ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

... konulu sunumlar: "ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR"— Sunum transkripti:

1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PARÇALI FONKSİYONLAR PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ MUTLAK DEĞER FONKSİYONU MUTLAK DEĞER FONKSİYONU GRAFİKLERİ İŞARET FONKSİYONU İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ TAM KISIM FONKSİYONU TAM KISIM FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

2 PARÇALI FONKSİYONLAR TANIM:
Tanım aralığının alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonlara, parçalı fonksiyonlar denir. ÖRNEK: f:R R, f(x) = f1(x) , x1  x  x2 f2(x) , x  x1 v x  x2 ise fonksiyonu parçalı bir fonksiyon olup x = x1, ve x = x2 noktaları tanım aralıklarının uç noktalarıdır ve bu noktalara fonksiyonun kritik noktaları denir.

3 PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken, tanım aralığının her alt aralığındaki farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonların grafikleri ayrı ayrı çizilerek grafik belirlenir. ÖRNEK : f: R R , f (x) = x2 + 2x , x < 1 ise , x = 1 ise -x , x > 1 ise fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

4 1. y = x2 + 2x parabolünün (-, 1) aralığına karşılık gelen kısmı
ÇÖZÜM : 1. y = x2 + 2x parabolünün (-, 1) aralığına karşılık gelen kısmı çizilir. 2. ( 1,0 ) noktası işaretlenir. 3. y = - x + 2 doğrusunun (1, + ) aralığına karşılık gelen kısmı alınır. Böylece f parçalı fonksiyonunun grafiği çizilmiş olur. 3 2 1 -1 -2

5 MUTLAK DEĞER FONKSİYONU
TANIM : A  R , B  R olmak üzere f : A  B ye = f (x) = f(x) = -f (x) , f(x)  0 ise f (x) , f(x)  0 ise Şeklinde tanımlı fonksiyona, mutlak değer fonksiyonu denir.

6 ÖZELLİKLER : f(x)   0 olduğundan, f(x)  fonksiyonunun görüntü
kümesi R+  {0} dır. f(x)  de f(x) = 0 denkleminin reel köklerine kritik noktalar denir. f(x)  fonksiyonunun grafiği bu noktalarda kırılma ya da kıvrılma yapar. f(x)  in tanımlanabilmesi için, f (x) in işareti bilinmelidir.

7 MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN
GRAFİKLERİ f : A B, | f | (x) = | f (x) | = f (x), f (x) < 0 ise f (x), f (x)  0 ise dir. Bu tanıma göre mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirken aşağıdaki adımlar izlenir. 1. y = f (x) in grafiği çizilir. (x, f (x) ) noktalarının x eksenine göre simetriği (x , -f (x) ) olduğundan 2. f (x) < 0 olduğu kısımların (x ekseninin altında kalan parçaların ) x eksenine göre simetriği alınır. 3. f (x) 0 olduğu kısımlarda |f (x) | = f(x) olduğundan , fonksiyonun grafiği aynen kalır.Böylece, | f(x) | grafiği çizilmiş olur.

8 f : R R , f (x) = | 4-2x | fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ÖRNEK : f : R R , f (x) = | 4-2x | fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM : Önce mutlak değer içinin işareti incelenir: 4 – 2x = 0  x = 2 4 x y x   4-2x 4-2x , x  2 ise 2x- 4 , 2 < x ise f (x) = | 4- 2x | =

9 İŞARET (SİGNUM) FONKSİYONU : TANIM :
R R , y = f (x) fonksiyonu verilsin ; y = sgn f (x) = -1 , f (x)  0 ise, 0 , f (x) = 0 ise, 1 , f (x) >0 ise, biçiminde tanımlanan fonksiyona, f ‘in işaret (signum) fonksiyonu denir.

10 ÖZELLİKLER : sgn f (x) fonksiyonu sadece –1 , 0 , 1 değerlerini alabilir. O halde sgn f (x) fonksiyonunun görüntü kümesi; {-1,0,1} dir. sgn f (x) in tanımlanabilmesi için f (x) in işareti bilinmelidir. sgn f (x) fonksiyonunda, f (x) = 0 denkleminin köklerine, kritik noktalar denir. İşaret fonksiyonu bu kritik noktalarda sıçrama yapar.

11 ÖRNEK : sgn (x2-3x) = - 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM : x2 – 3x fonksiyonunu negatif yapan değerler kümesi bulunmalıdır. x2- 3x < 0  x (x-3) < 0 x (x-3) = 0  x = 0 v x = 3 x   x2-3x + _ o halde çözüm kümesi Ç = ( 0 , 3 ) bulunur.

12 İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
y = sgn f (x) in grafiği çizilirken aşağıdaki aşamalar izlenir. 1. f (x) fonksiyonunun grafiği çizilir. 2. f (x) fonksiyonunun grafiğinin; x ekseni üstünde kalan kısımlar için, y =1 doğ. çizlr. x ekseni altında kalan kısımlar için, y = -1 doğ. çizlr. x eksenini kestiği noktalar için, y = 0 işaretlenir

13 f : [ - ,  ] R , f (x) = sgn ( sin x) ile tanımlı fonksiyonun
ÖRNEK: f : [ - ,  ] R , f (x) = sgn ( sin x) ile tanımlı fonksiyonun grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM : Fonksiyonla ilgili grafik ve tablo aşağıdaki gibi çizilir. -  1 -1 x y x   sin x f (x)

14 TAM KISIM FONKSİYONU TANIM : [x]
x R olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya, x in tam kısmı denir. Ve bu sembolü ile gösterilir. Yani; [x] a  Z olmak üzere a  x < a+1  = a dır.

15 [ ] [ ] [ ] ÖRNEK : f: R R , f(x) = fonksiyonu veriliyor. f(-1)
görüntüsünü bulunuz. 2x-1 5 [ ] ÇÖZÜM : f(x) =  f (-1) = = = -1 dir. 2x-1 5 [ ] 2(-1) -1 [ ] -3

16 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ÖZELLİKLER : x, y  R , x+y  x + y dir.
[ ] [ ] x, y  R+ , x .y  x y dir. [ ] [ ] x, y  R , x = y ise | x-y | < 1 dir. [ ] [ ] -x = -x , x  Z ise - x , x  R – Z ise

17 TAM KISIM FONKSİYONU GRAFİĞİ [ ] [ ]
f: A  R Z , f (x) = g (x) in grafiğini çizerken şu aşamalar izlenir. [ ] 1. Aralık uzunluğu belirlenir. 2. Tanım aralığı aralık uzunluğuna göre ve uç noktalar aralık uzunluğunun tam katı olacak biçimde bölünür. 3. Her aralıktaki f (x) = g (x) ‘ler belirlenip, grafik çizilir. [ ]

18 [ ] ÖRNEK : f : [-6 , 5] R , f (x) = grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM :
[ ] X 3 ÇÖZÜM : 1. Aralık uzunluğu tür. Buna göre, uç noktalar 3 ün tam sayı katı olacak biçim de tanım aralığı bölünür. 2. [-6 , 5] aralığını bölerek f (x) i parçalı fonksiyon biçimde tanımlayalım.

19 [ ] -6  x  -3  = -2 -3  x  0  = -1 -6 -3 0 0  x  3  = 0
-1 -2 1 -6  x   = -2 -3  x   = -1 0  x   = 0 3  x   = 1 [ ] X 3