Örnekleme Örneklemeye sonlu bir anakütlenin bütün birimlerinin incelenmesi işlemi olan tamsayımın "olanaksız" veyahut "fiziksel zarara uğratıcı“ olması durumunda başvurulmaktadır. İş hayatında örneklemenin yaygınlıkla kullanıldığı alanlardan biri olan "kalite kontrolu“ ile ilgili örnekler bu hususu kanıtlar niteliktedir.

Örnekleme Örneğin, üretilen bütün mermilerin patlayıp patlamadığı denense geriye sadece patlamayan mermiler ile patlayan mermilerin boş kovanları kalır. Üretilen bütün kiremitlerin dayanıklı olup olmadığı denendiğinde ise, yerler kiremit parçalarıyla dolar taşar. Konservelerin kalitesini kontrol etmek amacıyla bütün konserve kutularını açmanın saçmalığını açıklamak bile gerekmez.

Örnekleme Üretimi %100 kontrol etmek maliyetin birkaç katına çıkmasına yol açar ki, böyle bir davranışın kabul edilemeyeceği açıktır. %100 kontrol yapma kararı alınsa bile, bu karar çoğu zaman arzu edilen sonucu sağlayamaz. Bunun nedenleri, yeterli sayıda nitelikli eleman bulunamaması, bulunsa bile bu elemanların zamanla rutin bir tempoya girmesi ve dolayısıyla dikkatlerini yeterince koruyamamasıdır.

Örnekleme Örneklemede birimlerin bir kısmı gözlemlenir ve sonuçlar bunların tamamı için genelleştirilir. Örnekleme "planlama", "veri toplama" ve "verilerin çözümlenmesi ve sonuçların elde edilmesi" olmak üzere üç aşamada gerçekleştirilir.

Örnekleme Planlama aşamasında a) Anakütle belirlenir ve -eğer olanaklı ise- bir çerçeve oluşturulur b) Gözlem tekniği seçilir c) Soru kağıtlarının tasarlanması ve ölçme aracının seçilmesi vb. kararlar verilir d) Örnekleme tekniği seçilir e) İstatistiksel tahmin ve karar alma teknikleri belirlenir f) Kesinlik, güvenilirlik ve maliyet göz önüne alınarak gerekli örneklem hacmi hesaplanır.

Örnekleme Veri toplama aşamasında a) Örnekleme birimleri seçilir ve b) Gözlem birimlerinden ayrı ayrı bilgi toplanır.

Örnekleme Nihayet verilerin çözümlenmesi ve sonuçların elde edilmesi aşamasında a) Örneklem istatistikleri hesaplanır, b) Anakütle parametreleri tahmin edilir ve c) Anakütle parametrelerine ilişkin hipotez testleri yapılır.

Örnekleme Genellikle küçük hacimli anakütlelere uygulanan tamsayımın amacı anakütle için "ortalama", "standart sapma", "oran" vb. parametrelerin hesaplanmasına temel oluşturacak verileri toplamaktır. Buna karşılık, örneklemede rassal olarak seçilen "n" hacimli bir örneklemden elde edilen veriler "ortalama", "standart sapma", "oran" vb. bir istatistiğin hesaplanmasını amaçlamaz.

Örnekleme Diğer bir deyişle, bu istatistikler kendi başına bir anlam taşımayıp araç durumundadır. Örneklemenin genel amacı, örneklem istatistiklerini "kanıt" olarak kullanarak, anakütle parametrelerini tahmin etmek veya bunlar hakkında hipotez testi yapmaktır.

Örnekleme Bir tanım vermek gerekirse örnekleme bir ana kütleden rassal olarak seçilmiş ve daha az sayıda birimden oluşan bir örneklemi inceleyerek genelleme yapma işlemidir.

Örnekleme Örneklemenin kullanım alanları Gelir dağılımı ve eğitim ile ilgili bilgi toplamada Kamuoyu araştırmalarında Tüketim kompozisyonun belirlenmesinde Pazarlama araştırmalarında Seçim tahminlerinde Biyolojik, demografik, tıbbi,psikolojik bir çok araştırmada Kalite yönetiminde Mamul testlerinde

Anakütle ve Örneklem Hakkında bilgi edinilmek istenen ve biçimsel homojenliğe sahip (belirli bir tanıma uyan) birimlerin oluşturduğu topluluğa "ana kütle", gözlemlenmek üzere bu ana kütleden seçilen birimlerden oluşan ve ana kütlenin bir parçası olan alt topluluğa ise "örneklem" adı verilir.

