Tanım Olasılık, gelecekte gerçekleşebilecek bir olay hakkındaki ümidimizin kuvvetinin bir ölçüsüdür.

Tanım Belirsizliğin çalışılması Emin değilimden %80 ihtimalle başaracağıza Gelecekte ne olacağını kesin bilemeyiz; Ancak ne olabileceğini sayısallaştırabiliriz Mesela yağmur yağma ihtimali %80

Olasılığın İki Temel Kuralı; 1) Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır. 2) Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılıklarının toplamı 1’e eşittir. DİKKAT!!!! Hiç bir olayın OLASILIĞI 1’den büyük olamaz!!!! Bir A olayın ortaya çıkma olasılığı; P(A) şeklinde gösterilir.

Olasılığın Limitleri İmkansız bir olayın olasılığı 0’dır. Kesin bir olayın olasılığı 1’dir. Bir A olayı için 0  P(A)  1.

Sübjektif olasılık eldeki bilgi neyse ona göredir Klasik, oransal (frekans) ve sübjektif (kişisel) olmak üzere olasılığın 3 tanımı vardır n sayıda sonucun eşit sansa sahip olduğu durumda klasik tanım uygulanır Olayın meydana geliş sayısı gözlem sayısına bölündüğünde oransal tanım uygulanır Sübjektif olasılık eldeki bilgi neyse ona göredir

Sübjektif olasılık örnekleri: Galatasaray’ın bu yıl şampiyon olma ihtimali %100’dür Ev kredileri için mortgage oranları %8 civarında olacaktır.

Bir veya birkaç gözlemin meydana gelmesi sürecine deney denir

Sonuç bir deneyin muayyen bir çıktısıdır Deney: hilesiz bir zar atılır. Muhtemel sonuçlar: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Bir olay Bir deneyin bir veya birden çok sonucunun toplamıdır Bir muhtemel olay: çift sayının gelmesi yani 2, 4 veya 6 sonuçlarından birisini almamız. Burada klasik tanım uygulanır.

Örnekler Deney Tesadüfi seçilmiş bir ailenin gelirini kaydet Hedef pazarda bir telefonu rastgele ara Olay Örnek: olay “düşük gelir” (yıllık $15,000 veya daha az) Sonuç listesi {0, 1, 2, …, 14,999, 15,000} Örnek: olay “10,000 ve 40,000 arası rakamlar Sonuç listesi {10,000, 10,001, …, 39,900, 40,000}

Basit ve bileşik olay Tek bir denemede tek bir sonuç ortaya çıkması basit olay niteliğindedir. Örneğin iyice karıştırılmış bir desteden bir kart çekildiğinde as gelmesi basit olaydır İki veya daha fazla olayın birbiri ardınca gelmesi ise bileşik olaydır. Örneğin hilesiz iki tavla zarı aynı anda atıldığında herbirinin üstünde 4 görülmesi bileşik olaydır. Basit bir olayın gerçekleşme olasılığı P(E), şeklinde gösterilir E1 ve E2 iki olayı ifade etmek üzere Bileşik bir olayın gerçekleşme olasılığı ise P(E1ve E2)

Bağdaşmaz Olay Bir olayın ortaya çıkması diğer bir olayın ortaya çıkmasını engelliyorsa yani iki olay birlikte meydana gelemiyorsa bağdaşmaz olaydır. Örneğin bir sınavdan ya geçilir ya da kalınır. P(E1 ve E2)=0 Bağdaşır olay:Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasını engellemiyorsa iki veya daha çok olay birlikte meydana gelebiliyorsa bağdaşır olaydır. P(E1 VE E2)>0 Zarın atılması sonucu 1 ve tek sayı gelmesi. Çünkü aynı anda gerçekleşebilirler. 52 lik desteden çekilen kartın maça olması kız olmasını engellemez.

Bağımsız olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasından ilişkisiz ise Ailede birinci çocuğun erkek olması ikincisinin de erkek olacağı anlamına gelmez. Bağımlı olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasını etkiliyorsa 52 lik bir desteden iadesiz arka arkaya iki kart çekiliyor. Kart sayısı önce 52 sonra 51. 6 beyaz, 8 kırmızı top var. 3 top çekiliyor İade edilirse bağımsız, iade edilmezse bağımlı olaydır.

