Rassal Değişkenler ve Kesikli Olasılık Dağılımları Chapter 06 Rassal Değişkenler ve Kesikli Olasılık Dağılımları Dr. Halil İbrahim CEBECİ İstatistik Ders Notları

Rassal Değişken Rassal Değişken Bir rastgele olayın olası sonuçlarının numerik değerleridir. Şansa bağlı olarak farklı değerler alabilir. Rassal Değişken Kesikli Rassal Değişken Sürekli Rassal Değişken İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Kesikli Rassal Değişken Sadece sayılabilir değerler alan değişkenlerdir. Çok fazla olası değer alan değişkenler: Bir gündeki şikayet sayısı Hane halkını sahip oldukları telefon sayısı Telefon açılmadan önce çalma sayısı İki değer alan değişkenler: Cinsiyet: Kız veya Erkek Sorunlu Parça: Evet veya Hayır İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Sürekli Rassal Değişken Sürekli (sayılamayan) değerler alan değişkenler Bir parçanın kalınlığı Bir işi tamamlamak için geçen süre Solüsyonun ısısı Ağırlık Ölçümlerin doğruluk ve hassasiyetlerine bağlı olarak herhangi bir değer alabilirler. İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Y Y Y T T Y T T Kesikli Olasılık Dağılımları Deney: 2 Parayı atma. 𝑥 değişkeni tura olsun 4 Olası sonuç Olasılık Dağılımı Y Y x Değeri Olasılık 0 1/4 = .25 1 2/4 = .50 2 1/4 = .25 Y T T Y .50 .25 Olasılık T T 0 1 2 𝒙 İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Kesikli Olasılık Dağılımları [ 𝑥𝑖 , 𝑃( 𝑥 𝑖 ) ] ikilileri için olası bütün sonuçların gösterimi 𝑥i = Rassal değişkenin değerleri 𝑃( 𝑥 𝑖 ) = Değere karşılık gelen olasılık 𝑥𝑖 ayrıktır. (Hiçbir tekrar yok) 𝑥𝑖 ler için olası bütün sonuçlar vardır. 0 ≤𝑃 𝑥 𝑖 ≤ 1 (her bir 𝑥 𝑖 değeri için) Σ 𝑃( 𝑥 𝑖 ) = 1 İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Beklenen Değer 𝐸 𝑋 =𝜇= 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑃( 𝑥 𝑖 ) Bir kesikli dağılımın beklenen değeri ortalamaya eşittir. 𝐸 𝑋 =𝜇= 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑃( 𝑥 𝑖 ) Örn6.1 – 2 parayı havaya atalım, 𝑥 = Tura ise 𝑥 rassal değişkeninin beklenen değeri nedir 𝐸 𝑥 = 0∗0.25 + 1∗0.50 + 2∗0.25 =1.0 İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Beklenen Değer Kuralları 𝐸(𝑐) = 𝑐 Sabit bir sayının (𝑐) beklenen değeri yine sabit sayıya eşittir. 𝐸(𝑋 + 𝑐) = 𝐸(𝑋) + 𝑐 𝐸(𝑐𝑋) = 𝑐𝐸(𝑋) Sabit sayıyı beklenen değerin dışına alabiliriz. İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Beklenen Varyans ve Standart Sapma Bir kesikli değişkenin Varyansı aşağıdaki gibi hesaplanır. 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎 2 = 𝑖=1 𝑛 (𝑥 𝑖 −𝜇) 2 𝑃( 𝑥 𝑖 ) Bir kesikli değişkenin Standart sapması aşağıdaki gibi hesaplanır. σ= 𝜎 2 İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Varyans Kuralları 𝑉𝑎𝑟(𝑐) = 0 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑐) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 𝑉𝑎𝑟(𝑐𝑋) = 𝑐2𝑉𝑎𝑟(𝑋) Sabit sayıların varyansı 0 a eşittir. 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑐) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) (Birinci kurala istinaden). 𝑉𝑎𝑟(𝑐𝑋) = 𝑐2𝑉𝑎𝑟(𝑋) Bir sabit katsayılı değişkenin varyansı değişkenin varyansının sabitin karesi ile çarpılması ile bulunur. İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Kesikli Olasılık Dağılımlar Sürekli Olasılık Dağılımları Binom Normal Poisson Uniform Hipergeometrik Üstel İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

