TANRI MATEMATİKÇİ Mİ? Mario LIVIO.

... konulu sunumlar: "TANRI MATEMATİKÇİ Mİ? Mario LIVIO."— Sunum transkripti:

1 TANRI MATEMATİKÇİ Mİ? Mario LIVIO

2 GEOMETRİCİLER, GELECEK ŞOKU
Yazar Alvin Tofler ‘Gelecek Şoku’ adlı kitabında başlıgında gecen kavramı ‘ çok kısa zamanda çok fazla değişime maruz kalan insanların yaşadıgı yıkıcı stres ve şok’ diye tanımlamış.19 yy matematikçileri de aynen böyle bir şok yaşamış. Matematiksel gerceklerin degişmez oldugu inancı degişmiştir ÖKLİDÇİ ‘ GERÇEK’ 19yy başlarına kadar Öklid geometrisi gerçek ve güvenilirliğin zirvesindeki tek bir bilim olarak görülmekteydi.Yani Öklid geonmetrisi okulda ögrenilen geleneksel geometridir.

3 Çogu bilim insanı Öklid geometrisindeki şekilleri gerçek,yeni fiziksel şekillerin soyut temsilcileri olarak görüyordu. Davit Hume bilginin temelinin belirsiz oldugunu iddea etmiş deneyci felsefe savunucularından olmuştur.Bilginin gözlemden kaynaklandığını insana da, geometri ve ileri sürdügü ‘gercekler’ ayrıcalıklı bir statüye sahipti. Alman filozof İmmanuel Kant , Hume ile pek çok konuda aynı fikirdedir. Kant ‘a göre Öklid geometrisi gecerliliği sorgulanmayacak kadar mutlak bir gercekti.

4 ‘ Saf Aklın Eleştirisi’ adlı eserinde zihni işleyen ve üreten, bilinen evreni yorumlayan aktif bir konuma yükseltmiştir. Ne bildiğimizi degil, nasıl bildigimizi sorgular.Ayrıca Kant, eger bir cismi algılıyorsak, o zaman bu cisim mutlaka uzamsal ve Öklidyen olması gerektiğini düşünmüş. Kant ve Hume ‘nin fikirleri birbirinden farklı ve önemli iki özelliği ön plana çıkarır. İlki , Öklid geometrisi fiziksel mekanın tek dogru tanımı ilan ediyordu.ikincisi ise Öklid geometrisi saglam, güvenilir ve hatasız bir tümden gelim mantıgı ile özdeşmesidir. Bu iki özelliğin dogru oldugu varsayılıp evrendeki hakikatlerın gercek olduguna ikna eden en güçlü delildir.

5 Öklid geometrisinin temelleri İskenderiyeli Öklid tarafından atılış ELEMENTLER adlı 13 ciltlik eserinde Öklid geometriyi saglam bir mantık üzerine oturtmaya çalışmış. Tartışımaz oldugu varsayılan 10 aksiyomuyla mantıksal çıkarımlarda bulunarak bir çok önermeyi kanıtlamaya çalışmış. İlk 4 aksiyom son derece kısa ve özdür. Diğer aksiyomları sadelikten uzaktır. 5’inci aksiyomundan memnun kalmayıp ELEMENTER ‘deki 28 önermenin ispatında adı bile gecmemiş. İskocyalı matematikçi Jhon Playfair’ in adıyla ‘ playfair aksiyomu ‘ olan 5’inci aksiyomu yazmak istemiş.Ama Öklid’in orijinal 5’inci aksiyomuyla aynı şeyi ifade etmektedir.

6 ‘bir dogrunun dışında ki bir noktadan, o dogruya parelel sadece bir dogru gecebilir’ (playfair) N D 5 ‘inci aksiyomunun açıklamaya çalışılmasında ki çabaların boşa çıkmasıyla 5’inci aksiyom hatalı olabilir miydi? Sorusu sorulmaya başlandı.19yy da ‘ Öklid‘in 5’inci aksiyomundan farklı bir aksiyom secerek insan yeni geometri türleri yaratabilirdi. Buradaki secenek kavramına dikkat etmek gerekirse, Öklid geometrisi tek ve mutlak bilgi olarak tanımlanmıştı. Fakat insanların başlıca aksiyomlar seçebilecegi fikri teoremi alt üst etmiştir.