Hocalık kariyeri boyunca Profesör Jones 1200 öğrencisinden 186 tanesine AA vermiştir. Profesörden ders alan bir öğrencinin AA alma ihtinmali nedir Yandaki problem ihtimalin ampirik tanımına örnektir. İhtimal P ile gösterilir ve P(A), A olayının meydana gelme ihtimali olarak okunur:

Şartlı(Koşullu) Olasılık İki bağımlı olaydan ilkinin (E1) gerçekleştirildiği bilindiğinde, ikincisinin (E2) ona bağlı olarak gerçekleşmesi olasılığı hesaplanabilir. Bu P(E2/E1) olarak gösterilir. P(E2/E1)= P(E1 ve E2)/P(E1)

Koşullu olasılık Bir bölümün birinci sınıfındaki öğrencilerin %85’inin hukuk, %70’inin matematik ve %50’sinin hem hukuk hem de matematikten başarılı olduğu bilinmektedir. Bu sınıftan rassal olarak bir öğrenci seçilirse bunun A)hukukta başarılı olması koşuluyla matematikte başarılı olması olasılığı nedir B)matematikte başarılı olması koşuluyla hukukta başarılı olması olasılığı nedir P(hukuk)=0,85, p(matematik)=0,70, p(hukuk ve matematik)=0,5 a)p(matematik/hukuk)=p(hukuk ve matematik)/p(hukuk) B) p(hukuk/matematik)= p(hukuk ve matematik)/p(hukuk)

İşletme Fakültesi Dekanı lisans öğrencileriyle ilgili olarak aşağıdaki bilgilere sahiptir:

Eğer bir öğrenci tesadüfi olarak seçilirse bu öğrencinin bay ve üretimci olma ihtimali nedir? P(Ü ve B) = 110/1000=0.11 Öğrencinin bay olması şartıyla, onun üretimci olma ihtimali nedir? P(Ü|B) = P(Ü ve B)/P(B) = [110/1000]/[400/1000] = .275

Bağdaşmaz olaylarda toplama kuralı Eğer A ve B gibi olay bağdaşmazsa, bu iki olaydan herhangi birinin meydana gelme ihtimali ayrı ayrı meydana gelme ihtimallerinin toplamına eşittir. Buna ÖZEL toplama kuralı denir. P(E1 veya E2) = P(E1) + P(E2)

New England hava taşımacılığı şirketi uçaklarının varışları ile ilgili aşağıdaki bilgilere sahiptir

Bir uçağın ya erken veya geç varma ihtimali Uçağın erken varma olayı A ile gösterilirse o zaman P(A) = 100/1000 = .10. Uçağın geç varma olayı B ile gösterilirse o zaman P(B) = 75/1000 = .075. Bir uçağın ya erken veya geç varma ihtimali P(A veya B) = P(A) + P(B) = .10 + .075 =.175.

Örnek Hilesiz bir zarın bir defa atılması halinde 2 veya 6 gelmesi olasılığı nedir?

cevap Bir zar atıldığında 6 sonuçtan biri gerçekleşir ve hepsinin meydana gelme ihtimali 1/6’ya eşittir. Bu durumda zarın 2 veya 6 gelmesi olasılığı P(2 veya 6)=1/6+1/6=1/3’tür.

Bir olayın meydana gelmeme ihtimali o olayın meydana gelme ihtimalinin birden çıkarılması ile elde edilir. Eğer P(A) bir olayın meydana gelme ihtimali ve P(~A) bir olayın meydana gelmeme ihtimali ise o zaman P(A) + P(~A) = 1 veya P(A) = 1 - P(~A).

Eğer C uçağın zamanında varma olayı ise o zaman P(C) = 800/1000 = .8. Bir uçağın ya erken yada geç varma ihtimalini bu olayların meydana gelmemesi ihtimallerinden yola çıkarak bulunuz Eğer C uçağın zamanında varma olayı ise o zaman P(C) = 800/1000 = .8. Eğer D uçuşun iptal edilme olayı ise o zaman P(D) = 25/1000 = .025.

