Doğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos Neslihan Serap Şengör oda no:1107 tel no:0212 285 3610 Müştak Erhan Yalçın oda no:2304.

... konulu sunumlar: "Doğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos Neslihan Serap Şengör oda no:1107 tel no:0212 285 3610 Müştak Erhan Yalçın oda no:2304."— Sunum transkripti:

1 Doğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos Neslihan Serap Şengör oda no:1107 tel no:0212 285 3610 sengorn@itu.edu.tr Müştak Erhan Yalçın oda no:2304 mail konusu: kaos yalcinmust@itu.edu.tr

2 10 Şubat 2011- 31 Mart 2011 Neslihan Serap Şengör (8 hafta) 2 Ödev % 20 Yarıyıliçi Sınavı 7 Nisan 2011 % 20 14 Nisan 2011- 12 Mayıs 2011 Müştak Erhan Yalçın (5 hafta) 1 Ödev % 20 Yarıyılsonu Sınavı % 40 Doğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos

3 Yararlanılan Kaynaklar  H.K.Khalil, “Nonlinear Systems”, 3 rd Edition, Pearson Education, 2000.  Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.  J. Guckenheimer, P. Holmes, “Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcation of Vector Fields”, Springer-Verlag, 1983.  S. Wiggens, “Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos”, Springer, 2003.  S.H. Strogatz, “Nonlinear Dynamics and Chaos”, Addison-Wesley Pub. Comp., 2000.  E. Ott, “Chaos in Dynamical Systems”, Cambridge University Press, 1993.  P.G. Drazin, “Nonlinear Systems”, Cambridge University Press, 1993.

4 Yararlanılacak Araç http://www.math.pitt.edu/~bard/xpp/whatis.html XPP/XPPAUT Dinamik sistemleri çözmek, durum portreleri, dallanma diyagramlarını elde etmek için kullanılabilecek bir araç B. Ermentrout, “Simulating, Analyzing, and Animating Dynamical systems”, siam,2002.

5 Xppaut Çalıştırmak İçin Gerekenler  Xppaut, “xpp” ve “auto” isimli iki parçadan oluşur. Birbirleri arasında daima geçiş yapabilirsiniz. “auto”, dallanma diyagramını hesaplamak için kullanılır. http://www.math.pitt.edu/~bard/xpp/xpp.html adresinden indirilebilir. http://www.math.pitt.edu/~bard/xpp/xpp.html  xppaut_yüklediğiniz_dizin\xppaut\windows\xppall dizini altında xpp.bat dosyası mevcuttur. Bu dosya içerisine uygulama ile ilgili adreslerin doğru yazılması gerekmektedir. Örneğin benim makinemde xppaut aşağıda olan adresde yüklüdür. “G:\24_mart_2008_new_data\Doktora”. Dolayısıyla G:\24_mart_2008_new_data\Doktora\xppaut\windows\xppall adresinde olan xpp.bat dosyasının içeriği aşağıdaki şekildedir. set BROWSER=C:\Program Files\Internet Explorer\iexplore.exe Set XPPHELP=G:\24_mart_2008_new_data\Doktora\xppaut\windows\xppall\help\xpphelp.h tml set DISPLAY=127.0.0.1:0.0 set HOME=G:\24_mart_2008_new_data\Doktora\xppaut\windows\xppall G:\24_mart_2008_new_data\Doktora\xppaut\windows\xppall\xppaut %1 %2 %3 pause A. Yiğit

6 Xppaut çalıştığında nasıl bir ekran açılır? A. Yiğit

7 Örneklerle Dallanma Diyagramı Oluşturma A. Yiğit

8 Neden doğrusal olmayan devreler, sistemler ve kaos? Virtually, all physical systems are nonlinear in nature. M. Vidyasagar O zaman neden hep lineer devreler ve sistemler ile ilgilenildi? “... not to produce the most comprehensive descriptive model but to produce the simplest possible model that incorporates the major features of the phenomenon of interest.” Howard Emmons

