1 İ STATİSTİK II Tahminler ve Güven Aralıkları - 1.

... konulu sunumlar: "1 İ STATİSTİK II Tahminler ve Güven Aralıkları - 1."— Sunum transkripti:

1 1 İ STATİSTİK II Tahminler ve Güven Aralıkları - 1

2 2 1 Bir Anakütle Ortalamasının Tahmini: Büyük Örnekler 2 Bir Anakütle Ortalamasının Tahmini: Küçük Örnekler 3 Bir Anakütle Oranının Tahmini 4 Bir Anakütle Varyansının Tahmini

3 3 Bir Anakütle Ortalamasının Tahmini: Büyük Örnekler

4 4 Varsayımlar  n  30  Basit şans örneği Aynı büyüklükteki tüm örneklerin seçilme şansı eşit.

5 5 Tanımlar  Tahminleyici Bir anakütle parametresini tahmin etmek için kullanılan bir formül.  Tahmin Bir anakütle parametresine yaklaşmak için kullanılan değer yada değerler aralığı  Nokta Tahmini Bir anakütle parametresine yaklaşmak için kullanılan tek bir değer

6 6 Tanımlar Güven Aralığı (veya Aralık Tahmini) Bir anakütle parametresinin gerçek değerini tahmin etmek için kullanılan değerler aralığı Alt değer < anakütle parametresi < Üst değer Örnek olarak Alt değer <  < Üst değer

7 7 güven aralığı, 1 -  olasılığı ile anakütle parametresini içerir. genellikle 90%, 95%, veya 99% (  = 10%), (  = 5%), (  = 1%) Tanımlar Güven Derecesi (güven seviyesi veya güven katsayısı)

8 8 Bir güven aralığının yorumu Doğru: 98.08 ve 98.32 aralığı, %95 olasılıkla  ’ nün gerçek değerini içerir. Yanlış:  nün gerçek değerinin 98.08 ile 98.32 arasına düşmesi olasılığı %95’tir. 98.08 o < µ < 98.32 o

9 9 Güven Aralığının Elde Edilmesi

10 10 Kritik Değer z=0 z  2 -z  2  2 Standart normal dağılış tablosundan bulunur.

11 11 Tanım Hata toleransı Tahminin maksimum hatası E = z  /2  n

12 12 Anakütle Ortalaması µ İçin Güven Aralığı (Büyük Örnek İçin: n >=30) x - E < µ < x + E

13 13 x - E < µ < x + E µ = x + E Anakütle Ortalaması µ İçin Güven Aralığı (Büyük Örnek İçin: n >=30)

14 14 x - E < µ < x + E (x + E, x - E) Anakütle Ortalaması µ İçin Güven Aralığı (Büyük Örnek İçin: n >=30)

15 15  Bilinmediğinde E’nin Hesaplanması  n >= 30 ise,  yerine örnek standart sapması s kullanılabilir.  n < 30 ise, anakütlenin dağılışı normal olduğunda ve  bilindiğinde aynı güven aralığı formülü kullanılabilir.

16 16 Örnek: Bir araştırma için, 106 sağlıklı yetişkinin vücut sıcaklıkları incelenmiştir. Örnek ortalaması 98.2 derece ve örnek standart sapması 0.62 derece olarak bulunmuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz.

17 17 n = 106 x = 98.2 o s = 0.62 o  = 0.05  / 2 = 0.025 z  / 2 = 1.96 Örnek: Bir araştırma için, 106 sağlıklı yetişkinin vücut sıcaklıkları incelenmiştir. Örnek ortalaması 98.2 derece ve örnek standart sapması 0.62 derece olarak bulunmuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz.

18 18 n = 106 x = 98.20 o s = 0.62 o  = 0.05  / 2 = 0.025 z  / 2 = 1.96 E = z  / 2  = 1.96 0.62 = 0.12 n 106 Örnek: Bir araştırma için, 106 sağlıklı yetişkinin vücut sıcaklıkları incelenmiştir. Örnek ortalaması 98.2 derece ve örnek standart sapması 0.62 derece olarak bulunmuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz.

19 19 n = 106 x = 98.20 o s = 0.62 o  = 0.05  / 2 = 0.025 z  / 2 = 1.96 E = z  / 2  = 1.96 0.62 = 0.12 n 106 x - E <  < x + E Örnek: Bir araştırma için, 106 sağlıklı yetişkinin vücut sıcaklıkları incelenmiştir. Örnek ortalaması 98.2 derece ve örnek standart sapması 0.62 derece olarak bulunmuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz.