P(A veya B) = 1 - P(C veya D) = 1 - [.8 +.025] =.175 D .025 C .8 ~(C veya D) = (A veya B) .175

Bağdaşır olaylarda toplama kuralı Eğer E1 ve E2 BAĞDAŞIR olaysalar (birbirini engelleyen türden olaylar değilseler), o zaman E1 veya E2’nin ortaya çıkma ihtimali P(E1 veya E2) aşağıdaki formülle verilir. P(E1 veya E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ve E2) Bu kurala Genel Toplama kuralı denir

Bu kural Venn diyagramı ile şu şekilde gösterilir: A ve B A

Örnek: 500 kişilik bir öğrenci grubunda 320 öğrenci müzik seti 175 öğrenci ise TV’ye sahiptir. 100 öğrenci ise her ikisine de sahipken 5 öğrenci hiçbirine sahip değildir. TV 175 Her ikisi 100 Müzik seti 320

Eğer bir öğrenci tesadüfi olarak seçilirse, a)öğrencinin sadece müzik seti veya TV’ye sahip olma ihtimali nedir? b)Öğrencinin her ikisine de sahip olma ihtimali nedir? a) P(S veya TV) = P(S) + P(TV) - P(S ve TV) = 320/500 + 175/500 – 100/500 = .79. b) P(S ve TV) = 100/500 = .20

Birleşik ihtimal iki olayın aynı anda meydana gelme si ihtimalidir Öğrencinin aynı anda hem TV hem de müzik setine sahip olması ihtimali birleşik ihtimaldir.

Örnek Bir dershanede 60 erkek ve 40 kız öğrenci vardır. Bunlardan erkeklerin yarısının ve kızların dörtte birinin voleybol oynadığı ayrıca bilinmektedir. Rassal olarak seçilen herhangi bir öğrencinin erkek veya voleybolcu olması olasılığını hesaplayınız

P(erkek ve voleybolcu)=30/100=0,3 cevap P(erkek)=60/100=0,6 P(voleybolcu)=40/100=0,4 P(erkek ve voleybolcu)=30/100=0,3 P(erkek veya voleybolcu)=0,6+0,4-0,3=0,7

Örnek Bir öğrencinin istatistik sınavında başarılı olma olasılığı 0,8 ve yönetim sınavında başarılı olma olasılığı 0,75’tir. Bu öğrencinin istatistik veya yönetim sınavında başarılı olma olasılığı nedir.

cevap P(istatistik)=0,80 , P(Yönetim)=0,75 P(istatistik ve yönetim)=0,8*0,75=0,6 P(istatistik veya Yönetim)=0,8+0,75-0,6=0,95

Bağımsız olaylarda çarpma kuralı Bir olayın meydana gelmesi diğerini etkilemiyorsa o zaman bu iki olay bağımsızdır ve aşağıdaki gibi gösterilir P(E1 ve E2) = P(E1)P(E2) Bu bağıntıya özel çarpma kuralı denir.

Çarpım kuralı bir işi yapmanın m yolu varsa ve bir başka işi yapmanın n yolu varsa ikisini beraber yapmanın mxn yolu olduğunu bildirir Dr. Delong 10 gömleğe ve 8 kıravata sahiptir bu gömlek ve kravatlardan kaç farklı takım oluşturabilir? (10)(8) = 80

Örnek Arzunun 25 yıl sonra hayatta olması olasılığının 0,6 ve kardeşi burcunun 25 yıl sonra hayatta olması olasılığının 0,5 olduğunu varsayarsak, 25 yıl sonra her ikisinin de hayatta olması olasılığını bulunuz. P(arzu ve burcu)=0,6*0,5=0,3

Örnek Hilesiz bir zar ile düzgün bir para aynı anda atılmaktadır. Zarın üste gelen yüzün 4 paranın ise üste gelen yüzünün tura olması olasılığını hesaplayınız

Örnek Bağımsız olaylar olduklarından, P(4 ve tura)=1/6*1/1=1/12

Örnek Ahmet’in istatistik sınavından başarılı olma ihtimali %64 ve Belma’nın başarılı olma ihtimali %50’dir. Bu iki arkadaştan ikisinin de bu sınavda başarılı olması olasılığı nedir?

Örnek Bu iki olay bağımsızdır yani birbirini etkilemez P(ahmet)=0,64 P(belma)=0,5 P(ahmet ve Belma)=0,64*0,50=0,32

Mehmet IBM ve Ford hisselerini elinde bulundurur Mehmet IBM ve Ford hisselerini elinde bulundurur. Gelecek yıl için IBM hisselerinin değerindeki artış ihtimali 0,5 ve Ford hisselerinin değerindeki artış ihtimali 0,7’ dir. Bu iki hisse senedindeki artış ihtimallerinin birbirinden bağımsız olduğunu varsayarsak her ikisinin değerinin beraber artma olasılığı nedir? P(IBM ve Ford) = (.5)(.7) = .35