Anakütle ve Örneklem Örneklemlerin seçildikleri anakütleler belirli sayıda birimlerden oluşabileceği gibi, sonsuz derecede büyük de olabilir. İlk durumda "sonlu anakütle", ikinci durumda ise "sonsuz anakütle" söz konusu olur.

Anakütle ve Örneklem Sonlu anakütlenin kapsadığı birimlerin sayısı, anakütle hacmi örneklemin kapsadığı birimlerin hacmi ise örneklem hacmi şeklinde adlandırılır. Anakütle hacmi N ise örneklem hacmi n ile gösterilir. n/N oranına örneklem oranı, bunun tersi N/n oranına ise büyütme faktörü denir. Uygulamada örneklem oranının 0,5’den daha büyük olması durumunda örneklem avantajlı sayılmaz. Uygulamada çoğu kez bu oran 0,2’ye bile çıkmaz

Anakütle ve Örneklem Hakkında bilgi edinilmek istenen anakütleye "hedef anakütle", içerisinden örneklem alınan anakütleye ise "örneklenen anakütle" adı verilir. Hedef anakütle ile örneklenen anakütle bazen aynı, bazen de farklı olabilir. Söz konusu anakütleler aynı olduğunda, örnekleme sonucunda elde edilen bilgiler hedef anakütle hakkında tahmin yapmada kullanılabilir. Aksi durum ise, bizi yanlış sonuçlara götürür.

Anakütle ve Örneklem Örneğin, belli bir yılda Türkiye'de trafiğe kayıtlı otomobillerle ilgili bir araştırma yapmak istediğimizi varsayalım. Örneklenen anakütleyi belli yılda Bursa'da trafiğe kayıtlı otomobiller oluştursun. Bursa'dan elde edilecek sonuçlar sadece Bursa'da trafiğe kayıtlı otomobiller için değil de, hedef anakütle olan Türkiye'de trafiğe kayıtlı otomobiller için yorumlandığında hataya düşülmüş olur.

Örnekleme Teknikleri Rassallık "olasılık hesabına dayanan teknik" niteliğindeki örnekleme tekniklerinin en belirgin özelliğidir. Diğer bir deyişle, "rassal" kelimesi anakütle birimleri arasından yapılacak seçimin olasılık kurallarına uymasını ifade eder.

Örnekleme Teknikleri Gözlemlenecek bir kısım birimin rassal şekilde seçilmesi ilkesine uyulmak koşuluyla, basit rassal örnekleme "tabakalı örnekleme, çok kademeli örnekleme", "kümelere göre örnekleme ve çok aşamalı örnekleme" gibi örnekleme girecek birimlerin belirlenmesine olanak sağlayan çeşitli örnekleme tekniklerinden söz edilebilir.

Basit Rassal Örnekleme Basit rassal örnekleme N hacimli bir anakütleden bağımsız olarak seçilebilecek birbirinden farklı ve n hacimli örneklemden hebirine eşit seçilme şansı tanıyan bir örnekleme tekniğidir. Bu tekniğin uygulanmasında anakütle kısımlara ayrılmaksızın, birimler arasından anakütlenin tamamını temsil edecek bir örneklem rassal olarak seçilir.

Basit Rassal Örnekleme Anakütleden seçilebilecek n hacimli bütün örneklerin seçilme olasılıkları birbirine eşittir. Öte yandan anakütlede yer alan her bir birimin çekilme olasılığı 1/N, seçilecek n hacimli örneklemde bulunma olasılığı ise n/N’dir. Ayrıca tek bir örneklemin bütün örneklemler arasından çekilme olasılığı 1/C’ye eşittir.

Basit Rassal Örnekleme Araştırmada ilgilenilen vasıf (değişken) açısından anakütle homojen olduğunda rassal örnekleme tercih edilir. Buna karşılık, güncel bir çerçevenin (anakütle birimlerinin kapsayan ve her birimi bir defa kapsayan araç, adres listesi gibi) oluşturulması zor olduğunda, anakütle birimleri geniş bir coğrafi alana yayıldığında ve anakütle homojen olmadığında basit rassal örneklemeye başvurulmaz.

