KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER İstatistik Doç. Dr. Şakir GÖRMÜŞ SAÜ| e-FEK

Öğrenme Hedefleri Rassal değişken kavramını açıklayabilir. Bu konuyu çalıştıktan sonra: Rassal değişken kavramını açıklayabilir. Kesikli rassal değişkenlerin olasılıklarını hesaplayabilir. Binom dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir. Poisson dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.

İçindekiler RASSAL DEĞİŞKENLER KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENİN OLASILIK VE KÜMÜLATİF OLASILIK FONKSİYONU Kesikli Rassal Değişkenin Olasılık Fonksiyonu Kesikli Rassal Değişkenin Kümülatif Olasılık Fonksiyonu BERNOULLİ DAĞILIMI BİNOM DAĞILIMI POİSSON DAĞILIMI HİPERGEOMETRİK DAĞILIM

Rassal değişken kavramını açıklayabilir. 1. RASSAL DEĞİŞKENLER Rassal denemeden önce sonuçlar bilinmemekte ve sonuçların olasılıkları hesaplanmaktadır. Bunun için rassal denemenin sonuçlarını sayısal değerlerle ifade etmeliyiz. Rassal denemenin sonuçlarını gösteren bu sayısal değerlere “RASSAL DEĞİŞKENLER” denir. Rassal değişkenler X ve rassal değişkenin alabileceği değerler ise x ile gösterilir. Örneğin bir zar atılmadan gelebilecek sonuç için X rassal değişkeni muhtemel sonuçlar (x=1, x=2, x=3, x=4, x=5 ve x=6) için ise x kullanılır. Rassal denemenin sonuçları sayılabilir sayıda değer alıyorsa yani sayı çizgisinde birbirinden ayrı noktalar halinde ise “KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER” olarak adlandırılır. Genellikle kolayca sayılabilen değişkenlerdir. Rassal denemenin sonuçları belli bir aralıkta bütün değerleri alabiliyorsa yani sayı çizgisinde bir aralığı kaplıyorsa ise “SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER” olarak adlandırılır. Genellikle ölçümler sürekli rassal değişkenlerdir.

Kesikli rassal değişkenlerin olasılıklarını hesaplayabilir. 2. KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENİN OLASILIK VE KÜMÜLATİF OLASILIK FONKSİYONU   A) Kesikli Rassal Değişkenin Olasılık Fonksiyonu Kesikli bir rassal değişken X ve bu rassal değişkenin alabileceği değerler ise xi ile gösterilsin. Bu durumda kesikli bir X rassal değişkeninin belli bir x değerinin alma olasılığı x’in bir fonksiyonu olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. Px (x) = P(X=x) Kesikli bir rassal değişkenin olasılık fonksiyonunun iki özelliği vardır. Her x değeri için P(X = x) ≥ 0, X rassal değişkeninin herhangi bir x değerini alma olasılığı sıfırdan büyüktür veya eşittir.   , X rassal değişkeninin her bir x değerini alma olasılığın toplamı bire eşittir.

Kesikli rassal değişkenlerin olasılıklarını hesaplayabilir. ÖRNEK: Örneğin bir zar atıldığında gelen sonuç rassal değişken (X) iken, gelebilecek sonuçlar xi =1, 2, 3, 4, 5 ve 6’dır ve her birinin gelme olasılığı 1/6’dır. Bu durumda bu olayın olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi olacaktır. Px (x) = P(X=x) = 1/6 > 0 1/6 +1/6 +1/6 +1/6 +1/6 = 1 B) Kesikli Rassal Değişkenin Kümülatif Olasılık Fonksiyonu Kesikli bir rassal değişken olan X’in herhangi bir x0 değerini aşmama olasılığı Kümülatif Olasılık Fonksiyonu ile aşağıdaki gibi gösterilebilir. F(x0) = P (X ≤ x0 ) = Kesikli bir rassal değişkenin kümülatif olasılık fonksiyonunun iki özelliği vardır. 1. Her x0 değeri için 0 ≤ F(x0) ≤ 1arasındadır. 2. x0 < x1 ise , F(x0) ≤ F(x1) olur.