20 20 n = 106 x = 98.20 o s = 0.62 o  = 0.05  / 2 = 0.025 z  / 2 = 1.96 E = z  / 2  = 1.96 0.62 = 0.12 n 106 x - E <  < x + E 98.20 o - 0.12 <  < 98.20 o + 0.12 Örnek: Bir araştırma için, 106 sağlıklı yetişkinin vücut sıcaklıkları incelenmiştir. Örnek ortalaması 98.2 derece ve örnek standart sapması 0.62 derece olarak bulunmuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz.

21 21 n = 106 x = 98.20 o s = 0.62 o  = 0.05  / 2 = 0.025 z  / 2 = 1.96 E = z  / 2  = 1.96 0.62 = 0.12 n 106 x - E <  < x + E 98.20 o - 0.12 <  < 98.20 o + 0.12 98.08 o <  < 98.32 o Örnek: Bir araştırma için, 106 sağlıklı yetişkinin vücut sıcaklıkları incelenmiştir. Örnek ortalaması 98.2 derece ve örnek standart sapması 0.62 derece olarak bulunmuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz.

22 22 Bir Anakütle Ortalamasının Tahmini: Küçük Örnekler

23 23 1) n < 30 2) Örnek, basit şans örneğidir. 3) Örnek, normal dağılış gösteren bir anakütleden alınmıştır. Küçük Örnekler Varsayımlar

24 24 Student t Dağılışı Bir anakütlenin dağılışı normal ise, t = x - µ s n

25 25 Student t Dağılışı Bir anakütlenin dağılışı normal ise,  istatistiğinin dağılışı serbestlik derecesi n – 1 olan bir Student t Dağılışıdır.  kritik değerler olur. t = x - µ s n t  / 2

26 26 Tanım Serbestlik Derecesi ( df ) tüm veri değerleri üzerine yüklenen sınırlamalar sonrası serbestçe değişebilecek veri sayısına karşılık gelir.

27 27 Tanım Serbestlik Derecesi ( df ) tüm veri değerleri üzerine yüklenen sınırlamalar sonrası serbestçe değişebilecek veri sayısına karşılık gelir. df = n - 1

28 28 Hata toleransı E burada t  / 2 nin serbestlik derecesi n – 1’dir. n E = t   s 2

29 29  için güven aralığı  ’nın bilinmediği ve küçük örneğin normal dağılış gösteren bir anakütleden alındığı varsayımı altında

30 30  için güven aralığı  ’nın bilinmediği ve küçük örneğin normal dağılış gösteren bir anakütleden alındığı varsayımı altında x - E < µ < x + E

31 31  için güven aralığı  ’nın bilinmediği ve küçük örneğin normal dağılış gösteren bir anakütleden alındığı varsayımı altında x - E < µ < x + E burada E = t  /2 n s

32 32  için güven aralığı  ’nın bilinmediği ve küçük örneğin normal dağılış gösteren bir anakütleden alındığı varsayımı altında x - E < µ < x + E burada E = t  /2 n s t  /2 izleyen tablodan bulunur.

33 33 Serbestlik derecesi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Large (z) 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.500 3.355 3.250 3.169 3.106 3.054 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.575.005 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.625 2.602 2.584 2.567 2.552 2.540 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.327 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.132 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 1.960 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.645 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.320 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.282 1.000.816.765.741.727.718.711.706.703.700.697.696.694.692.691.690.689.688.687.686.685.684.683.675.01.025.05.10.25 t Dağılışı

34 34 Student t Dağılışını önemli özellikleri 1.Farklı örnek miktarları için t dağılışının şekli farklıdır. 2.Student t dağılışının şekli normal dağılış gibi çan şeklindedir. Ancak yayılması örnek miktarları küçüldükçe daha fazlalaşır. 3.Student t dağılışının beklenen değeri 0’dır. 4. Student t dağılışının standart sapması 1’den büyüktür. 5.Örnek miktarı n büyüdükçe Student t dağılışı, normal dağılışa yaklaşır. n >= 30 için, aradaki fark çok azdır.

35 35 Student t dağılışı n = 3 Student t Dağılışı n = 3 ve n = 12 durumu 0 Student t Dağılışı n = 12 Standart normal dağılış

36 36 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz.