𝑛 sabit sayısı kadar deneme gerçekleştirilir Binom Dağılımı Binom Dağılımı Karakteristikleri: Her bir deneyin iki olası sonucu vardır (Başarılı-Başarısız) 𝑛 sabit sayısı kadar deneme gerçekleştirilir Deneydeki her bir deneme diğer denemelerden bağımsızdır 𝑝 başarı olasılığı denemeden denemeye değişmez, her zaman sabittir Eğer 𝑝 başarı olasılığı ise, başarısız olma olasılığı 𝑞= 1−𝑝 ile gösterilir İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Binom Dağılımı Bir imalat tarafında üretilen ürünlerin muayene sonuçlarına sorunlu veya kabul edilebilir olmaları, Bir firmanın müşterileri ile kontrat yaparken başarılı ve başarısız olmaları Bir pazarlama firması tarafından yapılan anket sonucunda piyasaya sürülen yeni ürünlerin alınabilir olup olmaması (anket cevapları alırım veya almam) Bir mezun tarafından yapılan iş başvurusunun başarılı olup olmaması İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

P(x) n x ! x p q ! ( ) = - Binom Dağılımı Binom rassal değişkeni n tane denemedeki başarı sayısını vermektedir. Bu değerler 0,1,2,…,n olabilir, bu yüzden binom rassal değişkeni kesiklidir. P(x) n x ! x p q ! ( ) = - 𝑥= Örnekteki başarılı durum sayısı, (𝑥 = 0, 1, 2, …, 𝑛) 𝑝= her bir denemede başarılı olma olasılığı 𝑞= her bir denemede başarısız olma olasılığı 𝑛= deneme sayısı (örnek büyüklüğü) İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Binom Dağılımı Ex6.2 – Salih Pektembel istatistik dersini ilk defa alan bir öğrencidir. Kendisi başarılı bir öğrenci değildir. Salih şansına güvenerek sınavı geçmeyi ummaktadır. Sınav 5 şıklı 10 farklı sorudan oluşmaktadır. Salih’in hiçbir şıkkı tutturamaması ihtimali nedir? Sadece iki soruyu doğru yanıtlama ihtimali nedir? 𝑛=10, 𝑝=0.2, 𝑞=1−0.2=0.8 𝑃 𝑥 = 𝑛! 𝑥!(𝑛−𝑥)! 𝑝 𝑥 (1−𝑝) 𝑛−𝑥 = 10! 0!(10−0)! 0.2 0 (1−0.2) 10−0 =0.1074 𝑃 𝑥 = 𝑛! 𝑥!(𝑛−𝑥)! 𝑝 𝑥 (1−𝑝) 𝑛−𝑥 = 10! 2!(10−2)! 0.2 2 (1−0.2) 10−2 =0.3020 İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Binom Dağılımı Salih’in bu sınavdan kalma ihtimali nedir? (Sınavı geçmek için sorularının yarısını doğru olmalıdır) P(X ≤ 4) = .967 İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Binom Dağılımı P(X = 2) = P(X≤2) – P(X≤1) = .678 – .376 = .302 Sadece 2 soruyu doğru yapma ihtimalini binom tablosu yardımıyla bulunuz. P(X = 2) = P(X≤2) – P(X≤1) = .678 – .376 = .302 İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Binom Dağılımı 𝐸 𝑋 =𝜇=𝑛𝑝 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎 2 =𝑛𝑝𝑞=𝑛𝑝(1−𝑝) 𝜎= 𝑛𝑝𝑞 = 𝑛𝑝(1−𝑝) Ortalama: 𝐸 𝑋 =𝜇=𝑛𝑝 Varyans: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎 2 =𝑛𝑝𝑞=𝑛𝑝(1−𝑝) Standart Sapma: 𝜎= 𝑛𝑝𝑞 = 𝑛𝑝(1−𝑝) İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Poisson Dağılımı Simeon Poisson’a atfen isimlendirilen dağılım, bir örnek uzayın belli