KONU :GÜNLÜK HAYATIMIZDA GEOMETRİ

... konulu sunumlar: "KONU :GÜNLÜK HAYATIMIZDA GEOMETRİ"— Sunum transkripti:

1 KONU :GÜNLÜK HAYATIMIZDA GEOMETRİ

2 GEOMETRİNİN KULLANIM ALANLARI
Geometri günlük yaşamın hemen her alanında gereklidir. Geometride uzunluk, alan, yüzey, açı gibi kavramlar bazı nicelikleri belirlemede kullanılır. Geometri’nin en çok iç içe olduğu dallar cebir ve trigonometri, mimarlık, mühendislikler (Yol, köprü, yapı, makine, gemi ve uçak yapımı; maden, su ve elektrik işleri gibi bayındırlık ve zanaatla ilgili teknik çalışmalar, vb.) , endüstiryel alanlar, simülasyonlar, bilgisayar programları ve grafikleri, sibertenik, tasarım, sanat vb.dir Geometrinin kullanılmadığı meslek yada alan yok gibidir desek yerinde olur. Bunlardan birkaçını açıklamak gerekirse;

3 1. GEOMETRİ VE SANAT Geometri ve sanat birbirleri ile bağlantılı olup birbirlerini destekleyen iki bilimdir. Sanatta geometrinin kullanımı yüzyıllardan beri süregelmiştir.Özellikle mimari yapılarda geometriden faydalanılmıştır. En bilindik olarak da Mimar Sinan eserlerinde geometriden oldukça yararlanmış ve muhteşem eserler vermiştir. Eserlerinde geometriyi çok iyi kullanmış olması eserlerinin sağlam yapılar olmasına büyük bir katkı sağlamıstır. Sanat eserlerinin geometrik olması onlara estetik değerler kazandırmıştır. Ünlü ressam Leonardo da Vinci’nin resimde vücut oranları üzerine yaptığı çalışmalar, çizdiği eskizler bulunmaktadır.

4

5 2. GEOMETRİ VE TASARIM Gazete, dergi ve amblem tasarımları günümüzde profesyonel kadrolar tarafından gerçekleştirilen önemli bir iştir. Basın-yayın organları ve firmalar bu gerçeğin bilincinde olduklarından kalabalık kadroları bu işte görevlendirmişlerdir. Tasarım başlı başına bir sanat sayılır. Tasarımcılıkta geometri kısmen işe yarar. Daha çok oran ve paralelliklerin önem kazandığı logo ve amblem tasarımında kullanılır. Tabiattaki geometrik şekilleri fark eden insanlar geometriyi hayatlarında uygulamışlardır.Zamanla logo ve amblemler ortaya çıkınca insanlar logo ve amblemlere de geometrik anlamlar yüklemişlerdir. Bunun sonucunda da umursamadığımız en basit bir amblem dahi geometrik bir eser haline gelmiştir. Örneğin; her gün yollarda rahatlıkla görebileceğimiz, Mercedes, Mitsubishi ve Renault gibi ünlü araba markalarının ablemleri; iyinin içindeki kötü, kötünün içindeki iyi sembolü olarak bilinen Yin-Yang sembolü ve bugün İsrail Devleti'nin kullandığı asıl ismi Davut Yıldızı olan bayrak geometrik birer eser sayılabilir.

6

7 3.GEOMETRİ VE PERSPEKTİF
Resimlerde uygulanan perspektif izdüşümsel geometrinin somut uygulamalarından biridir. Perspektif üzerine ilk kitabı 1453’te Leon Battista Alberti kaleme aldı; Açık pencere gibi duran bir dikdörtgen çiziyorum ve buradan resmedilecek nesneye bakıyorum Burada tek bir gözün gördüğünü tabloya yansıtmak, daha matematiksel bir anlatımla, tablo düzleminde, kişinin bir gözünün merkez alan bir izdüşümle görüntüyü oluşturmak söz konusuydu. Uzaklıkları ve açıları büyük değişimlere uğratan bu gösterim biçiminden kaynaklanmış teknik problemleri çözmek için birçok kitap yazıldı, birçok alet geliştirildi. 17.yy’da Desargues, perspektif tekniğini matematiksel olarak açıklayan ilk kişi oldu.

8

9 4.GEOMETRİ VE SİMÜLASYON
Çağımızda yaygın olarak kullanılan simulasyon teknolojisi, gerçek olmayan bir nesnenin, durumun veya resmin; gelişmiş bilgisayar teknikleriyle taklit edilerek gerçeğine benzetilmesidir. Üretilecek olan ürünün önceden bilgisayar ortamında modellenmesi konusunda büyük bir gelişme ortaya koyan bu teknolojinin birçok sanayi dalında sıklıkla kullanılmaktadır.

