenebilir: Kilitlenmelerden kaçınmak için protokol kullanılabilir. Sistem hiçbir zaman deadlock durumuna düşmez. Sistemin kilitlenme durumuna düşmesine izin verilir, kilitlenme algılanır ve çözülür. Kilitlenme problemi tamamen gözardı edilir ve sistemde kilitlenme hiçbir zaman olmayacak gibi davranılır. Üçüncü durum işletim sistemleri tarafından yaygın kullanılır (Linux, Windows). Linux ve Windows işletim sistemleri, kilitlenme (deadlock) yönetimini uygulama geliştiricilere bırakır.

34 Kilitlenme ile başa çıkmak
Kilitlenme ile başa çıkmak için üç genel yaklaşım mevcuttur. Kilitlenmeyi Önleme (Deadlock Prevention) Kilitlenmeden Kaçınma (Deadlock Avoidance) Kilitlenmeyi Algılama (Deadlock Detection)

35 Kilitlenme ile başa çıkmak
Bir sistemde hiçbir zaman kilitlenme olmamasını garanti etmek için, kilitlenmeyi önleme (deadlock prevention) veya kilitlenmeden kaçınma (deadlock avoidance) yöntemleri kullanılabilir. Bir sistem, kilitlenmeyi önleme veya kilitlenmeden kaçınma yöntemlerini kullanmazsa kilitlenme oluşabilir. Bu sistemler, kilitlenme olup olmadığını kontrol eden bir algoritma ve kilitlenme oluştuğunda çözümünü sağlayan bir algoritma sağlamalıdır.

36 1. Kilitlenmeyi önleme (Deadlock Prevention)
Kilitlenmeye yol açan koşullardan birini (koşul 1 ila 4) ortadan kaldıran bir politika benimseyerek kilitlenme önlenebilir. Kilitlenme önleme stratejisi, bir sistemi, kilitlenme ihtimalini ortadan kaldıracak şekilde tasarlamaktır.

37 1. Kilitlenmeyi önleme (Deadlock Prevention)
Kilitlenmeyi önlemenin dolaylı bir yöntemi, daha önce listelenen üç zorunlu koşuldan (koşul 1 ila 3) birinin oluşmasını önlemektir. Kilitlenmeyi önlemenin doğrudan bir yöntemi ise döngüsel beklemenin oluşumunu önlemektir (koşul 4). Kilitlenmeyi önleme (Deadlock Prevention), kaynak isteklerini sınırlandırarak kilitlenme oluşmasını önler.

38 2. Kilitlenmeden kaçınma (Deadlock-avoidance)
Çoğu sistemde, kaynakların her biri birer birer talep edilir. Sistem, bir kaynağın verilmesinin güvenli olup olmadığına karar verebilmeli ve güvende olduğunda kaynak tahsisatı yapabilmelidir.

39 2. Kilitlenmeden kaçınma (Deadlock-avoidance)
Her zaman doğru seçimi yaparak kilitlenmeyi önleyebilecek bir algoritma var mı? Cevap, evettir - kilitlenmelerden kaçınılabilir, ancak yalnızca belirli bilgiler önceden mevcutsa. Kilitlenme oluşturabilecek process’lerin başlatılmasını engellemek için Banker’s algoritması kullanılmaktadır.

40 2. Kilitlenmeden kaçınma (Deadlock-avoidance)
Banker’s Algoritması Dijkstra tarafından önerilmiştir; Belli bir sermayeye sahip bir bankerin iflas etmeden müşterilerine kredi imkanı tanıması esastır. Müşterinin tüm gereksinim duyduğu krediyi almadan, geri ödeme garantisi yoktur. Şayet bir miktar kredi talep edildiğinde diğer müşterilerin ihtiyaçlarının karşılanamaması riski varsa kredi verilmemektedir. Sistemin içinde bulunabileceği iki durum vardır; güvenli ve güvenli olmayan durum.

41 Banker’s Algoritması Bu algoritma kullanılarak process’ler için güvenli şekilde çalışabilecek bir sıra bulunursa kilitlenme olmaz demektir. Güvenli durumda, tüm process’lerin kilitlenme oluşturmayacak şekilde sonlanmasına olanak veren bir işletim şekli mevcuttur. Böyle bir işletim şekli yoksa güvenli olmayan durumdur. Eğer güvenli bir yol yok ise kilitlenme oluşabilir demektir.

42 Banker’s Algoritması Banker’s algoritması yönteminde;
Kaynaklar (Resources) - (R) Boşta bulunan kaynaklar (Available) - (V) İstekler (Max) - (C) Atanmalar (Allocation) - (A) hakkında bilgi sahibi olunması gerekir. Tüm isteklerden (C), atanan kaynaklar (A) çıkarıldığı zaman geriye kalan istek (Need) sayıları (Q) bulunabilir. Q = C – A

43 Banker’s Algoritması Örnek :
Aşağıda verilen bilgileri ve Banker’s algoritmasını kullanarak sistemin güvenli olup olmadığına karar veriniz.

