İSTATİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ (ORTALAMALAR) İstatistik Doç. Dr. Şakir GÖRMÜŞ SAÜ

Öğrenme Hedefleri İstatistiksel hassas ortalamaları tanımlayabilir. Bu konuyu çalıştıktan sonra: İstatistiksel hassas ortalamaları tanımlayabilir. İstatiksel olarak toplanan verilerin hassas ortalamalarını hesaplayabilir. İstatiksel olarak hesaplanan hassas ortalamalarını yorumlayabilir. İstatistiksel hassas olmayan ortalamaları tanımlayabilir. İstatiksel olarak toplanan verilerin hassas olmayan ortalamalarını hesaplayabilir. İstatiksel olarak hesaplanan hassas olmayan ortalamalarını yorumlayabilir.

İçindekiler 1. ORTALAMANIN TANIMI ÇEŞİTLERİ VE FAYDALARI 2. HASSAS ORTALAMALAR 2.1. Aritmetik Ortalama 2.2. Kareli Ortalama 2.3. Geometrik Ortalama 2.4. Harmonik Ortalama 3. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR 3.1.Mod (Tepe Değeri) 3.2.Medyan (Ortanca) 3.3.Kartiller 3.4.Ortalamalar Arasındaki ve Kartiller Arasındaki İlişkiler

ORTALAMALARIn tanImI, çeşİtlerİ ve FaydalarI İstatistiksel hassas ortalamaları tanımlayabilir ORTALAMALARIn tanImI, çeşİtlerİ ve FaydalarI Ortalama: Bir olaya ait değişkenin düzenlenmiş verileri (seri) tüm veriyi temsil edecek şekilde tek bir rakamla temsil edilebilir. Bir değişkene ait seriyi temsil eden bu rakama “ORTALAMA” denir. Ortalamalar serilerin karakteristik özelliklerine ait kesin bilgiler içermektedir. Ortalama Çeşitleri: Araştırmacı değişkene ait seriyle ilgili değişik ortalamalar hesaplayabilir. İstatistiki ortalamalar hassas (duyarlı) ortalamalar ve hassas olmayan (duyarlı olmayan) ortalamalar olmak üzere iki ana gruba ve çeşitli alt gruplara ayrılırlar.

ORTALAMALARIn tanImI, çeşİtlerİ ve FaydalarI İstatistiksel hassas ortalamaları tanımlayabilir ORTALAMALARIn tanImI, çeşİtlerİ ve FaydalarI ORTALAMALAR DUYARLI ORTALAMALAR 1. Aritmetik Ortalama 2. Kareli Ortalama 3. Geometrik Ortalama 4. Harmonik Ortalama DUYARLI OLMAYAN ORTALAMALR 1. Mod 2. Medyan 3. Kartiller

Ortalamaların Faydaları: İstatistiksel hassas ortalamaları tanımlayabilir Ortalamaların Faydaları: 1. Bir olaya ait değişkenin verileri tüm veriyi temsil edecek şekilde tek bir rakamla temsil edilir. Örnek: Maliye bölümü istatistik dersi not ortalaması 75’tir.   2. Aynı değişkene ait farklı seriler arasında mukayese yapılmasını sağlar. Örnek: Maliye bölümü istatistik dersi not ortalaması 75 iken İşletme bölümünün istatistik dersi not ortalaması 70’tir.   3. Tanımlayıcı istatistikin temellerini oluşturur. Hesaplanan ortalamalar ile seriler hakkında tanımlayıcı bilgiler elde edilmiş olur.   DİKKAT ?? 1. Düzenlenmiş veriler belirli bir değer etrafında ne kadar güçlü toplanma eğilimi gösteriyorsa, ortalamanın temsil kabiliyeti o kadar artar.   2. J, ters J ve U şeklinde eğriye sahip düzenlenmiş verilerde belirli bir değer etrafında toplanma eğilimi göstermediklerinden, hesaplanan ortalamalar düzenlenmiş veriyi temsil edemez.