bir bölgesi veya zamanındaki olayların sayısının incelendiği kesikli bir olasılık dağılımıdır. Son bir saat içerisinde bir tamir atölyesine gelen araç sayısı (aralık – 1 saat) Bir kumaş rulosundaki kusur sayısı. (bölge – kumaş rulosu) Otoyolun Adapazarı kavşağında son bir ayda meydana gelen kaza sayısı (Aralık – 1 Ay, Bölge – Adapazarı kavşağı) İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Poisson Dağılımı Bir Poisson Deneyi aşağıdaki dört karakteristiğe sahip olmaldır. Bir aralıkta meydana gelen olay sayısı, diğer aralıklarda meydana gelen olay sayılarından bağımsızdır. Eşit aralıklarda olayın olasılıkları eşittir. Başarı olasılığı aralığın boyutu ile orantılıdır. Birden fazla olayın meydana gelme olasılığı küçük aralıklarda sıfıra yaklaşır. İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Örn. Her 1 saate ortalama, 96 kamyon sınırı geçmektedir. Poisson Dağılımı Başarı Örn. Her 1 saate ortalama, 96 kamyon sınırı geçmektedir. Örn. Bir ders kitabındaki ortalama baskı hatası sayısı, 1.5 hata / 100 sayfadır. Aralık Başarı (mı!!) Aralık İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Poisson Dağılımı 𝐸 𝑥 =𝑉𝑎𝑟 𝑥 =𝜇=𝜆𝑡 𝑡 = ilgilenilen aralık veya bölge boyutu 𝑥 = t aralığındaki başarılı deney sayısı  = bir aralıktaki başarılı deneylerin beklenen değeri 𝑒 = logaritmik taban (2.71828...) İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Poisson Dağılımı 𝑃 𝑥=0 = 𝜇 𝑥 𝑒 −𝜇 𝑥! = 1.5 0 𝑒 −1.5 0! =0.2231 Ex6.3 – Bir kitapta yer alan baskı hatalarının, kitaptan kitaba farklılık göstermesine rağmen poisson dağılımına uyduğu yapılan araştırmalar sonucunda keşfedilmiştir. Baskı hataları 100 sayfada ortalama 1,5 kere görüldüğüne göre rastgele seçilen 100 sayfalık bir kitap kısmında hiç baskı hatası olmama ihtimali nedir? 𝑃 𝑥=0 = 𝜇 𝑥 𝑒 −𝜇 𝑥! = 1.5 0 𝑒 −1.5 0! =0.2231 There is about a 22% chance of finding zero errors İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Poisson Dağılımı 𝑃 𝑥=0 = 𝜇 𝑥 𝑒 −𝜇 𝑥! = 6 0 𝑒 −6 0! =0.002479 Ex6.4 – Önceki örnekteki değerler dikkate alındığında, rastgele seçilen 400 sayfada hiçbir baskı hatası olmama ihtimali nedir? For 400 pages 𝜇=1,5∗4=6 𝑃 𝑥=0 = 𝜇 𝑥 𝑒 −𝜇 𝑥! = 6 0 𝑒 −6 0! =0.002479 there is a very small chance there are no typos İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Hipergeometrik Dağılım 𝑛 tane deneme 𝑁 genişliğinde sonlu bir ana kütleden çekilsin, Çekilen örnekler tekrar yerine konmayacak, Denemeler birbiri ile bağımlı, Ana kütlede 𝑋 tane başarılı deney olduğu bilindiği durumda, çekilen örnekteki 𝑥 başarılı olması olasılığı hipergeometrik dağılım ile belirlenir. İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Hipergeometrik Dağılım Her bir deneyin iki olası sonucu: başarılı, başarısız 𝑁 = Ana kütle boyutu 𝑋 = Ana kütledeki başarılı deney sayısı 𝑛 = örnek boyutu 𝑥 = örnekteki başarılı deney sayısı 𝑛 – 𝑥 = örnekteki başarısız deney sayısı İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Hipergeometrik Dağılım Ex6.5 – 10 ampul bulunan bir kutudan 3 tanesi seçilmiştir. Kutudaki 10 ampulden 4 tanesi defolu ise, Seçilen 3 ampulden 2 tanesinin defolu olma olasılığı nedir? 