OLASILIK DAĞILIMLARI Bu kısımda teorik olasılık dağılımları incelenecektir. Gerçek hayatta birçok olayın dağılımı bu kısımda inceleyeceğimiz çeşitli olasılık dağılımları ile benzerlik gösterir. Bu durum söz konusu olaylarla ilgili araştırmalarda kolaylıklar sağlamakta, problemlerin çözümünde teorik olasılık dağılımlarının kullanılmasını mümkün hale getirmektedir. Mesela doğal olayların dağılımı genellikle normal dağılıma uyar. Kişilerin, uzunluğu, ağırlığı, kan basıncı vs böyledir. Elektronik cihazların güvenilirliği (bir cihazın arıza yapmaksızın çalışma süresinin dağılımı) Weibull veya üstel dağılıma uyar. Bir üretim hattında üretilen kusurlu mamullerin dağılımı Poisson dağılımına uyar. Bir işin tamamlanma zamanının belirlenmesinde (Pert) Beta dağılımı kullanılmaktadır. Bu tür örnekleri çoğaltmak mümkündür.

Olasılık Dağılımları Rassal Değişken Bir örnek uzayın her noktası bir sayı ile ifade edildiğinde, bu örnek uzayda tarif edilen bir fonksiyon elde edilmektedir. Bu fonksiyona rassal değişken adı verilmektedir ve genellikle büyük X ve Y harfi ile gösterilmektedir. Örnek: İçerisinde 4 mavi 6 kırmızı top bulunan bir kutudan rasgele ve iadesiz olarak 3 top çekildiğinde örnek uzayını oluşturup, mavi top sayısı için rassal değişkeni yazınız. Kesikli ve Sürekli Rassal Değişkenler Rassal bir değişkenin içinde bulunduğu örnek uzayı veya başka bir deyişle değişim aralığı süreksiz ise, yani sonlu sayıda ya da sayılabilir sonsuz sayıda eleman içeriyorsa buna süreksiz (kesikli ) rassal değişken adı verilir. Diğer taraftan bir değişken sayılamayacak sayıda sınırsız değerler alırsa bu değişkene sürekli veya kesiksiz rassal değişken adı verilir Örnek uzayı KKK KKM KMK MKK KMM MKM MMK MMM Mavi top sayısı 1 2 3

1- Kesikli (Süreksiz) Olasılık Dağılımları X ile gösterilen kesikli rassal bir değişkenin aldığı değerler ............. ise değişkenin bu değerlerden sadece birini alması olasılığı f(x) = P (X=x) şeklinde yazılabilir ve X in olasılık yoğunluk veya olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır. Bir dağılım ya da fonksiyonda aşağıdaki iki şart sağlanıyorsa bu fonksiyonlara olasılık fonksiyonları adı verilir. f (x)≥ 0 Olasılık fonksiyonunun alacağı değerler 0 ile 1 arasında değişir. Bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanım aralığındaki değerlerinin toplamı 1 e eşit olmalıdır.

1. Bernoulli Dağılımı Bernoulli dağılımı rassal bir deneyin iyi- kötü, olumlu-olumsuz, başarılı-başarısız, kusurlu-kusursuz gibi sadece iki sonucu varsa kullanılan bir dağılımdır. Bir deneyin sadece iki sonucu varsa bu deneye Bernoulli denemesi adı verilir. Bernoulli deneyinde iki sonuç vardır. Deneyin sonuçlarından biri uygun durum olup başarı olarak ifade edilir ve x=1 olarak gösterilir. Diğer hal uygun olmayan durum olup başarısızlık olarak adlandırılır ve x=0 ile gösterilir. Deneyin başarılı sonuçlanma olasılığı p ile gösterildiğinde Bernoulli dağılımı şöyle formüle edilir. Bernoulli dağılımının tek bir parametresi p başarı olasılığıdır.

