Bölüm 5 Olasılığa Giriş Dr. Halil İbrahim CEBECİ İstatistik Ders Notu

Olaylara Olasılık Atamak İstatistiksel çıkarsama konusunun temelini olasılık kavramı oluşturur. Çünkü olasılık örneklem ile ana kütle arasındaki bağlantıyı kurar. Rassal Deney: Olası rassal sonuçların birini üreten aksiyon veya proses. Örn. Yazı tura atma (Yazı veya tura), Bir öğrencini dersteki durumu (Kötü, vasat, iyi, çok iyi, mükemmel) İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Ö𝑟𝑛𝑒𝑘 𝑢𝑧𝑎𝑦=𝑆= 𝑂 1 , 𝑂 2 , …, 𝑂 𝑘 Olaylara Olasılık Atamak Örnek Uzayı: Rassal deneylerin olası bütün sonuçlarını kapsayan değerler kümesidir. Olası bütün sonuçlar içerilmeli (eksiksiz) İki sonuç aynı anda olmamalı (Ortak değer olmamalı , tekil olmalı) Ö𝑟𝑛𝑒𝑘 𝑢𝑧𝑎𝑦=𝑆= 𝑂 1 , 𝑂 2 , …, 𝑂 𝑘 İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

0≤𝑃 𝑂 𝑖 ≤1 Her bir 𝑖 değeri içim Olaylara Olasılık Atamak Olasılık Gereksinimleri: Ö𝑟𝑛𝑒𝑘 𝑈𝑧𝑎𝑦𝚤𝑛 𝑆= 𝑂 1 , 𝑂 2 , …, 𝑂 𝑘 , şeklinde verildiği durumlarda iki temel olasılık gereksinimi sağlanmalıdır. Bütün olasılık değerleri 0 ile 1 arasında yer almalıdır. That is , 0≤𝑃 𝑂 𝑖 ≤1 Her bir 𝑖 değeri içim 2.Bir örnek uzay içerisindeki bütün olasılıkların toplamı 1 değerine eşittir. 𝑖=1 𝑘 𝑃 𝑂 𝑖 =1 İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Olasılık Atama Yaklaşımları Olay: Örnek uzaydaki her bir sonuçtur.. Örn. AA notu için gerekli notlar(𝐴= 80, 81, 82,…, 99,100 ) Olayların olasılıkları: Bir olayın olma olasılığı, alt olayların olma olasılıklarının toplamıdır. Örn5.1 – Bir sınıftaki notların görülme olasılıkları; 𝑃 𝐴 =0.2, 𝑃 𝐵 =0.3, 𝑃 𝐶 =0.25, 𝑃 𝐷 =0.15, 𝑃 𝐹 =0,1 ise, dersi başarı ile geçme olasılığı (D ve üstü alma); 𝑃 𝐷𝑒𝑟𝑠 𝐺𝑒ç𝑚𝑒 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 +𝑃 𝐶 +𝑃 𝐷 =0.90 İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Olasılığı Yorumlamak Olasılık tanımını aşağıdaki şekilde yorumlayabiliriz: Bir rassal deney sonsuz sayıda gerçekleştirilebilirse, her bir çıktının göreceli frekans değeri onun olasılığını verir. For example, bir paraya çok fazla sayıda havaya atıp, yazı ve tura gelme durumunu çetele yardımıyla tutarsak. Bu çeteledeki yazı ve turanın gelmesinin göreceli frekanslarının 0.5 değerine yakınsadığını gözlemleyebiliriz. İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Birleşik Olasılık (Kesişim) İki olayın birlikte olması olasılığına birleşik olasılık (Joint Probability) denir. (Bir A olayı ile B olayının olası sonuçlarının kesişimi) Örn5.2 – Bir analizci bir yatırım fonunun başatıyla yönetilmesi ile fon yöneticisinin MBA derecesi olması arasındaki ilişkiyi sorgulamaktadır. Aşağıdaki verilen olasılıkları dikkate alarak bu durumu analiz edin. Yatırım Fonunun Başarılı Olması Başarısız Olması MBA Dereceli Fon Yöneticisi 0.11 0.29 MBA Derecesi olmayan Fon Yöneticisi 0.06 0.54 İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Aynı Anda Olma Olasılığı (Kesişim) C5.2 – Olaylara ait notasyon aşağıda sunulmuştur. 