Tabakalı Örnekleme Anakütledeki birimler incelenecek vasıfları (değişkenleri) bakımından farklılıklar gösterdiğinde yani anakütle homojen olmadığında yapılacak en iyi iş bu birimleri tabaka" adı verilen homojen alt gruplara ayırmaktır. İşte kendi içlerinde homojen olarak oluşturulan bu tabakaların her birinden birer rassal örneklem alınır ve elde edilen sonuçlar birleştirilirse tabakalı örnekleme yapılmış olur.

Tabakalı Örnekleme Örneğin sanayi işletmeleri ile ilgili bir örneklemede fabrikalar büyüklüklerine ayrıldıktan sonra göre tabakalara ayrıldıktan sonra, anakütleden daha homojen olan bu tabakalardan birimler seçilerek her biri için ayrı bir örneklem oluşturulur. Bu teknik tahminlerin sıhhatini artırır.

Çok kademeli örnekleme Çok kademeli örneklemede birimlere başka cinsten birimler arasından yapılacak birkaç seçimle ulaşılır. Örneğin, tarım işletmeleri hakkındaki bir örneklemede önce her ildeki ilçelerden bazıları kura ile seçilir. Sonra kuradan çıkan ilçelerdeki köylerden tarım işletmelerinin bir miktarı aynı şekilde seçilip gözlemlenir.

Çok kademeli örnekleme Bu teknik tahminin sıhhatini azaltmakla beraber büyük pratik yararlar sağlar Sadece seçilen köylerdeki işletmelerin listesini hazırlamak yeterli olur. Ayrıca gözlem belirli yerlerde yoğunlaşacağı için, alan daralır ve araştırmanın gerektirdiği gidip gelmeler azalır.

Kümelere Göre Örnekleme Çok kademeli örneklemenin özel bir şekline "kümelere göre örnekleme“ adı verilir. Tabakalı örneklemede olduğu gibi ana kütlenin alt gruplara ayrıldığı bu teknikte seçim, asıl birimler arasından değil kümeler arasından yapılır.

Kümelere Göre Örnekleme Örneğin, aynı bina, sokak veya mahallede oturan aileler veya aynı okulda okuyan öğrenciler birer "küme" sayılır ve ailelerin geliri hakkındaki bir araştırmada mahalle, sokak veya binaların; öğrencilerle ilgili bir incelemede okulların bir kısmı örneklem olarak seçilir.

Kümelere Göre Örnekleme Seçilen örneklemlerdeki bütün birimler, aralarından yeni bir seçim yapılmaksızın gözleme tabi tutulur, yani tamsayım yapılır Aynı kümedeki birimler arasında önemli farklılıklar bulunmadığı için,söz konusu kümelerin incelenmesiyle elde edilecek sonuçların anakütleyi temsil edememesi sakıncası (dolayısıyla örnekleme hatasının büyük olması olasılığı) ortaya çıkabilir.

Çok Aşamalı Örnekleme Çok Aşamalı Örnekleme az sayıda birimin gözlemlenmesi sonucunda yeterli bir sıhhat derecesi ile saptanabilen noktalar için gözlemi gereksiz yere genişletmemeyi amaçlayan bir tekniktir.

Çok Aşamalı Örnekleme Birimlerden toplanması gerekli bilgilerin bazılarının elde edilmesi zor ve pahalı olduğunda, örnekleme maliyetini ekonomik bir düzeyde tutmak amacıyla, kolay olan bilgiler "n hacimli" örnekleme dahil birimlerin tümünden ve pahalı bilgiler orijinal örneklemden n hacimli bir alt örneklem seçilerek sadece bu alt örnekleme dahil birimlerden toplanır.

Çok aşamalı örnekleme Bu şekilde iki aşamalı örnekleme gerçekleştirilmiş olur. İkinci örneklemden üçüncü bir örneklem, üçüncü örneklemden dördüncü bir örneklem. yapmak olanaklı ise de uygulamada en çok yapılan iki aşamalı örneklemdir.

ÖRNEKLEME BÖLÜNMELERİ Bir anakütleden hesaplanan "ortalama". "varyans", "oran" vb. özet değerlere anakütle parametresi denir. Burada geçen parametre deyimi "istatistiksel parametre" anlamında kullanılmaktadır. Örneklemeye başvurulduğunda "n" hacimli bir örneklemden hesaplanan "ortalama", "varyans", "oran" vb. özet değerlere "örneklem istatistiği" adı verilir.