1. Bernoulli Dağılımı Örnek: Bir sporcunun yaptığı müsabakada kazanma olasılığı 0,8 kaybetme olasılığı ise 0,2 olarak verilmiştir. Bu sporcu için Olasılık fonksiyonunu yazınız, Sporcunun beklenen (ortalama) kazanma olasılığı ve varyansını bulunuz. Çözüm a) b)

2. Binom Dağılımı Olasılık dağılımları içersinde en yaygın kullanılan dağılımlardan biridir. Bernoulli deneylerin tekrarlanabilirliğine dayanmaktadır. Bir deney n kez tekrarlandığında belli bir olay x defa meydana geliyorsa bu olayın olasılığı BİNOM dağılımı yardımı ile bulunur. Binom dağılımı aşağıdaki varsayımlara dayanmaktadır. 1) Her deney birbirlerinin karşılıklı olarak engelleyen iki mümkün halden sadece birinde meydana gelmektedir. Mümkün hallerden biri uygun hal (x) diğeri uygun olmayan hal (n-x) olarak ifade edilir. 2) Bir uygun halin olasılığı (p) her deneyde aynıdır. Uygun olmayan halin olasılığı (q=1-p) içinde aynı durum söz konusudur.(seçim iadeli) 3) Deneyler bağımsızdır. Yani bir deneyde ister uygun ister uygun olmayan hal meydana gelsin bu durum diğer deneydeki uygun ya da uygun olmayan bir halin olasılığına etki etmez.

2. Binom Dağılımı Binom dağılımının olasılık fonksiyonu N deneyde uygun halin x defa meydana gelme olasılığı Binom dağılımı n (deney sayısı) ve p (uygun hal olasılığı) olmak üzere iki parametreye dayanmaktadır. Örnek: a) Bir para ile yapılan 5 atışta 2 yazı gelmesi olasılığı ne olur? b) En az 2 yazı gelmesi olasılığı ne olur?

2. Binom Dağılımı Örnek: Herhangi bir öğrencinin bir dersten geçme olasılığı 0,7 dir. Rasgele seçilen 10 öğrenciden a) 4 ünün dersini geçmesi olasılığı b) En az 3 ünün dersi geçmesi olasılığı c) En fazla 8’inin dersten geçmesi olasılığı ne olur? d) X: Başarılı öğrenci sayısı olmak üzere X in olasılıklarını P(X=x)=f(x) bularak olasılık fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm

2. Binom Dağılımı d) Başarılı öğrenci say Olasılık 5,9E-06 1 0,000138 2 0,001447 3 0,009002 4 0,036757 5 0,102919 6 0,200121 7 0,266828 8 0,233474 9 0,121061 10 0,028248

Binom Dağılımı Örnek n veya p’nin her farklı değeri farklı bir dağılım gösterdiğinden, Binom dağılımı gerçekte bir dağılımlar gurubu teşkil eder. p=0,5 olduğu zaman dağılım simetrik bir şekil alır. (n)’in değeri önemli değildir. p’nin aldığı değere göre dağılımın şekli değişir. p<0,5 ten küçük ise dağılım sağa çarpık, p>0,5 olduğunda ise çarpıklık sola doğru olmaktadır. Yukarıdaki örnekte p>0,5 olduğundan grafikten de görüldüğü gibi dağılım sola çarpık olmuştur.

2. Binom Dağılımı Bir işletmede çalışan işçilerin işe geç kalma oranının %15 olduğu bildirilmiştir. Bu işletmede çalışan işçilerden 20 tanesi rastgele seçildiğinde; a) 4 tanesinin işe geç kalmış olma olasılığı ne olur? b) En çok 3 tanesinin işe geç kalmış olma olasılığı ne olur? c) En az 5 tanesinin işe geç kalma olasılığı ne olur? d) 20 işçi için işe geç kalan işçi sayısının beklenen değer ve varyansı ne olur?

Excel ile Binom Olasılıklarının Bulunuşu Formüller menüsünden ya da fx’in üzerine tıklandığında öndeki ekran gelir. Bu ekrandan istatistikler kategorisinden Binom Dağ. seçilir.

Excel ile Binom Olasılıklarının Bulunuşu Bir işletmede çalışan işçilerin işe geç kalma oranının %15 olduğu bildirilmiştir. Bu işletmede çalışan işçilerden 20 tanesi rastgele seçildiğinde; a) 4 tanesinin işe geç kalmış olma olasılığı ne olur? b) En çok 3 tanesinin işe geç kalmış olma olasılığı ne olur? c) En az 5 tanesinin işe geç kalma olasılığı ne olur? Gelen ekranda a şıkkını Excelde çözmek için aşağıdaki değerler girilir. Kümülatif kısmına 0 girilirse sadece 4 ün, 1 girilirse 4 ve aşağısının olasılığı elde edilir.