𝐴 1 =𝑀𝐵𝐴 𝐷𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒𝑙𝑖 𝐹𝑜𝑛 𝑌ö𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖𝑠𝑖 𝐴 2 =𝑀𝐵𝐴 𝐷𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖 𝑂𝑙𝑚𝑎𝑦𝑎𝑛 𝐹𝑜𝑛 𝑌ö𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖𝑠𝑖 𝐵 1 =𝑌𝑎𝑡𝚤𝑟𝚤𝑚 𝐹𝑜𝑛𝑢𝑛𝑢𝑛 𝐵𝑎ş𝑎𝑟𝚤𝑙𝚤 𝑂𝑙𝑚𝑎𝑠𝚤 𝐵 2 =𝑌𝑎𝑡𝚤𝑟𝚤𝑚 𝐹𝑜𝑛𝑢𝑛𝑢𝑛 𝐵𝑎ş𝑎𝑟𝚤𝑠𝚤𝑧 𝑂𝑙𝑚𝑎𝑠𝚤 Birleşik olasılıklar aşağıdaki gibidir. 𝑃 𝐴 1 𝑣𝑒 𝐵 1 =0.11 𝑃 𝐴 2 𝑣𝑒 𝐵 1 =0.06 𝑃 𝐴 1 𝑣𝑒 𝐵 2 =0.29 𝑃 𝐴 2 𝑣𝑒 𝐵 2 =0.54 İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Marjinal Olasılık Marjinal Olasılıklar Yatırım Fonunun Başarılı Olması Başarısız Olması Toplam MBA li Fon Yöneticisi 𝑃 𝐴 1 𝑣𝑒 𝐵 1 =0.11 𝑃 𝐴 1 𝑣𝑒 𝐵 2 =0.29 𝑃 𝐴 1 =0.40 MBA siz Fon Yöneticisi 𝑃 𝐴 2 𝑣𝑒 𝐵 1 =0.06 𝑃 𝐴 2 𝑣𝑒 𝐵 2 =0.54 𝑃 𝐴 2 =0.60 𝑃 𝐵 1 =0.17 𝑃 𝐵 2 =0.83 Marjinal Olasılıklar İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Şartlı Olasılık Şartlı olasılık iki olayın birbiri ile ne kadar ilgili olmasıyla alakalıdır. Bir olayın olma olasılığı biliniyorken, ikinci olayın olma olasılığı şeklinde ifade edilir. 𝐵 olayının olma olasılığı biliniyorken 𝐴 olayının olma olasılığı (Şartlı olasılık) 𝑷(𝑨 | 𝑩) şeklinde ifade edilir ve aşağıdaki gibi hesaplanır. 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴 𝑣𝑒 𝐵) 𝑃(𝐵) İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Şartlı Olasılık Ex5.3 – Owens Üniversitesindeki Dean ekonomi okulu öğrencilerinin tercih ettikleri anabilim dalları ile ilgili bilgi toplamaktadır. Erkek Bayan Toplam Muhasebe 170 110 280 Finans 120 100 220 Pazarlama 160 70 230 Yönetim 150 270 600 400 1000 Bir öğrencinin bayan olduğu biliniyorsa, o öğrencinin muhasebe okuma ihtimali nedir? Statistics Lecture Notes – Chapter 05

𝐴:Öğ𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑙𝑒𝑟𝑖𝑛 𝑚𝑢ℎ𝑎𝑠𝑒𝑏𝑒𝑦𝑒 𝑑𝑎𝑙𝚤𝑛𝑎 𝑘𝑎𝑦𝚤𝑡 𝑜𝑙𝑚𝑎𝑠𝚤 𝐹:Öğ𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑛𝑖𝑛 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑖𝑦𝑒𝑡𝑖 Şartlı Olasılık A5.3 – Rassal olaylar aşağıdaki gibidir. 𝐴:Öğ𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑙𝑒𝑟𝑖𝑛 𝑚𝑢ℎ𝑎𝑠𝑒𝑏𝑒𝑦𝑒 𝑑𝑎𝑙𝚤𝑛𝑎 𝑘𝑎𝑦𝚤𝑡 𝑜𝑙𝑚𝑎𝑠𝚤 𝐹:Öğ𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑛𝑖𝑛 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑖𝑦𝑒𝑡𝑖 𝑃 𝐴 𝐹 = 𝑃(𝐴 𝑣𝑒 𝐹) 𝑃(𝐹) = 110 1000 400 1000 =0.275 Statistics Lecture Notes – Chapter 05

