Modern Fizik 8. Bölüm Schrödinger Denklemi

ÜÇ BOYUTLU SCHRÖDİNGER DENKLEMİ

KONU BAŞLIKLARI 1)Erwin Schrödinger Hakkında Kısa Bilgiler 2) Üç Boyutlu Schrödinger Denklemi ve Kısmi Türevler 3)İki Boyutlu Kuyu Potansiyeli 4)Değişken Ayrımı Yöntemi 5)Enerji Düzeyleri 6)Kuantum Sayıları 7)Katlı Durumlar 8)İki Boyutlu Merkezcil Kuvvet 9)Üç Boyutlu Merkezcil Kuvvet

Erwin Schrödinger Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (12 Ağustos 1887 – 4 Ocak 1961), Avusturyalı fizikçi. Kuantum mekaniğine olan katkılarıyla, özellikle de 1933'te kendisine Nobel Ödülü kazandıran Schrödinger Denklemi'yle tanınır. Schrödinger'in Kedisi diye bilinen düşünce deneyini önermiştir.

Üç Boyutlu Schrödinger Denklemi ve Kısmi Türevler =>Erwin Schrödinger, de Broglie’nin madde tarafından oluşturulmuş ve onunla birlikte hareket eden dalgasını, farklı fiziksel problemlere matematiksel olarak uyarladı. Klasik fizikten yola çıkarak Schrödinger, parçacık ya da parçacıklar sisteminin farklı yerlerde ne seviyeye kadar var olduğunu gösteren bir dalga fonksiyonu y (x,y,z) oluşturdu. =>Schrödinger denklemi, bir kuantum sisteminin çözümlenmesinde sonuca ulaşmamızı sağlayan aracı bir dalga fonksiyonudur. Kuantum dalga sistemlerinin uzaya ve zamana bağlı değişimini ifade eden denklemi ilk keşfeden Avusturyalı fizikçi Erwin Schrödinger olmuştur. Bundan dolayı bu tarihten sonra Schrödinger denklemi adıyla kalmıştır.

=>Kuantum mekaniğinin kurucularından olan Max Planck'ın 1900 yılında ortaya attığı “kuantum varsayımları” yayınından sonra, 1924'de ortaya çıkan yeni fikir de Broglie varsayımı ve 1927 yılında ortaya atılan Heisenberg Belirsizlik İlkesi bilim camiasında yeni teorilerin doğmasına neden olmuştur. Bu ilerlemeler ile, Max Planck'ın kuantum varsayımları ve Schrödinger'in dalga mekaniği ile kuramları birleştirilerek kuantum mekanik kuramını ortaya çıkarmıştır.

İki Boyutlu Kuyu Potansiyeli =>Potansiyel kuyusu, bir parçacığın bağlı olması durumunu modelleyen sistemdir. =>Tek boyutta uygulanan potansiyel, şeklinde verilir. Burada parçacık görüldüğü üzere a genişlikli sonsuz kuyunun içine hapsolmuştur. Parçacık için Schrödinger denklemi yazılırsa:

=>İki boyutlu kuyu potansiyelinde parçacık kare kesitli bir kuyu içinde serbestçe hareket edebilir ve kuyu dışına çıkamaz. http://www.youtube.com/watch?v=IOYyCHGWJq4 Böyle bir sisteme klasik bir örnek olarak, kenarları yükseltilmiş ve kare şeklinde bir bilardo masa üzerinde serbestçe hareket eden bir top düşünebiliriz.Kuantum örnek olarak kare şeklinde bir metal parçası içindeki elektronlar gösterilebilir. Kuyu içinde klasik bir parçacık varsa, U=0 olduğundan parçacığın E enerjisi tümüyle kinetik olur ve E değeri 0 ve sonsuz da dahil olmak üzere iki değer arasında bir değer alır.