7 Eyer şeklindeki eğri bir düzlem üzerine yepyeni bir geometri türü inşa eden ve bunun üzerine devasa bir tez yayımlayan ilk kişi Rus matematikçi Nikolai İvanoviç Lobaçevski. Günümüz geometri türünde hiberbolik geometri olarak bilinen bu geometri türünde , Öklid’in 5.inci önermesi yeri şu önermeye bırakıyordu: bir doğrunun dışında ki bir noktadan birden çok sayıda paralel geçebilir. Öklid ile Lobaçevski arasındaki diğer önemli fark da şuydu: Öklid geometrisinde bir üçgenin iç açılarını toplamı daima 180 dereceye eşitken ,diğerlerinde 180 dereceden küçüktü.

8 Gauss ‘un ögrencilerinden biri olan Riemann , hiberbolik geometrinin Öklid dışı tek geometri olmadıgını, başka geometrik şekillerin de bulundugunu kanıtlayınca, Öklid geometrisinin önemi kayboldu. Riemann Öklid dışı geometri kavramını bir adım daha ileri taşıyarak egri mekanlar için üç dört hatta daha fazla boyutu olan geometri geliştirmişti. Riemann üzerinde durdugu kavramlardan biride kavisti yani egri bir yüzeyin egim derecesi. Örnegin; bir yumurta kabugunun yüzeyi göbek çevresinde daha yumuşak bir kavis çizerken sivri olan ucunda daha belirgin bir kavis çizer. Riemann kaç boyutlu olursa olsun her türlü mekan için dogru matematiksel tanım geliştirmeyi başarmıştı. Kaç desenli olursa olsun tüm denklemlerin geometrik bir karşılıgı vardı.

9 Mekan,sayılar ve insanlar
Öklid geometrisinin tarihsel gücü gercek mekanın tanımı olarak görülmesinden ileri gelirken Öklid dışı geometriler başlangıçta fiziksel gerçeklikle tamamen alakasız olarak kabul edilmiş. Bir cok matematikçi Öklid dışı geometrileri Öklid geometrisinin zavallı kuzenleri olarak görmüştür Bazı matematikçiler geometrinin temellerini gecerli bir zemine oturtmak için pragmatik bir yaklaşım benimsemiştir.Mutlak gerçek olarak gördüğünün ama güvenilir olmadıgını tecrübeye dayalı oldugunu fark edince aritmetikten medet ummaya başlamıştır.

10 Descartes’in kesme analitik geometrisindeki düzlemdeki noktalar bi sayı çiftiyle, daire ise bir denklem oluşturan sayı çiftiyle ifade ediliyordu. Yüzyıllar boyunca matematik evrenin dili olarak görülmüş v matematikçiler matematiğin daha çok soyut olan platonik formlarıyla gercek fiziksel ögelerin ideal hali olarak yorumlanıyordu. Keyfi sayıda boyut içeren n-boyutlu geometri alanındaki çalışmaları H.G.Grassmann yapmıştır. Grassmann için matematik insan beyninin soyut bir tasarımıydı ve illede gercek dünyaya uygulaması gerekmiyordu. Grassmann ‘ın oldukça basit görünen formülü; AB+BC=AC

11 Burada Grassmann ilginç bir nokta tespit etmiş AB yada BC ‘yi sadece uzunluk olarak ele almayıp BA=-AB ‘de oldugu gibiydi ‘yön’ faktörünü de işin içine kattığımız sürece A,B,C noktalarının sıralaması ne olursa olsun, bu formüll gecerliliğini koruyor. C,A ile B arasında ise; o zaman AB=AC+CB ‘dir. Fakat CB=-BC oldugundan , AB= AC-BC sonucuna ulaşırız orijinal formülümüz olan AB+BC=AC ‘ye iki tarafa da BC ekleyerek saglayabiliriz. A B C A C B

12 Ayrıca geometri yerine cebirle ugraşıyor olsaydık, o zaman AB ifadesi ,A B çarpımına işaret edecektir.BA=-AB aritmetik kanunu ihmal edilmiş olacaktı. Eskiden matematiğin amacı tabiatla ilgili gercekleri araştırmakı. Fakat bu hedef artık degişmiş aksiyomlardan oluşan sistemler kurmak ve bu aksiyomların mantıksal tüm sonuçlarına ulaşmak olup çıkmıştı. Fiziksel gerçeklikten uzaklaşmak bazı matematikçilerde ters etki yaratmıştır. Platoncu görüşe göre dünyanın varlığı en az fiziksel evren kadar gercekti.