Kesikli rassal değişkenlerin olasılıklarını hesaplayabilir. ÖRNEK: Atılan bir zarın 3’ten küçük gelme olasılıklarının fonksiyonunu yazınız. Atılan bir zarın 3’ten küçük gelmesi 1 veya 2 gelmesi durumudur. F(x0) = P (X ≤ x0 ) = = 1/6 +1/6= 2/6 ÖRNEK: Atılan bir zarın 1’den büyük ve 6’dan küçük gelme olasılıklarının fonksiyonunu yazınız. Atılan bir zarın1’den büyük ve 6’dan küçük gelmesi 2, 3, 4 veya 5 gelmesi durumudur. F(x0) = P (X ≤ x0 ) = = 4/6

Binom dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir. İki sonuçlu rassal deneme aynı koşullar altında n kere tekrarlanırsa “BİNOM DAĞILIMI” adı verilen dağılım elde edilir. Bernoulli dağılımının özel bir şeklidir. Öncelikle, n tane deneme olduğu için n tane iki olasılıklı sonuç olacaktır. İncelenen olay başarı ya da başarısızlık ise n tane denemede x tane başarılı ve (n-x) tane başarısız sonuç olacaktır ve denemeler birbirinden bağımsız olduklarından sonuçların herhangi bir dizilimin olasılığı, tekil sonuçların olasılıklarının çarpımına eşittir ve aşağıdaki gibidir. P (x, n-x) = p.p.p………p.(1-p).(1-p)…….(1-p) = px (1-p)n-x Her bir denemenin başarılı olma olasılığı p ve başarısız olma olasılığı (1-p) dir. n tane rassal denemenin x tanesinin başarılı olma olasılık fonksiyonu: = P(x; n,p) = px (1-p)n-x şeklinde yazılır ve bu formül yardımıyla hesaplanır. x = 0, 1, 2, 3, ……n 4. BİNOM DAĞILIMI

Binom dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir. a) Binom Dağılımının Aritmetik Ortalaması, Varyansı ve Momentleri   Aritmetik ortalaması: µx = E (X) = n.p   Varyansı: = E [ (X - µx)2 ] = n.p. (1 – p)   Momentleri:   µ1 = 0 µ2 = µ3 = n.p.(1-p)[(1-p) – p] µ4 = n.p.(1-p)[(1-6 p(1-p)+3n.p(1-p)]   Asimetri (Çarpıklık) ve Basıklık Katsayıları: ÇK = ve BK = 3 +

Binom dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir. ÖRNEK: Bir madeni para 4 kere atılmaktadır. 0, 1, 2, 3 ve 4 tane yazı gelme olasılıklarını sırayla hesaplayınız. Bu bir Binom dağılımıdır ve olasılık fonksiyonu P(x; 4,0.5) = px (1-p)n-x olarak yazılır. 0 tane yazı gelme olasılığı: P(0; 4,0.5) = px (1-p)n-x = 0.50 0.54 = 0.0625 1 tane yazı gelme olasılığı: P(1; 4,0.5) = px (1-p)n-x = 0.51 0.53 = 0.25 2 tane yazı gelme olasılığı:   P(2; 4,0.5) = px (1-p)n-x = 0.52 0.52 = 0.375  

Poisson dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir. 5. POİSSON DAĞILIMI Binom dağılımının özel bir durumu olan Poisson dağılımı gözlem sayısının belli bir zaman diliminde çok yüksek ve beklenen sonucun gelme olasılığının çok küçük olduğu durumlarda kullanılır. Kısaca büyük n ve küçük p sahip olaylarda kullanılır. Aşağıdaki rassal değişkenler (olaylar) binom dağılım özelliği gösterirler. Sakarya’da son bir haftada meydana gelen yangın sayısı. Sakarya’da dün hastaneye gelen hastalardan ölen sayısı. Bir dönem içinde hatalı girilen not sayısı Bir yıl içinde ertelenen THY uçak sefer sayısı 200 sayfalık bir kitap da hatalı kelime sayısı