9 Lineer sistemi hatırlıyalım... durum değişkeni giriş değişkeni çıkış değişkeni Bu değişkenlere ilişkin başka neyi belirtmemiz gerek........ Bu sistemin çözümü..... Sadece bunu yazmam yeterli neden? ilk koşul Başka nasıl ifade ediyoruz? Hatırlatma

10 Ayrık zamanda lineer sistemi hatırlıyalım... Bu sistemin çözümü..... Çözüme daha dikkatle bakarsak..... Hatırlatma

11 Bir özel hal: Otonom sistem Çözümü bir daha yazarsak özdeğerler özvektörler Çözüm, özvektörler ve özdeğerler ile nasıl değişir? Hatırlatma

12 Özvektörleri aynı özdeğerleri farklı iki sistem Hangisi daha hızlı sıfıra yaklaşıyor ? A1 sistemi A2 sistemi Hatırlatma

13 Özdeğerleri aynı özvektörleri farklı iki sistem Hızlarında bir farklılık var mı? B1 sistemi B2 sistemi B1 sistemi B2 sistemi Hatırlatma

14 Bu durumda lineer sistemin çözümleri neler olabilir? Tüm bu durum portrelerinde ortak bir şey var, ne? S. Haykin, “Neural Networks- A Comprehensive Foundation”2 nd Edition, Prentice Hall, 1999, New Jersey. Hatırlatma

15 Otonom lineer sistem için başka ne diyebiliriz? Özel bir çözüm: denge noktası Denge noktasının Lyapunov anlamında kararlılığı Ve Lyapunov anlamında kararlılığı lineer sistemde anlamak için..... Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık sistemine ilişkin bir denge noktası olsun. Verilen herhangi bir için eşitsizliği eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir bulunabiliyorsa denge noktası Lyapunov anlamında kararlıdır. Hatırlatma

16 Bazı Doğrusal Olmayan Sistemler Sarkaç Θ mg l yerçekimisürtünme Durum uzayı gösterimi durum değişkenleri

17 Önce ne yapacağız ? denge noktaları π -π-π 2π2π-2π Bu denge noktalarının hepsi anlamlı mı? Denge noktalarının civarındaki davranışı incelemek istesek ne yapmamız gerekir? (0,0) civarında Bu sistemin kararlılığını incelemeyi biliyoruz................................................................................

18 (π,0) civarında Bu sistemin de kararlılığını incelemeyi biliyoruz...................................................................................... Sürtünmenin etkisini ihmal etsek.... Bu sistemin kararlılığına baksak....................................... (0,0)’ın civarı (π,0) civarı H.K.Khalil, “Nonlinear Systems”, 3 rd Edition, Pearson Education, 2000.

19 Tünel Diyod Devresi

20 Denge noktaları.... * * * * * * *

21 Notasyona ilişkin hatırlatma : Her : Vardır : Sadece bir tane vardır : Öyle ki Dinamik Sistem Dinamik sistem: (T, X, φ t ) T=R sürekli zaman T=Z ayrık zaman X durum uzayı T zaman X=R n X=C n φ t : X X a1) φ 0 =I a2) φ t+s =φ t ◦ φ s ▪

22 Hatırlatma: Metrik Uzay Çember Sürekli Dönüşüm T, x o ‘da süreklidir Yakınsama,Tam Uzay,Büzülme....

23 Lineer Vektör Uzayı ‘de iki cebrik işlem ve aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun veolmak üzere Vektör toplama (VT)VT1 VT2 VT3VT4 Hatırlatma

24 Skaler ile çarpma (SÇ) SÇ1 SÇ2 SÇ3 SÇ4 Hatırlatma

25 Norm V vektör uzayı olmak üzere, aşağıdaki dört özelliği sağlayan fonksiyon : normdur Hatırlatma