37 37 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz. x = 26,227 s = 15,873  = 0.05  / 2 = 0.025

38 38 Degrees of freedom 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Large (z) 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.500 3.355 3.250 3.169 3.106 3.054 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.575.005 (one tail).01 (two tails) 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.625 2.602 2.584 2.567 2.552 2.540 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.327 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.132 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 1.960 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.645 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.320 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.282 1.000.816.765.741.727.718.711.706.703.700.697.696.694.692.691.690.689.688.687.686.685.684.683.675.01 (one tail).02 (two tails).025 (one tail).05 (two tails).05 (one tail).10 (two tails).10 (one tail).20 (two tails).25 (one tail).50 (two tails) Table A-3 t Distribution

39 39 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz. x = 26,227 s = 15,873  = 0.05  / 2 = 0.025 t  / 2 = 2.201 E = t  2 s = (2.201)(15,873) = 10,085.29 n 12

40 40 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz. x = 26,227 s = 15,873  = 0.05  / 2 = 0.025 t  / 2 = 2.201 E = t  2 s = (2.201)(15,873) = 10,085.3 n 12 x - E < µ < x + E

41 41 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz. x = 26,227 s = 15,873  = 0.05  / 2 = 0.025 t  / 2 = 2.201 E = t  2 s = (2.201)(15,873) = 10,085.3 n 12 26,227 - 10,085.3 < µ < 26,227 + 10,085.3 x - E < µ < x + E

42 42 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz. x = 26,227 s = 15,873  = 0.05  / 2 = 0.025 t  / 2 = 2.201 E = t  2 s = (2.201)(15,873) = 10,085.3 n 12 26,227 - 10,085.3 < µ < 26,227 + 10,085.3 $16,141.7 < µ < $36,312.3 x - E < µ < x + E

43 43 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz. x = 26,227 s = 15,873  = 0.05  / 2 = 0.025 t  / 2 = 2.201 E = t  2 s = (2.201)(15,873) = 10,085.3 n 12 26,227 - 10,085.3 < µ < 26,227 + 10,085.3 x - E < µ < x + E Bu aralığın bir Dodge Viper’ın ortalama onarım giderini içerdiğinden %95 eminiz. $16,141.7 < µ < $36,312.3

44 44 Bir Anakütle Oranının Tahmini

45 45 Varsayımlar 1. Örnek, basit şans örneğidir. 2. Başarı sayısının dağılışı binomdur. 3. np  5 ve nq  5 olduğunda normallik yaklaşımı kullanılabilir.

46 46 q = 1 - p Örnek oranı (n denemede x başarısızlığın oranı) p =p = ˆ xnxn Örnek oranı (p için en iyi nokta tahmini) (n denemede x başarının oranı) ˆ p =p = Anakütle oranı Oranlar İçin Notasyon ˆ

47 47 p’nin tahmininin hata toleransı zz  E = n ˆˆ p q

48 48 Anakütle Oranı İçin Güven Aralığı p - E < < + E burada ˆ p ˆ p zz  E = n ˆˆ p q

49 49 Anakütle Oranı İçin Güven Aralığı p - E < < + E ( p - E, p + E) ˆ p ˆ p ˆˆ

50 50 Örnek: Grip aşısı yaptıran rastgele seçilmiş 400 kişiden 136’sı aşı sonrası sıkıntı yaşamıştır. Aşı sonrası sıkıntı yaşayanların gerçek oranı için %95 güven aralığını bulunuz.

51 51 Örnek: Grip aşısı yaptıran rastgele seçilmiş 400 kişiden 136’sı aşı sonrası sıkıntı yaşamıştır. Aşı sonrası sıkıntı yaşayanların gerçek oranı için %95 güven aralığını bulunuz. n = 400,

52 52 Bir Anakütle Varyansının Tahmini

53 53 Varsayımlar 1. Örnek, bir basit şans örneğidir. 2. Anakütlenin dağılışı normaldir.

54 54 n = örnek miktarı s 2 = örnek varyansı  2 = anakütle varyansı df = serbestlik derecesi = n – 1 Ki-Kare Dağılışı =  2 (n - 1) s 2

55 55 Ki-Kare Dağılışı

56 56 Ki-kare istatistiğinin dağılışının özellikleri 1.ki-kare dağılışı simetrik değildir 2.Serbestlik derecesi arttıkça, dağılış daha simetrik hale gelir (normale yaklaşır) 0 510 15 202530354045 df = 10 df = 20 Tüm değerler sıfır veya pozitif Simetrik değil x2x2 0