Bağımsızlık 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵) Şartlı olasılık hesaplanırken dikkat edilmesi gerek iki olayın ilişkili (bağımlı) olmasıdır. İki farklı olay birbiri ile ilgili değilse, yani birbirinden bağımsız ise o zaman şartlı olasılıklar olayın marjinal olasılığına eşit olur. Eğer iki olay bağımsız ise 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵) İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Bağımsızlık 𝑃 𝐴 1 𝐵 1 = 𝑃( 𝐴 1 𝑣𝑒 𝐵 1 ) 𝑃( 𝐵 1 ) = 0.11 0.17 =0.647 Örn5.3 – Örn5.2 deki değerleri dikkate alarak fon yöneticisinin MBA derecesi olması olasılığı biliniyorken yatırım fonunun başarılı olması olasılığını hesaplayınız. 𝑃 𝐴 1 𝐵 1 = 𝑃( 𝐴 1 𝑣𝑒 𝐵 1 ) 𝑃( 𝐵 1 ) = 0.11 0.17 =0.647 Fon yöneticisinin MBA derecesi olmasının marjinal olasılığı aşağıdaki gibidir. 𝑃 𝐴 1 =0.40 İki olasılık birbirine eşit olmadığından bu iki olayın birbirine bağlı olduğu (ilişkili olduğu) sonucuna ulaşabiliriz. İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Birleşim 𝑃 𝐴 1 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐵 1 =𝑃 𝐴 1 𝑣𝑒 𝐵 1 +𝑃 𝐴 1 𝑣𝑒 𝐵 2 +𝑃 𝐴 2 𝑣𝑒 𝐵 1 Diğer olayların bir kombinasyonu şeklinde yazılan yeni bir olaya birleşim adı verilir. A ve B olaylarının birleşimi, A veya B olayının olması ihtimaline eşittir. Örn5.4 – Örn5.2 deki değerleri dikkate alarak, Rastgele seçilen bir fonun başarılı olması veya yöneticisinin MBA derecesi olmasının olasılığı kaçtır. 𝑃 𝐴 1 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐵 1 =𝑃 𝐴 1 𝑣𝑒 𝐵 1 +𝑃 𝐴 1 𝑣𝑒 𝐵 2 +𝑃 𝐴 2 𝑣𝑒 𝐵 1 𝑃 𝐴 1 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐵 1 =0.11+0.06+0.29=0.46 Kısa Yol: 𝑃 𝐴 1 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐵 1 =1−𝑃 𝐴 2 𝑣𝑒 𝐵 2 =1−0.54=0.46 İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Olasılık kuralları ve Olasılık Ağacı Tümleme kuralı: Bir A olayının tümleyeni, A olayının meydana gelmemesi olasılığına eşittir. Aşağıdaki şekilde ifade edilir. 𝑃( 𝐴 ) = 1 – 𝑃(𝐴) Bir zar atma deneyinde 1 gelme olasılığı 𝑃 𝐴 =1/6 dır. A olayının tümleyeni ise 𝑃 𝐴 = 1 – 𝑃 𝐴 =1− 1 6 = 5 6 şeklindedir. İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Olasılık kuralları ve Olasılık Ağacı Çarpım Kuralı: Çarpım kuralı olayların birleşik olasılıkları ile ilgilidir. Şartlı olasılık formülüne dayanır. Eğer denklemin iki tarafını da 𝑃(𝐵) ile çarparsak: 𝑃(𝐴 𝑣𝑒 𝐵) = 𝑃(𝐴 | 𝐵)∗𝑃(𝐵) Benzer şekilde, 𝑃(𝐴 𝑣𝑒 𝐵) = 𝑃(𝐵 | 𝐴) ∗ 𝑃(𝐴) Eğer A ve B bağımsız olay ise, 𝑃 𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗𝑃(𝐵) 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴 𝑣𝑒 𝐵) 𝑃(𝐵) İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Olasılık kuralları ve Olasılık Ağacı Toplama Kuralı: A veya B olayının birlikte olma olasılığı aşağıdaki şekilde hesaplanır. 