𝑁=10, 𝑋=4, 𝑛=3, 𝑥=2 Hatırlatma: İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Çalışma Soruları S6.1 – Balıkçılık seferleri düzenleyen bir firma müşterilerinin çıktıkları seferlerin %60‘ında en az 1 adet büyük boy (10 kilo) somon balığı yakaladığını reklamla duyurmaktadır. Balığa meraklı olan siz yılda 4 defa balıkçılık seferine katılmaktasınız? En az bir somon balığı yakalanan seferlerin sayısı olan 𝑋 değişeni için olasılık dağılımını bulunuz? Çıktığınız 4 seferden en az ikisinde büyük boy somon balığı yakalama olasılığını belirleyiniz. İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Çalışma Soruları S6.2 – The Globe and Mail gazetesi 1987 yılında yayınladığı bir makalede Wall-Street firmalarının şirket devirlerinin %80’nini halka ilan edilmeden önce speküle ettiğini hatta bu devir alma işlemlerini finanse ettiğini belirtmiştir. Rastgele seçilmiş olan 10 devir alınmış firmayı düşünelim. Bu firmaların en az yarısının devir işlemlerinin finanse edilme olasılığı bulunuz. En fazla üç firmanın devir işlemlerinin finanse edilmemesi ihtimali bulunuz. Devir işlemleri finanse edilen firmalar için beklenen değer ve varyansı bulunuz. İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Çalışma Soruları S6.3 – Forbes Magazine göre Amerikan halkının %27 si uzay mekikleri ile uçmak istemektedir. Üç Amerikalı rastgele seçilip uzay mekikleri ile uçmak isteyip istemedikleri sorulmuştur. Seçilen insanlardan soruya pozitif cevap verenlerin sayısının olasılık dağılımını bulunuz. İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Çalışma Soruları S6.4 - Şehir trafik kayıtları incelendiğin saat 2 ile 3 arasında her gün ortalama 3 kaza meydana gelmektedir. Rastgele belirlenen bir günde saat 2 ile 3 arasında en az 1 kaza olması olasılığını belirleyiniz. (Poisson dağılımı formülünü kullanınız.) a şıkkında yer alan değeri poisson tablosu yardımıyla çözünüz? Saat 2 ila 3 arasında en az 3 kaza meydana gelmesi olasılığını belirleyiniz. Saat 2 ila 2:30 arasında en az 3 kaza meydana gelmesi olasılığını belirleyiniz. İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Çalışma Soruları S6.5 - Sevkiyatı yapılan 10 parçadan iki tanesi defoludur. Gümrük muayenesi sırasında çekilen örneklemde bir defolu ürün bulunursa sevkiyat geri çevrilmektedir. Eğer üç parçalık bir örnek seçilirse sevkiyatın geri çevrilme ihtimali nedir? Eğer dört parçalık bir örnek seçilirse sevkiyatın geri çevrilme ihtimali nedir? Eğer beş parçalık bir örnek seçilirse sevkiyatın geri çevrilme ihtimali nedir? Eğer yönetim %90 ihtimalle bu sevkiyatın geri çevrilmesini istiyor ise ne kadarlık bir örnek boyutu seçmelidir? İstatistik Ders Notları – Bölüm 06

Çalışma Soruları S6.6 – Bir iskambil destesinde iki kağıt çekiliyor. Çekilen kartların 10 puanlık (10, J, D, K) veya as (A) olması olasılığı nedir? Çekilen kartların ikisinin de As olması olasılığı nedir? İki kartında 10 puanlık kart olması olasılığı nedir? İstatistik Ders Notları – Bölüm 06