44 Banker’s Algoritması İlk olarak process’lerin geriye kalan isteklerini (Q) hesaplamak gerekir.

45 Banker’s Algoritması Daha sonra geriye kalan istekler (Q) ve boştaki kaynaklar (V) kontrol edilerek çalışabilecek bir process var mı bulunması gerekir. Bu noktada P2 process’inin sadece R3 kaynağına ihtiyacı vardır.

46 Banker’s Algoritması P2 process’i istediği tüm kaynaklara sahip olduğundan, işlemini yapıp bitecek ve sonra da kullandığı tüm kaynakları serbest bırakacaktır.

47 Banker’s Algoritması Bu durumda 3 process’den herhangi biri için yetecek kadar kaynak bulunmaktadır. P1, P3 ve P4 process’lerinden bir tanesi çalışmaya başlayabilir. Sıra ile gidilecek olursa P1 kaynakları kullanıp çalışmaya başlayabilir.

48 Banker’s Algoritması P1’in ardından P3 çalışabilir.

49 Banker’s Algoritması Son olarak da P4 process’i çalışabilir.
Böylece process’ler P2, P1, P3 ve P4 sırası ile güvenli bir şekilde çalışabilir. Kilitlenme yoktur.

50 Örnek : Aşağıda verilen bilgileri kullanarak Banker’s algoritmasını kullanarak sistemin güvenli olup olmadığına karar veriniz.

51 Bu durumda, boştaki kaynakları kullanarak hiçbir process çalışmaya başlayamaz.
Güvenli bir durum yoktur ve kilitlenme olabilir. Bu yöntemde güvenli bir durum oluşmadığı ve kilitlenme olabilir kaygısı ile kaynakların process’lere atanması kısıtlanır.

52 Ödev : Aşağıda verilen bilgileri ve Banker’s algoritmasını kullanarak sistemin güvenli olup olmadığına karar veriniz. R1 R2 R3 P1 7 5 3 P2 2 P3 9 P4 P5 4 R1 R2 R3 P1 1 P2 2 P3 3 P4 P5 R1 R2 R3 P1 7 4 3 P2 1 2 P3 6 P4 P5 İstekler (Request) Atamalar (Allocation) Geriye kalan istekler (Need) R1 R2 R3 10 5 7 R1 R2 R3 10 5 7 Kaynaklar (Resources) Boştaki kaynaklar (Available)

53 3. Kilitlenme Bulma (Deadlock Detection)
Kilitlenme bulma yöntemlerinde kaynakların process’lere atanması kısıtlanmaz. İstekte bulunan process’lere boşta bulunan kaynaklar atanabilir. Yöntem aşağıdaki gibidir: 1. Atananlar (A) matrisinde tamamı 0 (sıfır) olan satırlar işaretlenmelidir. 2. W adında geçici bir vektör tanımlayıp, boştaki kaynaklar (V) vektörüne eşitlenmelidir (W=V). 3. Process’lerin işaretlenmemiş satırlarındaki geriye kalan isteklerine (Q) bakılmalı, eğer istekler W vektöründen büyükse algoritma durdurulmalıdır, çünkü kilitlenme vardır. eğer W vektöründen küçükse, bu process’in satırı işaretlenmeli ve atananlar matrisindeki satır W vektörüne eklenmelidir, ardından 3. adıma dönülmelidir.

54 3. Kilitlenme Bulma (Deadlock Detection)
Örnek : Aşağıdaki bilgileri kullanarak kilitlenme (deadlock) olup olmadığına karar veriniz.

55 3. Kilitlenme Bulma (Deadlock Detection)
İlk olarak atanmalar (A) matrisinde tamamı 0 olan satırlar bulunup işaretlenmelidir.

56 3. Kilitlenme Bulma (Deadlock Detection)
Daha sonra geçici W vektörünü tanımlanıp boştaki kaynaklar vektörüne (V) eşitlenmelidir (W=V).

57 3. Kilitlenme Bulma (Deadlock Detection)
Geriye kalan istekler (Q) matrisindeki satırlar W vektörü ile karşılaştırılmalıdır. Eşit veya küçük olan satıra sahip process’in atanmalar satırı W vektörüne eklenmeli ve işaretlenmelidir.

58 3. Kilitlenme Bulma (Deadlock Detection)
Yine Q matrisinin satırları ile W vektörü karşılaştırılmalıdır. Bu durumda W vektöründen daha küçük Q satırı yoktur. P1 ile P2 işaretlenmediği için bu iki process’in kilitlendiği bulunmuştur.