OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır.

... konulu sunumlar: "OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır."— Sunum transkripti:

1 OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilen örneklerin şansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi ve bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla karşılaşılmasıdır. Olasılık, herhangi bir deneyin sonucunda gözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıkla karşılaşılacağı bir başka ifadeyle ortaya çıkan olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir.

2 Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.
17 yy.’da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur. Örnekler: Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı, Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en az birinin papaz olma olasılığı, Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı.???

3 Temel Tanımlar ve Kavramlar-
Olay: Birden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur. Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu asal sayı gelmesi, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan 2 top çekildiğinde birinin sarı birinin lacivert olması.

4 Örnek Uzayı: Bir deneyin sonucunda elde edilen tüm mümkün basit olaylarının oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile tanımlanır. Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu elde edilen örnek uzayı; x: zarın üst yüzünde gelen sayı S = { x; x = 1,2,3,4,5,6 }

5 Temel Tanımlar ve Kavramlar
Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan eylem, gözlem ya da süreçtir. Örnek: madeni para atılması, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir top çekilmesi. Basit Olay: Tek bir deneyde tek bir sonuç olarak gerçekleşen olaylardır. Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu 2 gelmesi, bir deste iskambil kağıdından çekilen kağıdın maça as olması.P(A)

6 Bileşik olay:İki veya daha çok olayın birlikte veya birbiri ardına meydana gelmesine denir.
P(A1 ve A2) İki zar atılır ve 4 gelmesi Bir zar arka arkaya iki defa atılır .Her iki atışta da 4 gelmesi. 52 lik desteden as ve aynı zamanda karo gelmesi.

7 Temel Tanımlar ve Kavramlar
Ayrık (bağdaşmaz) olay: Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık(birbirini engelleyen) olaylar denir Örnek: Madeni para atılması sonucunda yazı veya tura gelmesi ayrık olaylardır. Bir sınavda geçilir veya kalınır.

8 Bağdaşır olay:Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasını engellemiyorsa iki veya daha çok olay birlikte meydana gelebiliyorsa bağdaşır olaydır. Zarın atılması sonucu 1 ve tek sayı gelmesi. Çünkü aynı anda gerçekleşebilirler. 52 lik desteden çekilen kartın maça olması kız olmasını engellemez.

9 Bağımsız olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasından ilişkisiz ise
Ailede birinci çocuğun erkek olması ikincisinin de erkek olacağı anlamına gelmez. Bağımlı olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasını etkiliyorsa 52 lik bir desteden iadesiz arka arkaya iki kart çekiliyor. Kart sayısı önce 52 sonra 51. 6 beyaz, 8 kırmızı top var. 3 top çekiliyor İade edilirse bağımsız, iade edilmezse bağımlı olaydır.

10 Eşit Olasılıklı Olaylar: Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılığı eşit ise bu olaylara eşit olasılıklı olaylar denir. Örnek: Bir deste iskambil kağıdından bir adet kağıt çekilmesi.

11 Olasılığın İki Temel Kuralı;
1) Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır. 2) Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılıklarının toplamı 1’e eşittir. DİKKAT!!!! Hiç bir olayın OLASILIĞI 1’den büyük olamaz!!!! Bir A olayın ortaya çıkma olasılığı; P(A) şeklinde gösterilir.

12 Olasılığın Gelişim Aşamaları
Klasik (A Priori) Olasılık Frekans (A Posteriori) Olasılığı Aksiyom Olasılığı NOT:Bu sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır.

13 Klasik Olasılık Eğer bir örnek uzayı n(S) adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit olaylardan n(A) adedi A olayının özelliğine sahip ise A’nın olasılığı: P(A) = n(A) / n(S) kesri ile elde edilir n(S): Örnek uzayı eleman sayısı n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı Klasik olasılık TÜMDENGELİME dayanan çıkarımlar yaparak olasılığı bulur.

14 A: Çekilen bir bilyenin sarı olması
Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir? A: Çekilen bir bilyenin sarı olması n(S): Örnek uzayı eleman sayısı = 15 n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5

15 P(A) = n(A) / n olarak bulunur.
Frekans Olasılığı Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(A) defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı): P(A) = n(A) / n olarak bulunur.

16 Örnek: Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir? Önce örnek uzayı oluşturulur: S={sağlam,hatalı} Klasik olasılığa göre (eşit olasılıklı olaylar) p=0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir. Yapılması gereken örneklem alarak p = n(H) / n olasılığını hesaplamaktır.

17 Bazı Temel Olasılık Aksiyomları
Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır. Örneğin bir para atıldığında yazı gelme olasılığı 0.5 dir. Bir örnek uzayındaki tüm sonuçların olasılıklarının toplamı 1 e eşittir. Örnek: İki para atılma olayında örnek uzayı: Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır. Örneğin bir para atıldığında yazı gelme olasılığı 0.5 dir. Bir örnek uzayındaki tüm sonuçların olasılıklarının toplamı 1 e eşittir. Örnek: İki para atılma olayında örnek uzayı: Her sonucun gelme olasılığı ¼ dür. 4 sonuç olduğuna göre ¼+1/4+1/4+1/4=1. Her sonucun gelme olasılığı ¼ dür. 4 sonuç olduğuna göre ¼+1/4+1/4+1/4=1. P(S)=1 örnek uzağının olasığı 1 dir. P (  ) = 0 boş kümenin olasılığı sıfırdır. A olayının tümleyeni olarak gösterilir. P(S)=1 örnek uzağının olasığı 1 dir. P (  ) = 0 boş kümenin olasılığı sıfırdır. A olayının tümleyeni olarak gösterilir.