Değişken Ayrımı Yöntemi Kısmi diferansiyel denklem çözümünde değişken ayrımı denilen bir yöntem vardır.Bu yönteme göre bir denklemin çözümü şu şekilde aranır: Burada X(x) sadece x değişkenine bağlı bir fonksiyon, Y(y) de sadece y değişkenine bağlı diğer bir fonksiyondur.Matematik teorisine göre, bu denklemlerin her çözümü değişkenleri ayrılmış çözümleri cinsinden ifade edilebilir.Bunun anlamı; üstteki eşitlikte gördüğümüz yapıdaki tüm çözümleri bulmuş olmamız anlamını taşır. Üstteki denklemin çözümünü Schrödinger denkleminde kullanmak istersek iki yönden kolaylık sağlarız.Birincisi kısmi türevler basitleşir.Örneğin; kısmi türevini ele alalım. Burada türevi alırken y sabit tutulmalıdır.O hâlde, Y(y) terimi türevin dışına alınabilir.

X(x) fonksiyonu sadece x değişkenine bağlı olduğundan kısmi türev normal değerine dönüşür. Bu ifade Schrödinger denkleminde kullanılırsa

Bu denklemin sağ tarafı x ve y den bağımsız bir sabittir Bu denklemin sağ tarafı x ve y den bağımsız bir sabittir.O hâlde denklemimiz şu yapıdadır. (x in fonksiyonu)+(y nin fonksiyonu) = Sabit Bu eşitlik kuyu içindeki her x,y için geçerlidir.Y fonksiyonunu sağ tarafa alalım: (x in fonksiyonu) = Sabit – (y nin fonksiyonu) Bu bağıntıya göre, x in fonksiyonu olan sol taraf, x e bağlı olmayan bir sağ tarafa eşit olmalıdır.Bu fonksiyon x den bağımsız olmalıdır.O hâlde, X’’/X fonksiyonu bir sabite eşit olmalıdır: X’’(x)/X(x) = Sabit

Enerji Düzeyleri E enerjisini en son (X’’(x)/X(x)+Y’’(y)/Y’’(y)= -2M E / h^2) şeklinde hatırlatmıştık. Enerji seviyesi (veya Yörünge), atom çekirdeğinin etrafında katman katman biçiminde bulunan kısımların her biridir. Bu yörüngelerde elektronlar bulunur.[1] Yörüngenin numarası; 1, 2, 3, 4, ... gibi sayı değerlerini alabilir. Yörünge numarasına Baş kuantum sayısı da denir ve "n" ile gösterilir. Yörünge numarası ile yörüngenin çekirdeğe uzaklığı doğru orantılıdır.[2] Bir yörüngede kaç elektron bulunduğunu hesaplamak için 2•n2 parametresi kullanılır. n, burada "yörünge numarası" veya "Baş kuantum sayısı" adıyla anılır.

Bir atomdaki elektronların enerji seviyeleri: temel seviye ve uyarılmış seviyelerdir. Enerjiyi emdikten sonra bir elektron temel seviyeden daha yüksek enerjili bir uyarılmış seviyeye zıplayabilir.

Kuantum mekaniği sistemi veya bağlanmış(uzayda hapsedilmiş)parçacığı, sadece bazı özel enerji değerleriyle ilgilenir. Bu herhangi bir enerji alabilen klasik parçacıklarla çelişir. Bu farklı değerlere enerji seviyeleri denir. Bu terim genel olarak çekirdeğin elektrik alanıyla bağlanmış molekül ve atomların içindeki elektronların enerji seviyeleri için kullanılır. Böyle özel enerji seviyeleriyle olan enerji yelpazesi sistemine de nicelikleşmiş denir. Eğer potansiyel enerji molekül veya atomik çekirdekten sonsuz mesafede sıfırlanırsa, bağlanmış elektron durumu, negatif potansiyel enerji durumu vardır. Eğer bir atom, molekül ya da iyon mümkün en düşük enerji seviyesinde ise elektronları n temel seviyede olduğu söylenir. Eğer daha yüksek enerji seviyelerinde ise elektronları uyarılmış seviyede olduğu söylenir. Eğer birden fazla kuantum mekanik durumu aynı enerjideyse enerji seviyeleri yozlaşmıştır(bozulmuştur). O zaman bunlara yozlaşmış enerji seviyeleri denir.