ÖRNEKLEME BÖLÜNMELERİ Örnekleme işlemi sonucunda elde edilecek örneklem istatistiklerinin ana kütle parametrelerine eşit çıkacağı garanti edilemez. Nitekim çekilen bir örneklemden elde edilecek örneklem istatistiği ana kütle parametresine eşit olabilir de olmayabilir de. Dolayısıyla, örneklem istatistiklerinin ana kütle parametrelerinin "yaklaşık" değerleri olduğu söylenebilir.

Örnekleme bölünmeleri OrtalamalarınÖrnekleme bölünmesi Oranların örnekleme bölünmesi Farkların ortaklama bölünmesi

Örnekleme bölünmesi İnsanlardan oluşan bir anakütle aşağıdaki özelliklere sahip olsun… Anakütle hacmi N=4 X: insanların yaşını göstersin X değerleri: 18, 20, 22, 24 (yıl) D A C B Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Örnekleme bölünmesi P(x) x Anakütle parametreleri (ortalama ve standart sapma): P(x) .25 x 18 20 22 24 A B C D Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

16 muhtemel örnek (iadeli seçim) Örnekleme bölünmesi Şimdi örnek hacmi 2 olan bütün muhtemel kombinasyonları düşünelim 24=16 (nN ) 16 örnek ortalaması 16 muhtemel örnek (iadeli seçim) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Bütün örnek ortalamalarının örnekleme bölünmesi 16 örnek ortalaması Örneklem ortalamalarının dağılımı _ P(X) .3 .2 .1 _ 18 19 20 21 22 23 24 X Normale yakın Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Bu örnekleme bölünmesi ile ilgili istatistikler: Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Anakütlenin örnekleme bölünmesi ile karşılaştırılması Ortalamaların örnekleme bölünmesi n = 2 _ P(X) P(X) .3 .3 .2 .2 .1 .1 _ X 18 20 22 24 A B C D 18 19 20 21 22 23 24 X Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Örneklem ortalamasının değeri X1, X2, . . . Xn anakütleden tesadüfi seçilen örneklem değerleri olsun Bunların ortalaması Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Örneklem Ortalamasının standart hatası Aynı anakütleden alınmış aynı büyüklükteki farklı örneklemler farklı örneklem ortalamaları verirler Ortalamanın Örneklemden örnekleme değişen durumu ortlamanın standart hatası ile verilir. Örnek hacmi arttıkça ortalamanın standart hatası azalır

n = 1 ve n = 10 olduğunda ortalamaların örnekleme bölünmelerinin karşılaştırılması June 9, 2008 Stat 111 - Lecture 8 - Sampling Distributions

Anakütle normal bölünmeye sahipse Eğer anakütle μ ortalama ve σ standart sapma ile normal bir dağılıma sahipse ortalamaların örnekleme dağılımı da normal bölünmeye sahiptir. Örneklem istatistikleri ise aşağıdaki gibi hesaplanır Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Ortalamaların örnekleme bölünmesi için z değeri where: =örneklem ortalaması = anakütle ortalaması = anakütle standart sapması n = örnek hacmi Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Sonlu anakütleler için formüller Bir ana kütle birimi örneklemde bir defadan fazla bulunmazsa (iadesiz seçim) O zaman aşağıdaki düzeltme faktörü eklenmiş formül kullanılır veya Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Sonlu anakütleler için formüller Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Anakütle normal bölünmeye sahip değilse Merkezi limit teoremi uygulanabilir o da şudur: Ana kütle normal bölünmeye sahip değilse bile örneklem ortalamaları örneklem hacmi büyükse yaklaşık olarak normal bölünmeye sahip olduğu kabul edilir. Örneklem istatistikleri Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Merkezi Limit Teoremi Anakütle bölünmesi normal olmasa bile ortalamaların örneklem bölünmesi normale yaklaşır. Örneklem hacmi yeterince büyürse n↑ Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Anakütle normal bölünmeye sahip değilse Anakütle bölünmesi örnekleme bölünmesi istatistikleri Örneklem bölünmesi (n arttıkça normale yaklaşır) Büyük örnek hacmi Küçük örnek hacmi Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Büyüklük kriteri nedir? Birçok dağılım için, n > 30 normale yakın örneklem bölünmesi verir. Oldukça simetrik dağılımlar için n > 15 normale yakın örneklem bölünmesi verir Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Örnek Bir memurun bir işi tamamlama süresine ilişkin bölünmenin normal olduğu bilinmekte olup, tamamlama süresi 8 dakikalık ortalamaya ve 2 dakikalık standart sapmaya sahiptir. Eğer tesadüfi olarak 40 iş seçilirse İş başına ortalama sürenin 9 dakikadan fazla olması ihtimalini bulunuz.