10

11 5.GEOMETRİ VE HARİTACILIK
Yer epilsoidini harita düzlemi üzerinde matematiksel olarak gösterme yöntemine “Harita İzdüşümü” denir. Bu yöntem; uygun izdüşümler, eşdeğer izdüşümler ve perspektif izdüşümler gibi sistemleri kapsar. Genellikle izdüşüm sistemi harita çizecek olan kişinin amacına göre seçilir.

12

13 6.GEOMETRİ VE MİMARİ Çağdaş mimarîde düzenli yüzeyler, özellikle betonun kullanımı sonucunda büyük bir başarı kazandı. Çünkü bu yüzeylerin doğrularla oluşturulması beton kalıplarının yapımını kolaylaştırmaktaydı. Tokyo Olimpiyat Stadyumu'nda "Hiperbolik Parabolit" ; Münih’deki Olimpiyat Stadyumu'nda ise "Eliptik Parabolit" ve "Tek Yaygılı Hiperbolit" mimari şekiller kullanılmıştır. Fransa’daki Chartres Katedrali dönemin “gizli geometri” (secret geometry) yada “kutsal geometri” (sacred geometry) olarak adlandırılan ilkelerine göre yapılmıştır.

14

15 GEOMETRİYİ ŞEKİLLENDİREN İLGİNÇ EVLER

16

17

18 GEOMETRİYE YÖN VEREN BAZI BİLİM ADAMLARI
Pisagor Pisagor ya da Pythagoras (Yunanca: Πυθαγόρας), MÖ MÖ 495 tarihleri arasında yaşamış olan İyonyalı filozof, matematikçi ve Pisagorculuk olarak bilinen akımın kurucusudur. En iyi bilinen önermesi, kendi adıyla anılan Pisagor önermesidir. "Sayıların babası" olarak bilinir. Topluluk hem bir okul hem de bir kardeşlik derneği gibi işlev görüyordu. Pisagor'un öğrencileri kendilerini Pisagorcular olarak adlandırıyorlardı. Pisagorcuların ikiyüz yıl sonra Öklid'in "Öğeler" adlı eserinde yazmış olduğu aksiyomatik geometrinin başlangıcında etkileri olmuştur

19

20 Öklid (MÖ 300) Yunan matematikçisi
Öklid (MÖ 300) Yunan matematikçisi. Gelmiş geçmiş matematikçiler içinde adı geometriyle en çok özdeşleştirilen kişidir. Öklid geometri dünyasında kapladığı bu seçkin yerini kendisinin büyük bir matematikçi olmasından çok geometrinin başlangıcından kendi zamanına kadar bilineni 'Öğeler' adını verdiği kitaplarında toplamasına borçludur. Öğeler dilden dile çevrilmiş yüzlerce kez kopya edilmiş matbaanın icadından sonra da binlerce kez gözden geçirilmiş ve yeniden basılmıştır. Öklid derlemesinin tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler olarak beş aksiyom ortaya koyar ve diğer bütün önermeleri (teoremleri) bu aksiyomlardan çıkarır. Öklid'in beş aksiyomu şunlardır: 1.İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.  2.Bir doğru parçası iki yön ede sınırsız bir şekilde uzatılabilir.  3.Merkezi ve üzerinde bir noktası verilen bir çember çizilebilir.  4.Bütün dik açılar eşittir.  5.Bir doğruya dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir paralel çizilebilir. 

21

22 -Pierre De Fermat (1601 - 1665) Fransız matematikçisi
-Pierre De Fermat ( ) Fransız matematikçisi. Hukuk okudu ve 1631 'de Orleans Üniversitesi'ni bitirdi. Daha sonra Toulouse kent meclisinde üyelik yaptı yılında ağır ceza mahkemesine atandı.Fermat amatör bir matematikçiydi. Ancak genede 17.yüzyılın ilk yarısının en önde gelen iki matematikçisinden biridir (öteki matematikçi René Descartes'tir). Fermat "Diyofantus Denklemleri" üzerine çalışarak modern sayılar kuramının temellerini attı. Onun geliştirdiği sayılar kuramı daha da ileriye gitmek için bir yüzyıl sonra Euler'i beklemek zorunda kalacaktır.Descartes'tan bağımsız olarak analitik geometriyi kurdu.