Bu hisse senetlerinden en az birisinin değerinin artması ihtimali nedir? Yani ya ikisinden birisi artacak ya da ikisi de artacak P(en az birisi) = P(sadece IBM artar) + P(sadece Ford artar) + P(IBM ve Ford artar) (.5)(1-.7) + (.7)(1-.5) + (.7)(.5) = .85

Bağımlı olaylarda çarpma kuralı İki olaydan E2 olayı E1 olayından sonra ve ona bağlı olarak ortaya çıkıyorsa olayların birlikte gerçekleşme olasılığı şu şekilde hesaplanır. P(E1 ve E2)=P(E1).P(E2/E1) Bu kurala genel çarpma kuralı adı verilir

Örnek Bir mezuniyet balosunda satılan biletlerin 70’i boş 30’u ikramiyelidir. Baloya katılan bir öğrenci bu piyangodan 2 bilet alıyor. Her iki biletin de kazanması olasılığını bulalım

Cevap P(A ve B) = P(A)P(B/A) P(A)= A olayının gerçekleşmesi ihtimali P(B/A)= A olayının gerçekleşmesi şartı ile B olayınının gerçekleşmesi ihtimali P (İkramiyeli ve İkramiyeli)=(30/100)*(29/99)=29/330

Örnek Bir işyerinde görev almak üzere aynı nitelikleri taşıyan 10 kişi başvurmuştur. Adayların 6’sı erkek ve 4’ü kadın olup bunlar arasından kur’a çekilerek iki memur alınacaktır. Görev verilecek memurların a)Her ikisinin de kadın olması olasılığını b)Her ikisinin de erkek olması olasılığını c)Birincisinin erkek ikincisinin kadın olması olasılığını d) Birincisinin kadın ikincisinin erkek olması olasılığını bulunuz

cevap A) her ikisinin de kadın olması olasılığı P(kadın ve kadın)=(4/10)*(3/9)=2/15 B)her ikisinin de erkek olması olasılığı P(erkek ve erkek)=(6/10)*(5/9)=5/15 C) birincisinin erkek ikincisinin kadın olması olasılığı P(erkek ve kadın)=(6/10)*(5/9)=5/15 D) birincisinin kadın ikincisinin erkek olması olasılığı P(kadın ve erkek)=(4/10)*(6/9)=4/15

Bayes Teoremi Bayes teoremi daha önce hesaplanmış olasılıkları yeni bilgi geldiğinde revize etmede kullanılır. Thomas Bayes tarafından 18. yüzyılda geliştirilmiştir Şartlı ihtimalin bir uzantısıdır

Bayes Teoremi burada P(Bi): B olayının ihtimali P(A/Bi): B olayının ortaya çıkmış olması halinde A’nın ihtimalidir

Duff Cola şirketi son zamanlarda müşterilerden şişelerin eksik dolduğuna ilişkin şikayetler alıyor. Bu gün de bir şikayet geldi ancak yönetici iki fabrikandan (A ve B) hangisinin hatalı dolum yaptığı konusunda emin değil. Geleneksel olarak Eksik şişenin A fabrikasından gelmiş olma ihtimali 0,5 dir. Aşağıdaki tabloda verilen son bilgilere göre eksik şişenin A fabrikasından gelme ihtimali nedir?

Duff Cola şirketinin üretimiyle ilgili aşağıdaki veriler mevcuttur   Toplam üretimde %’lik pay Eksik dolum şişelerin %’si A 55 3.0 B 45 4.0

P(a)=A fabrikasında dolmuş olması ihtimali P(b)=B fabrikasında dolmuş olması ihtimali P(u/a)=a fabrikasında dolmuş olması şartıyla eksik olamsı ihtimali P(u/b)=b fabrikasında dolmuş olması şartıyla eksik olamsı ihtimali

Örnek Bir işletmenin A bölgesinde 6 ford 2 man, B bölgesinde 5 ford 3 man ve c bölgesinde 4 ford 4 man kamyonu vardır. Bir seyahat sırasında genel müdür 3 bölge araçlarının da aynı olasılıkla kullandıkları bir karayolunda kendi firmasına ait bir ford görmüşür. Bu kamyonun c bölgesine ait olması ihtimali nedir?

Cevap P(a)=1/3 P(b)=1/3 p(c)=1/3 P(ford/a)=6/8 P(ford/b)=5/8 P(ford/c)=4/8

Örnek