çözüm ve Ortalamanın standart hatası:

çözüm Bir işin ortalama olarak 9 dakikadan fazla sürmesi ihtimali 0,00079’dur.

örnek2 Bir anakütlenin μ = 8 ortalamaya ve σ = 3. standart sapmaya sahip olduğunu varsayalım. Ve tesadüfi olarak 36 örneğin alındığını düşünelim n = 36. Örnek ortalamasının 7.8 ve 8.2 arasında olması ihtimali nedir? Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

çözüm Anakütle bölünmesini bilmesek bile merkezi limit teoremi kullanılabilir (n >30) buradan Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Standart normal dağılım çözüm Anakütle bölünmesi Örnekleme bölünmesi Standart normal dağılım .1915 +.1915 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? örnek standartlaştır ? ? -0.5 0.5 7.8 8.2 Z X Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Örnekleme bölünmeleri OrtalamalarınÖrnekleme bölünmesi Oranların örnekleme bölünmesi Farkların ortaklama bölünmesi

Oranların örnekleme bölünmesi,P Bir anakütlede aynı özelliklere sahip birimlerin oranı incelemeye konu olabilir Ankütledeki her birimi inceleme şansımız olmazsa o zaman bu özelliklere sahip birimlerin oranını tahmin ederiz.

Oranların örnekleme bölünmesi,P P = aynı özelliğe sahip birimlerin anakütledeki oranı Oranların örnekleme bölünmesi 0 ≤ ≤ 1 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Oranların örnekleme bölünmesi ^ Oranların örnekleme bölünmesi Normal yaklaşım: Örneklem dağılımı .3 .2 .1 0 . 2 .4 .6 8 1 Oranların örnekleme bölünmesinin ortalaması ve varyansı Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Oranların örnekleme bölünmesi için z değeri Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

örnek A önerisini destekleyenlerin oranının P = .4 olduğu biliniyorsa, 200 adetten oluşan örnek hacmindeki birimlerin örneklem ortalamalarının oranının 0,4 ve 0,45 arasında olması olasılığı nedir? Eğer P = .4 ve n = 200, P(.40 ≤ ≤ .45) ? Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

örnek eğer P = .4 ve n = 200, P(.40 ≤ ≤ .45) ? : Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Standart normal dağılım örnek eğer P = .4 ve n = 200, P(.40 ≤ ≤ .45) ? Standart normal tabloyu kullan: P(0 ≤ Z ≤ 1.44) = .4251 Standart normal dağılım Örnekleme bölünmesi .4251 Standardize .40 .45 1.44 Z Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Örnekleme bölünmeleri OrtalamalarınÖrnekleme bölünmesi Oranların örnekleme bölünmesi Farkların örnekleme bölünmesi

Farkların örnekleme bölünmesi İki örnek ortalaması arası fark Eğer birbirinden bağımsız iki örnek iki ankütleden seçilirse (bu ankütlelerin normal bölündüğü varsayılır) o zaman iki örnek ortalaması arası farkın örneklem bölünmesi normal bölünmeye sahip olur. Eğer anakütle bölünmeleri normal değilse ancak n>30 ise merkezi limit teoremi uygulanır. n/N>0,05 veya örnek sonlu anakütleden alınıyorsa N-n/N-1 düzeltme faktörü uygulanır.

Farkların örnekleme bölünmesi İki örnek ortalaması arası fark Ve standart sapma

Farkların örnekleme bölünmesi İki üniversitenin MBA mezunlarının yıılık başlangıç ücretleri normal dağılıma sahip olup aşağıdaki ortalamalara ve standart sapmalara sahiptirler. A üniversitesi B üniversitesi ortalama 62,000 $/yıl 60,000 $/yıl Standart sapma 14,500 $/yıl 18,300 $/yıl Örnek hacmi (n) 50 60 Farkların örnekleme bölünmesinin aritmetik ortalama ve standart sapması nedir?

Farkların ortalama bölünmesi = 62,999 – 60,000 =2000 Standart sapma =SQRT(14,5002/50 + 18,3002/60) = 3128.3 SQRT=Square root=karekök