23 Johann Karl Friendrich Gauss ( )  Alman matematikçisi Gauss gerçek bir dâhiydi.1795'te Braunschweig Dükü Ferdinand'ın desteğiyle Göttingen Üniversitesi'ne girdi.1799'da 'cebirin temel teoremi' olarak bilinen ve 'n inci dereceden bir cebirsel denklemin n tane kökü vardır' şeklinde ifade edebilen teoremi kanıtlayarak doktora derecesini aldı.Gauss matematiğin hemen her dalında ürün verdi.1801' de aritmetiğin temel teoremini kanıtladı : Her doğal sayı asal sayıların çarpımı olarak bir ve yalnız bir şekilde gösterile bilir.GaussFermat'nın başlattığı sayılar kuramında önemli çalışmalar yaptı. Gauss aynı zamanda Öklid'in aksiyomlarını değiştirerek bir Öklid dışı geometri geliştirdi. Ancak bu buluşunu yayınlamaya cesaret edemedi. Bu nedenle bu konuda yayın yapan Lobaçevski ve Bolyai Öklid dışı geometrilerin kurucusu olarak bilinirler. Gauss yerin magnetik alanı üzerine de çalışmalar yaptı. Bu çalışmalar için üniversitede bir gözlemevi kurdu ve yerin magnetik kutuplarının yerlerini saptadı. 1832'de magnetik olayların sayısal ölçülmesini olanaklı kılan bir birimler sistemi geliştirdi 

24

25 David Hilbert (1862-1943) Alman matematikçisi
David Hilbert ( ) Alman matematikçisi. Geometriyi tutarlı bir aksiyoma tik yapıya kavuşturan kişidir. 19. Yüzyılın başlarına kadar geometri denince akla Öklid'in kurduğu geometriden başkası gelmiyordu .Ancak 19.yüzyılda Bolyai Lobaçevski ve Riemann Öklid'in paralellik aksiyomunu değiştirerek yeni öklid dışı geometriler kurdular. Bu olgu Öklid geometrisinde nelerin aksiyom nelerin varsayım ve nihayet nelerin bu aksiyom ve varsayımlardan haraket edilerek kanıtlanması gereken teoremler olduğuna ilişkin kuşkular yarattı. Buna ek olarak matematiksel bir yapının kurulmasında temel taşı olarak kullanılacak aksiyomların minimum sayısının ne olduğu bu aksiyomların iç tutarlılığı (yani bunlardan hareket edilerek çıkarılacak sonuçların birbirleriyle çelişip çelişmeyeceği ) gibi sorular doğdu. İşte Hilbert bu soruların çözümünde büyük katkıları olan bir kişidir yılında yayınladığı 'Geometrinin Temelleri' adlı kitapta matematikte aksiyomatik yaklaşımın kurucusudur. Hilbert 1885'te Königsberg Üniversitesi'nde doktorasını tamamladı. 1895'te Göttinggen'de matematik profesörlüğüne atandı ve 1930 yılında emekli oluncaya kadar bu görevde kaldı.

26

27 Adrien - Marie Legendre (1752-1833) Fransız matematikçisi
Adrien - Marie Legendre ( ) Fransız matematikçisi ile 1780 arasında Paris 'te Êcole Militaire'de 1795'ten sonra da Êcole Normale'de profesörlük yaptı. Legendre önceleri sferoidlerin (elipsleri eksenlerinden biri etrafında döndürerek oluşturulan hacimler) çekimleri üzerinde çalıştı.Bu çalışmasını 1783'te yayınladı. Bu çalışması ile bugün Legendre Fonksiyonları diye bilinen fonksiyonlarıda bilim dünyasına tanıttı. Legendre 1794 yılında yayınladığı Geometrinin Öğeleri adlı kitabıyla ün yaptı. Bu kitabında Legendre Öklid'in Öğeler adlı kitabını yeniden düzenledi teoremlerin kanıtlarını basitleştirdi ve böylece daha etkin bir ders kitabı oluşturdu. Legendre'in bu yapıtı o tarihten sonra Avrupa 'da ve Amerika'da Öklid'in Öğeleri'nin yerini aldı ve kendisinden sonra bu konuda yazılan tüm geometri kitaplarına örnek oldu.