𝑃(𝐴 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) – 𝑃(𝐴 𝑣𝑒 𝐵) İki olayın kesişimini toplamdan neden çıkarıyoruz !!! 𝑃(𝐴 𝑜𝑟 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) – 𝑃(𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵) İki olay ayrık ise İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Olasılık kuralları ve Olasılık Ağacı Olasılık Ağaçları: Bir deneydeki olayların çizgiler halinde ifade edildiği olasılık ağacı efektif ve basit bir metottur. Örn5.5 – Hukuk fakültesinden mezun olmak isteyen öğrenciler BAR sınavını geçmek zorundadır. İlk defa bu sınava girenlerin %72 si başarılı olmaktadır. İlk defa kalanlara ikinci bir şans tanınmaktadır. İkinci defa teste girenler ise %88 lik bir oranda başarılı olmaktadır. Rastgele seçilin bir hukuk fakültesi öğrencisinin avukat olma olasılığı nedir. Geçen 0.88 Kalan 0.28 Geçen 0.72 İlk Sınav İkinci Sınav Geçen (0.72) 0.72 İkincide Geçen(0.28*0.88) 0.2464 Kalan (0.28*0.12) 0.0336 Birleşik Olasılık Kalan 0.12 İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Bayes Teoremi Olasılık uzayının birden fazla bölünmesi durumundaki olasılıkların hesaplanmasında kullanılır. Statistics Lecture Notes – Chapter 05

Bayes Teoremi Üretim Yüzdesi Tam dolmayan Şişe (%) A 55 3 B 45 4 Ex5.7 – Pepsi Cola son zamanlarda şişelerinin tam dolmadığı ile ilgili şikayetler almaktadır. Firma yöneticisi ise bu şikayetlerin hangi dolum tesisi (A veya B) ile alakalı olduğunu bilmek istemektedir. Tam dolu olmayan bir şişenin A fabrikasından gelme olasılığı nedir?   Üretim Yüzdesi Tam dolmayan Şişe (%) A 55 3 B 45 4 Statistics Lecture Notes – Chapter 05

Bayes Teoremi A5.7 Dolmayan şişenin A fabrikasından gelme olasılığının, herhangi bir şişenin A fabrikasından gelme olasılığından daha düşük olduğuna dikkat ediniz. Statistics Lecture Notes – Chapter 05

Çalışma Soruları S5.1 – Bir imalat firması iş saatlerinin olası değişimi ile ilgili işçi tepkilerini ölçmek için bir anket düzenlemiştir. Cevapların oranı aşağıdaki tabloda sunulmuştur. Rastgele seçilen bir çalışan için aşağıdaki olaylar tanımlanmıştır: A: Üretimde çalışan işçiler B: İş saati değişimine katılan işçiler Aşağıdaki olasılıkları açıklayın ve değerlerini hesaplayınız. a) 𝐴 b) (𝐴 𝑜𝑟 𝐵) c) (𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵) d) (𝐴 𝑜𝑟 𝐵 ) Reaksiyon Çalışma Alanı Katılan Katılmayan Üretim 17 23 Ofis 8 2 İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Çalışma Soruları S5.2 - Bir imalat firması iş saatlerinin olası değişimi ile ilgili işçi tepkilerini ölçmek için bir anket düzenlemiştir. Cevapların oranı aşağıdaki tabloda sunulmuştur. Rastgele seçilen bir çalışan için aşağıdaki olaylar tanımlanmıştır: A: Erkek işçiler B: İki yıldan fazla süredir çalışan işçiler Aşağıdaki olasılıkları açıklayın ve değerlerini hesaplayınız a) 𝐵 b) (𝐴 𝑜𝑟 𝐵) c) (𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵) d) ( 𝐴 𝑜𝑟 𝐵 ) İş Tecrübesi Erkek Kadın 2 yıldan az 28 26 2 yıldan fazla 82 64 İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Çalışma Soruları Q5.3 – Bir muhasebe firması on zamanlarda yapılan vergi miktarları değişimi ile ilgili bir rapor hazırladığını reklamla duyurmuştur. 3 farklı yoldan firmaya ulaşan 200 müşteri raporun hangi kısmını edinmek istediğini firmaya bildirmiştir. Belirlenen iki rassal olay aşağıdadır: A: Ticari vergi ile öncelikli olarak ilgilenen müşteriler B: Raporun varlığını gazeteden öğrenen müşteriler. Aşağıdaki olasılıkları açıklayın ve değerlerini hesaplayınız : a) 𝑃 𝐴 𝐵 b) 𝑃 𝐵 𝐴 c) 𝑃 𝐴 𝐵 d) 𝑃 𝐴 𝐵 Primary Interest Radio Newspaper Word of Mouth Personel Tax 34 20 26 Coorporate Tax 36 70 14 İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Çalışma Soruları Q5.4 – Bir firma yeni açıkladığı diş ve sağlık sigortası planı üzerinde işçilerinin düşündüklerini öğrenmek istemektedir. Sonuçlara göre sağlık sigortasını beğenen işçiler % 81 iken, diş planını beğen işçiler ise %35 olarak görülmektedir. Ayrıca Sigorta planını beğenenlerin %30 u ayrıca diş planını da beğenmektedir. İki planı da beğenen toplam işçi oranı nedir? En az bir planı beğenen işçilerin oranı nedir? İstatistik Ders Notu – Bölüm 05

Çalışma Soruları S5.4 – A ve B olayları olduğunu düşünün, 𝑃(𝐴) =0.2, 𝑃(𝐵) =0.6, ve 𝑃(𝐴 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐵) =0.68 ise 𝑃(𝐴 𝑣𝑒 𝐵) olasılığını bulunuz. A ve B bağımsız olaylar mıdır? A ve B ayrık olaylar mıdır? S5.5 – Bir elektrik firması yapılan işlerin ücretlerinin %90 nının ilk 30 gün içerisinde ödendiğini belirlemiştir. Geri kalan müşterilerin ise %40 sonraki 30 günde ödeme yapmaktadır. Rastgele seçilen bir müşterinin 60 gün içerisinde ödeme yapma olasılığı nedir? S5.6 – Bir otomobil tamircisi bir araçtan çıkardığı 6 bujinin ikisinin arızalı olduğunu görmüştür. Bu 6 buji arasından rastgele seçilen 2 tanesinin tam olarak birinin arızalı olması olasılığı nedir? İstatistik Ders Notu – Bölüm 05