57 57 Chi-Square ( x 2 ) Distribution _ 0.010 0.072 0.207 0.412 0.676 0.989 1.344 1.735 2.156 2.603 3.074 3.565 4.075 4.601 5.142 5.697 6.265 6.844 7.434 8.034 8.643 9.260 9.886 10.520 11.160 11.808 12.461 13.121 13.787 20.707 27.991 35.534 43.275 51.172 59.196 67.328 Table A-4 _ 0.020 0.115 0.297 0.554 0.872 1.239 1.646 2.088 2.558 3.053 3.571 4.107 4.660 5.229 5.812 6.408 7.015 7.633 8.260 8.897 9.542 10.196 10.856 11.524 12.198 12.879 13.565 14.257 14.954 22.164 29.707 37.485 45.442 53.540 61.754 70.065 0.001 0.051 0.216 0.484 0.831 1.237 1.690 2.180 2.700 3.247 3.816 4.404 5.009 5.629 6.262 6.908 7.564 8.231 8.907 9.591 10.283 10.982 11.689 12.401 13.120 13.844 14.573 15.308 16.047 16.791 24.433 32.357 40.482 48.758 57.153 65.647 74.222 0.004 0.103 0.352 0.711 1.145 1.635 2.167 2.733 3.325 3.940 4.575 5.226 5.892 6.571 7.261 7.962 8.672 9.390 10.117 10.851 11.591 12.338 13.091 13.848 14.611 15.379 16.151 16.928 17.708 18.493 26.509 34.764 43.188 51.739 60.391 69.126 77.929 0.016 0.211 0.584 1.064 1.610 2.204 2.833 3.490 4.168 4.865 5.578 6.304 7.042 7.790 8.547 9.312 10.085 10.865 11.651 12.443 13.240 14.042 14.848 15.659 16.473 17.292 18.114 18.939 19.768 20.599 29.051 37.689 46.459 55.329 64.278 73.291 82.358 2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 10.645 12.017 13.362 14.684 15.987 17.275 18.549 19.812 21.064 22.307 23.542 24.769 25.989 27.204 28.412 29.615 30.813 32.007 33.196 34.382 35.563 36.741 37.916 39.087 40.256 51.805 63.167 74.397 85.527 96.578 107.565 118.498 3.841 5.991 7.815 9.488 11.071 12.592 14.067 15.507 16.919 18.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 26.296 27.587 28.869 30.144 31.410 32.671 33.924 35.172 36.415 37.652 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773 55.758 67.505 79.082 90.531 101.879 113.145 124.342 5.024 7.378 9.348 11.143 12.833 14.449 16.013 17.535 19.023 20.483 21.920 23.337 24.736 26.119 27.488 28.845 30.191 31.526 32.852 34.170 35.479 36.781 38.076 39.364 40.646 41.923 43.194 44.461 45.722 46.979 59.342 71.420 83.298 95.023 106.629 118.136 129.561 6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 38.932 40.289 41.638 42.980 44.314 45.642 46.963 48.278 49.588 50.892 63.691 76.154 88.379 100.425 112.329 124.116 135.807 7.879 10.597 12.838 14.860 16.750 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 26.757 28.299 29.819 31.319 32.801 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 41.401 42.796 44.181 45.559 46.928 48.290 49.645 50.993 52.336 53.672 66.766 79.490 91.952 104.215 116.321 128.299 140.169 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 0.995 0.99 0.975 0.95 0.90 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 Area to the Right of the Critical Value Degrees of freedom

58 58 Kritik Değerler: Table A-4 0.025 X L 2 = 2.700 0 X 2 (df = 9) X R = 19.023 kuyruğun sağındaki alanlar 0.975 0.025 2

59 59  2 ‘nin tahminleyicileri Örnek varyansı s, anakütle varyansı  2 nin en iyi nokta tahminleyicisidir. (sapmasız, etkin) 2

60 60  2  (n - 1) s 2 X 2 R X 2 L Sağ kuyruk KD Sol kuyruk KD (n - 1) s 2 X 2 R X  2 L Anakütle varyansı  2 için güven aralığı Standart sapma  için güven aralığı

61 61 Örnek: yeni tasarlanan bir otomobil motorunun benzin tüketiminin varyansını tahminlemek için 16 motor test edilmiş ve örnek standart sapması 2.2 galon bulunmuştur. Gerçek tüketim varyansı için %99 güven aralığını bulunuz.

62 62 Örnek: yeni tasarlanan bir otomobil motorunun benzin tüketiminin varyansını tahminlemek için 16 motor test edilmiş ve örnek standart sapması 2.2 galon bulunmuştur. Gerçek tüketim varyansı için %99 güven aralığını bulunuz.