28 Nikolay Ivanoviç Lobaçevski (1793-1856) Rus matematikçisi
Nikolay Ivanoviç Lobaçevski ( ) Rus matematikçisi. 21 yaşında Kazan Üniversitesinde öğretim üyeliğine 34 yaşında da aynı üniversitenin rektörlüğüne getirildi. Rektör olarak üniversiteye büyük katkılarda bulundu. Öğretim üyelerini oldukça kötü duruma düşmüş olan akademilik düzeyi iyileştirmek için yeniden örgütledi. Kütüphaneyi zenginleştirdi laboratuarlar kurdu.1830'da kolera salgınına 1842'de de büyük yangın tehlikesine karşı üniversiteyi korudu. Lobaçevski bütün idari başarılarının yanında matematik dalında da önemli katkılarda bulundu. Bu alandaki en önemli katkısı 2000 yıldır saltanatını koruyan Öklid geometrisinin dışında da geometriler varolabileceğini göstermesidir. Öklid geometrisi beş aksiyom üzerine kuruludur. Bunlardan ilk dördü 'aksiyom' sözcüğünü hak edecek denli önemli oldukları halde beşincisi biraz zor inanılır niteliktedir. Yani sanki kanıtlanması gerekirmiş gibi gelir. Bu aksiyom kısaca paralellik aksiyomu adı verilen aksiyomdur. Paralellik aksiyomunun bu niteliğinden dolayı 1800'lerin başına kadar bir çok matematikçi beşinci aksiyomun gerçekte bir aksiyom olmayıp ilk dört aksiyom kullanılarak kanıtlanabilecek bir teorem olduğu sanısına kapılara bu yönde büyük çaba harcadı. Ancak bütün bu çabalar boşa çıktı. Beşinci aksiyom ilk dört aksiyomdan çıkarılamıyordu.

29 Matematikçiler Öklid'e bir kez daha hayran oldular
Matematikçiler Öklid'e bir kez daha hayran oldular. Lobaçevski olaya başka türlü yaklaştı: Beşinci aksiyom tutarlı bir geometrinin kurulması için gerekli değildi. Belkide beşinci aksiyomun değiştirilmesiyle yada yadsınmasıyla Öklid geometrisi olmayan ama oluşturacağı tutarlı bütünlük açısından geometri olan başka geometriler yaratılabilirdi. Lobaçevski paralellik aksiyomunu şöyle değiştirdi: Bir doğruya dışından alınan bir noktadan en az iki paralel çizilebilir. Öklid'in diğer dört aksiyomunu da kullanmıştır. Lobaçevski geometrisinin geçerli olduğu iki boyutlu bir uzay geniş uçlarından karşı karşıya getirilerek birbirine tutturulmuş diğer uçları da giderek incelen sonsuza dek uzanan bir çift zurnaya benzeyen bir şeklin yüzeyi olarak düşünülebilir. Lobaçevski'nin Bolyai'nin ve Riemann'ın kurdukları Öklid dışı geometrilere uzun süre işe yaramaz birer matematik garibesi olarak bakıldı. Ta ki Einstein içinde yaşadığımız üç boyutlu uzayın Öklid geometrisine değil Riemann'ın oluşturduğu Öklid dışı geometriye uyduğunu gösterene kadar. 

30

31 ALTIN ORAN Matematik ve sanatta, bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, uyum açısından en yetkin boyutları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran bağıntısıdır. Eski Mısırlılar ve Yunanlılar tarafından keşfedilmiş, mimaride ve sanatta kullanılmıştır. Altın Oran; CB / AC = AB / CB = 1.618; bu oranın değeri her ölçü için dir. Bir doğru parçasının (AB) Altın Oran’a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (C) bölünmelidir ki; küçük parçanın (AC) büyük parçaya (CB) oranı, büyük parçanın (CB) bütün doğruya (AB) oranına eşit olsun. Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; …’tür. -noktadan sonraki ilk 15 basamak- Bu oranın kısaca gösterimi: olur. Altın Oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, Fi yani Φ’dir.

32 Kullanıldığı Yerler 1) Ayçiçeği: Ayçiçeğinin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir. 2) İnsan Kafası: Bildiğiniz gibi her insanın kafasında bir ya da birden fazla saçların çıktığı düğüm noktası denilen bir nokta vardır. İşte bu noktadan çıkan saçlar doğrusal yani dik değil, bir spiral, bir eğri yaparak çıkmaktadır. İşte bu spiralin ya da eğrinin tanjantı yani eğrilik açısı bize altın oranı verecektir.

33 3)Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır. 4) Mısır Piramitleri: Her bir piramidin tabanının yüksekliğine oranı evet yine altın oranı veriyor.

34 5)Kar Kristalleri: Kristallerin kollarındaki kısa uzantılarla, uzunlar arasında her zaman altın orana uyan bir ölçü bulunmaktadır. 6)Deniz Kabuğu: Dipten başlayarak uca doğru ilerleyen kıvrımları bulunan deniz kabuğunun, logaritmik spiral denilen her bir kıvrımına oluşan eğikliğin tanjantı altın orana denk gelmektedir.

35 Mona Lisa Tablosu Leonardo da Vinci’nin 500 yıl önce resmettiği Mona Lisa'nın gülümsemesi "çözümlendi." Hollanda'daki Amsterdam Üniversitesi'nden matematikçiler, sanat tarihçileri ve bilgisayar mühendisleri, Mona Lisa'nın yüzündeki ifadeyi ve duygularını analiz eden bir bilgisayar yazılımıyla tabloyu inceledi.

36