18 Örnek Uzayı ve Olay Sayısını Belirleyen Sayma Yöntemleri
Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda: Örnek uzayının eleman sayısı, İlgilenilen olayın eleman sayısının belirlenmesi gereklidir. Kullanılan iki temel prensip; 1) Toplama Yöntemi 2) Çarpma Yöntemi

19 Bağımlı olayda çarpma kuralı:
Bağımlı iki olaydan A2 olayı A1 olayından sonra ortaya çıktığında olayların birlikte gerçekleşme olasılığıdır. A2 nin şartlı olasılığı 8 boş 2 ikramiyeli bilet var. Bir kişi 2 bilet almış her iki biletinde ikramiye kazanma olasılığı nedir? 1.bilet: P(A1)=2/10 Geriye 8 boş ve 1 ikramiyeli bilet kaldı.

20 Bağımsız olayda çarpma kuralı:
Birbirinden bağımsız A1 ve A2 olaylarının birlikte gerçekleşmesi olasılığı bu olayların basit olasılıklarının çarpımına eşittir. Aynı anda atılan iki zarın ikisinin de 2 gelmesi Alinin 25 yıl sonra hayatta olması olasılığının 0.60, kardeşli Hasan’ın 25 yıl sonra hayatta olması olması olasılığının 0.50 olduğunu varsayarsak 25 yıl sonra ikisinin de hayatta olma olasılığı nedir.

21 Bağdaşır olayda toplama kuralı:
İki olay bağdaşır olduğunda A1 olayının veya A2 olayının ortaya çıkması, ya A1 olayının ya A2 olayının ya da A1 ve A2 olaylarının her ikisinin birlikte gerçekleşmesi anlamına gelir. 52 lik bir desteden bir kız veya bir maça çekme olasılığı nedir?

22 Bağdaşmaz olaylarda toplama kuralı:
A1 ve A2 bağdaşmaz olaylar ise A1 veya A2 olayının ortaya çıkması olasılığı Bir zarın 2 veya 6 gelmesi olasılığı nedir?

23 Şartlı Olasılık Bağımlı olaylardan birinin (A1) gerçekleştiği bilindiğine göre , diğerine (A2) bağlı meydana olasılığıdır. A2 nin A1 e bağlı şartlı olasılığı. A1 in gerçekleşmiş olması şartıyla A2nin gerçekleşme olasılığıdır.

24 Bir öğrencinin iktisat dersinde başarılı olma olasılığı P(A1)=0. 25
Bir öğrencinin iktisat dersinde başarılı olma olasılığı P(A1)=0.25. Aynı öğrencinin hem iktisat hem Matematikte başarılı olma olasılığı P(A1 ve A2)=0.15. Öğrencinin İktisatta başarılı olması şartıyla Matematikte de başarılı olma olasılığı nedir?

25 Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70’i tiyatroya, % 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır.
a) Bir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgi duyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma olasılığı nedir? b) Bir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir? T:Tiyatroya ilgi duyma S:Sinemaya ilgi duyma P ( T ) = 0, P( S ) = 0,35 a) P ( T / S ) = 0,40 P (T ∩ S ) =? b)

26 Bayes Teoremi Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir. Ele alınan örnekte depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk çıkması halinde 1.fabrikadan gelmesinin olasılığı araştırıldığında Bayes Teoremine ihtiyaç duyulmaktadır.

27 Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir. 1
Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir. 1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı; A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı Bi= Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi (0.50)

28 Pr{X=x} Kesikli Şans Değişkenlerinin Olasılık Fonksiyonları
X, şans değişkeni ve x1,x2,..,xn bu tesadüfi değişkenin alabileceği değerler olsun X tesadüfi değişkeninin herhangi bir x değerini alma olasılığı Pr{X=x} şeklinde gösterilir. Bu olasılık X in dağılım ya da olasılık kanunu diye adlandırılır. Kesikli X değişkeninin hangi değerleri hangi olasılıklarla alacağını gösteren fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. Bir dağılımın kesikli olasılık fonksiyonu olabilmesi için 1. P(x) , tüm x değerleri için 2. şartlarını sağlaması gerekir.

29 Sürekli Şans Değişkenlerinin Olasılık Fonksiyonları
Sürekli değişkenlerdeki olasılık fonksiyonuna sürekli olasılık fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonu, veya sadece yoğunluk fonksiyonu denir. Sürekli bir şans değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) ile gösterilir. Herhangi bir fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için; X’in tanım aralığı için f(xi) ≥ 0 , şartlarını sağlaması gereklidir.