Enerji Seviyesi Dönüşümleri E2 den E1 ye olan enerji seviyesindeki azalış, enerjisi h νolan ve kırmızı kıvrımlı ok ile gösterilen bir fotonun yayılımına neden olur.

Kuantum Sayıları Tek boyutlu kuyuda olduğu gibi, iki boyutlu kuyuda da enerjiler kuantalanmıştır.Burada tek fark, bir boyutlu enerji düzeyleri sadece n gibi bir tamsayıya bağlı iken, iki boyutlu enerji düzeyleri nx, ny gibi iki tamsayıya birden bağlıdır.Alabileceği değerler bir tamsayı parametreye bağlı büyüklüklerdir.Bir fiziksel büyüklüğün değerini belirleyen tamsayı veya yarım tamsayılara “kuantum sayıları” denir.Buna göre, iki boyutlu kuyuda enerji düzeyleri nx, ny gibi iki kuantum sayısıyla belirlenir.

Kuantum mekaniğinde, atomlardaki elektron dağılımlarını anlayabilmek için üç kuantum sayısı gereklidir. Bu sayılar şöyle sıralanabilir;  Baş kuantum sayısı (n); bu sayı büyüklüğü belirtir.  Yan kuantum (orbital) sayısı (ℓ); şekil belirtir.  Manyetik kuantum (orbital) sayısı (mℓ); uzaydaki yönelmeyi belirtir. Spin kuantum sayısı (ms) olarak bilinen bir kuantum sayısı daha vardır. Bu sayı ise belirli bir elektronun davranışını açıklar. Tüm bu sayılar kullanılarak atomlardaki elektronların tanımlanması gerçekleşmiş olur.

Katlı Durumlar Aynı bir E enerjisine karşılık gelen N sayıda bağımsız dalga fonksiyonu varsa (N > 1), E enerjili düzeyin N kez katlı olduğu söylenir.Bir E değerine bir dalga fonksiyonu karşılık geliyorsa katlı değildir.

Potansiyeller Schrödinger denklemi genelde üç potansiyel durumu için çözülür.

İki Boyutlu Merkezcil Kuvvet Merkezcil kuvvet, dairesel hareket sırasında cismi yörüngede tutan kuvvettir. Merkezcil kuvvet, hız vektörünün büyüklüğünü değiştirmez ancak yönünü değiştirir. Bu yüzden bir merkezcil ivme oluşur. Merkezcil kuvvetin yönü, merkezcil ivmenin yönüyle aynı yani merkeze doğrudur ve çizgisel hıza diktir. (bu sebepten hızın büyüklüğü değişmez)

Merkezcil bir kuvvet hep O merkezine yöneliktir Merkezcil bir kuvvet hep O merkezine yöneliktir.Parçacık r (OP) yarıçapına dik olarak yer değiştirdiğinde, kuvvet iş yapmaz ve U potansiyel enerjisi sabit kalır.

Açısal Momentumun Kuantalanması

Elektron Düzeni ve Atomik Alt Kabuk Modeli

Üç Boyutlu Merkezcil Kuvvet Üç boyutlu merkezcil kuvvet problemi iki boyutlu probleme oldukça yakındır.Ancak, üçüncü boyutun getirdiği matematiksel zorluklar vardır. Potansiyel enerji parçacığın sadece O kuvvet merkezine olan uzaklığı “r” ye bağlı olduğundan, bu r koordinatını içeren özel bir koordinat sistemi seçmek kolaylık sağlar.