13 Mantık ve Matematik Bilinen anlamıyla mantık, kavramlarla önermeler arasındaki ilişkiyle ilğilenir ve bu ilişkilerden gecerli sonuçlar çıkarmamızı saglayan adımlara odaklanır işte size basit bir çıkarım örnegi: ‘ Her X bir Y dir; Bazı Z ‘ler X ‘tir; dolayısıyla bazı Z’ler Y dir. Bu genel matık önermesinde amaç , sonuç önermesinin dogrulugun otomatik olarak garanti altına almaktır. Örnegin ’ her biyografi yazarı bir yazardır; bazı politikacılar biyografi yazar; dolayısıyla bazı politikacılar yazardır.’ önermesi dogru bir çıkarımdır.

14 X , Y, Z matematik denklemlerindeki degişkenlere çok benzer nasıl ki cebirde bu değişkenlerin yerine sayısal degerler koyuyorsak mantıkta da cümleler koyarız. ’Eger p yada q dan biriyse ve q degilse o zaman p’dir.’ çıkarımının ifade ettiği gerçek aslında bize Öklid geometrisindeki aksiyomlardn kalan bir yadigardır. Yine de matematikçilerin bu benzerliği fark edip üzerinde ciddi ciddi çalışmaya başlaması için nerdeyse 2000 yıl geçmesi gerekmiştir. Mantık ve matematiği birleştirip tek bir ‘ evrensel matematik ‘ çatısı altında toplamaya teşebbüs eden ilk kişi, Alman matematilçi ve rasyonalist düşünür Gottfried Wilhelm Leibniz .

15 Leibniz boş zamnlarını daha çok matematik, fizk, felsefe ile geçirmiş ve bu alanlarda eserler vermiştir. Mantığın ragbet gören bir disipline dönüşmesi ise ancak 19 yy ortasında olacaktı.Önce Augustus De Morgan, daha sonra George Beoole, Giuseppe Peano gibi isimler önemli çalışmara imza atacaktır. Düşüncenin Kanunları Beoole mantık baglaçlarını matematiksel olarak terbiye eden adamdı. Ve , yada, eger, öyleyse ve degilse gibi baglantılara yepyeni bir anlam kazandırmıştır ki bu sihirli kelimeler bugün bilgisayr programcılıgının ve bir çok anahtar devresinin kalbidir. Hatta öyle ki Beoole bir çokları tarafından dijital çagın peygamberlerinden biri olarak nitelenir.

16 Frege aksiyomların anlamlarına çok önem verse formalizmin en önemli savunucusu olan büyük Alman matematikçi Davit Hilbelt matematik formüllerin yoruma kapalı oldugunu düşünüyordu Hilbelt mantık temelinden yola çıkarak matematiğe ulaşılabilir mi? Gibi sorularla ilgilenmez ona göre matematik, anlamdan soyutlanmış formüllerden oluşuyordu ve bu formüller, rasgele seçilmiş sembollerin oluşturdugu şablonlardı.

17 Eger mantıkçıların çabaları sonuç verseydi ne olurdu ?
Matematiğin tamamen mantıktan ileri geldiği yani düşüncenin kanunlarından ortaya cıktıgı anlamına gelirdi bu soruları cevaplamaya kalkışmadan önce, biraz daha kurcalamak ve matematiğin sahip oldugu mucizevi etkinliğin derinlikleirni gösteren birkaç saha çalışmasına göz atmak da fayda var.

18 MATEMATİK FELSEFESİ FADİME AYGÖREN 4/B (sayfa : )