Excel ile Binom Olasılıklarının Bulunuşu b şıkkının excelde çözümü için kümülatif kısmına 1 girilmiştir. Böylece 3 ve daha az işçinin işe geç kalma olasılığı hesaplanır.

Excel ile Binom Olasılıklarının Bulunuşu c şıkkını çözmek için ters kümülatif işlem yapmak gerekir. Bunun için kümülatif olasılık bulunup 1’den çıkarılır.

4. Poisson Dağılımı 4. Poisson Dağılımı olduğu zaman binom dağılımı, Poisson dağılımına yaklaşır. Bir olayın meydana gelme olasılığı (p) sıfıra, dolayısıyla q=1-p ; 1’e yaklaşırsa (terside mümkün ) ve n çok büyük olursa böyle olaylara nadir meydana gelen olaylar denir. Poisson dağılımı nadir meydana gelen olayların dağılımı olarak ta bilinir. Pratik olarak eğer bir olaydaki deney sayısı en az 50 (n>50) ve np<5 oluyorsa böyle olaylar nadir olaylar olarak düşünülebilir. Poisson olasılık fonksiyonu şöyle yazılır: Dağılımın tek parametresi λ olup ortalamasıdır.

4. Poisson Dağılımı Poisson dağılımında X rassal değişkeni 0,1,2,...... gibi negatif olmayan tam sayı değerler alır, Değişkenin aldığı değerlerin olasılıkları toplamı olasılık fonksiyonu olması sebebiyle 1’e eşittir.

4. Poisson Dağılımı λ=np olup dağılımın ortalamasıdır (beklenen değeri E(X)=λ) ve dağılımın tek parametresidir. Poisson dağılımının vayansı da λ ya eşittir. Var(x)= λ Poisson dağılımı da Binom dağılımı gibi bağımsız olaylarda kullanılır. Ancak kütle sınırsız olduğu zaman olayların bağımsızlığına bakmaksızın bu dağılımı kullanmak mümkündür. Poisson dağılımı mamul muayenesinde, sigortacılıkta, matbaacılıkta,iş kazalarında, telefon santrallerinde, az rastlanır hastalıkların olasılıklarının tahmininde kullanılır.

4. Poisson Dağılımı Örnek: Bir fabrikada iş kazalarının dağılımının Poisson’a uygunluğu tespit edilmiştir. Yıllık kişi başına düşen ortalama iş kazası 0,5 olarak bulunmuştur. Tesadüfen seçilen bir kişinin; Hiç Kaza geçirmemesi, Bir kaza geçirmesi, En az bir kaza geçirmesi olasılıklarını bulunuz? Çözüm:

Örnek: Bir fabrikada üretilen malların 0,03’ü kusurludur Örnek: Bir fabrikada üretilen malların 0,03’ü kusurludur.Muayene için 25 birimlik bir örnek çekildiğinde; 4 kusurlu mal çıkması 3 veya daha fazla kusurlu mal çıkması, En fazla 2 kusurlu mal çıkması olasılığı ne olur? Bu örnek için poisson olasılıklarını bulup grafikte gösteriniz. Çözüm:

4. Poisson Dağılımı Kusurlu sayısı Olasılık f(x) 0,4723666 1 0,3542749 0,4723666 1 0,3542749 2 0,1328531 3 0,0332133 4 0,0062275 5 0,0009341 6 0,0001168 7 1,251E-05 8 1,173E-06 9 9,774E-08 10 7,33E-09 11 4,998E-10 12 3,124E-11 13 1,802E-12 14 9,654E-14 15 4,827E-15

Excel ile Poisson Olasılıklarının Bulunuşu Yukarıdaki örneğin Excel ile çözümü: a şıkkında 4 kusurluya rastlanma olasılığı soruluyor. Bunun için fx tıklanıp Poisson dağılımı seçilir. X yerine 4 (kusurlu) girilir. Ortalama yerine 0,75 ve sadece 4 için olasılık hesaplanacağından kümülatif için 0 girilir.

Excel ile Poisson Olasılıklarının Bulunuşu b şıkkının çözümü