Poisson dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir. Yukarıda sayılan olayların (rassal değişkenlerin) büyük n ve küçük p olasılığına sahip oldukları için Poisson Olasılık dağılımının temsil edecektir. Yukardaki olayda beklenen sonuçların gerçekleşme olasılığı düşüktür. Diğer bir ifadeyle nadir gerçekleşen olaylardır. Bir olayın nadir kabul edilebilmesi ve Poisson Olasılık dağılımına sahip olabilmesi için genel kabul gören görüş; Rassal deneme sayısı n ≥ 50 olmalıdır. np = ʎ < 5 olmalıdır. Rassal denemeler iki sonuçlu olmalıdır ve aynı koşullar altında n kez tekrarlanmalıdır. Rassal denemeler birbirinden bağımsızdır.

Poisson dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir. Bu varsayımlar altında Poisson olasılık dağılımında X rassal değişkeni n deneme sonunda beklenen sonucun gerçekleşme sayısına göre x = { 0, 1, 2, …….n} değerleri alabilir. Poisson dağılımın olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilebilir. P(x) = , x = 0, 1, 2,……n Burada ʎ = np, beklenen sonucun ortalama gerçekleşme sayısını (Aritmetik ortalama), e = 2.71828 doğal logaritmanın tabanıdır.

Poisson dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir. ÖRNEK: 40000 öğrencisi olan Sakarya Üniversitesinde bir yıl içinde girilen hatalı notların aritmetik ortalaması ʎ = 0.4’tür. Bu örnekte; ʎ = 0.4 < 5   n = 40000 > 50   p = = = 0.00001   Rassal denemenin beklenen sonucu hatalı-hatasız olmak üzere iki sonuçludur ve n kez tekrarlanabilir. Bu şartlar altında bu olayın Poisson Olasılık dağılımına sahip olduğunu söyleyebilir ve olasılık fonksiyonunu aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. P(x) = = , x = 0, 1, 2, …….n ve

Poisson dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir. Bu Poisson dağılımının, Aritmetik ortalaması: µx = E (X) = n.p = ʎ = 0.4 Varyansı: = E [ (X - µx)2 ] = n.p. (1 – p) = ʎ = 0.4 Momentleri: µ1 = 0 µ2 = = ʎ = 0.4 µ3 = ʎ = 0.4 µ4 = ʎ + 3ʎ2 = 0.4 + 3 (0.4)2 = 0.88   Asimetri (Çarpıklık) ve Basıklık Katsayıları: ÇK = = = 1.58 BK = = 3 + = 3 + = 3 + 2.5 = 5.5 bulunur.

Poisson dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir. Bir yılda gerçekleşebilecek hata sayısının (x) olasılıkları hesaplayabiliriz. Bir yıl boyunca hiç hata olmama olasılığı:     P(x=0) = = = 0.67   Bir yıl boyunca bir adet hata olmama olasılığı:     P(x=1) = = = 0.268   Bir yıl boyunca iki adet hata olmama olasılığı:     P(x=2) = = = 0.0536   Bir yıl boyunca üç adet hata olmama olasılığı:     P(x=3) = = = 0.007

6. HİPERGEOMETRİK DAĞILIM Binom dağılımı rassal deneme sonuçlarının birbirinden bağımsız olduğunu varsaymaktaydı. Rassal denemelerin sonuçları birbirinden bağımsız değilse yani birinci rassal denemenin sonucu daha sonraki rassal denemelerin sonuçlarını etkiliyorsa Binom dağılımını kullanamayabiliriz. Bu gibi durumlarda iki sonuçlu rassal denemelerde özellikle örneklem sayısı küçükse “HİPERGEOMETRİK DAĞILIM” kullanılabilir. Burada dikkat edilmesi gereken örneklem sayısı artıkça Hipergeometrik dağılım Binom dağılıma yaklaşacaktır. Özellikle rassal denemeler iadesiz yapılırsa küçük örneklemlerde Hipergeometrik dağılım söz konusu olur.