İstatiksel olarak toplanan verilerin hassas ortalamalarını hesaplayabilir. Bir değişkene ait serideki bütün değerlerin (veriler) kullanılarak ya da işleme katılarak hesaplanan ortalamalara “HASSAS ORTALAMALAR” denir. İstatistikte dört çeşit hassas ortalama ağırlıksız veya ağırlıklı olarak hesaplanmaktadır. 2.1. Aritmetik Ortalama Bir veri setinin bütün elemanlarının değerlerinin toplanarak eleman sayısına bölünmesiyle elde edilen değere “ARİTMETİK ORTALAMA” denir. Basit seri, tasnif edilmiş seri ve gruplanmış serilerde aritmetik ortalamanın nasıl hesaplandığı örnekler yardımıyla uygulamalı olarak ele alınacaktır.

İstatiksel olarak toplanan verilerin hassas ortalamalarını hesaplayabilir. 2.1.1. Basit Serilerde Aritmetik Ortalama: Basit bir serinin gözlem değerlerinin (Xi) toplamının gözlem sayısına (N) bölünmesi ile elde edilir. Basit serilerde aritmetik ortalamanın ( X ) formülü aşağıda verilmiştir. X = i=1 N X i N = X 1 + X 2 + ……………….. + X N N   ÖRNEK: İstatistik dersi sınavına giren 5 öğrencinin aldığı notlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Öğrencilerin aldığı notların aritmetik ortalamasını hesaplayınız. İstatistik Notları (Xi) 70 80 40 90 50 X = i=1 N X i N = 70+80+ 40 +90+50 5 =66

İstatiksel olarak toplanan verilerin hassas ortalamalarını hesaplayabilir. 2.1.2. Tasnif Edilmiş Serilerde Aritmetik Ortalama: Aynı değere sahip ya da tekrarlanan gözlem değerlerinden frekanslar (fi) bulunur, bulunan frekanslar karşılık geldikleri değerlerle (Xi) çarpılır, bu çarpımdan elde edilen değer toplam frekans sayısına ( 𝒇 𝒊 ) bölünürse tasnif edilmiş serilerde aritmetik ortalama hesaplanmış olur. Tasnif edilmiş serilerde aritmetik ortalamanın ( X ) formülü aşağıda verilmiştir. X = i=1 k f i X i i=1 k f i = f 1 X 1 + f 2 X 2 + ……………….. + f k X k f 1 + f 2 +………….+ f k

Notların Sıklığı (Frekansı) = fi İstatiksel olarak toplanan verilerin hassas ortalamalarını hesaplayabilir. HASSAS ORTALAMALAR ÖRNEK: Maliye bölümü öğrencilerinin İstatistik final sınavı notlarının tasnif edilmiş seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımın aritmetik ortalamasını hesaplayınız. X = i=1 k f i X i i=1 k f i = 1400 20 =70 Öğrencilerin Notları (Xi) Notların Sıklığı (Frekansı) = fi   fiXi 40 1 50 2 100 60 4 240 70 6 420 80 320 90 180 Toplam 𝑖=1 𝑛 𝑓 𝑖 =20 𝒊=𝟏 𝒏 𝒇 𝒊 𝑿 𝒊 =𝟏𝟒𝟎𝟎

İstatiksel olarak toplanan verilerin hassas ortalamalarını hesaplayabilir.   2.1.3. Gruplanmış Serilerde Aritmetik Ortalama: Bir değişkene ait çok sayıda ve birbirinden farklı veri mevcut ise bu verileri tasnif edilmiş seri (küme) şeklinde düzenlemek zordur. Bu gibi durumlarda değişkenlerin birbirine yakın değere sahip verileri bir arada toplanarak gruplanmış seri olarak sunulabilir. Gruplanmış serilerde aritmetik ortalama hesaplanırken ilk olarak her bir grubun orta noktası ya da değeri (mi) aşağıdaki formül yardımıyla bulunmalıdır. 𝒎 𝒊 = 𝒍 𝟏 + 𝒍 𝟐 𝟐 = 𝑮𝒓𝒖𝒑𝒖𝒏 𝒂𝒍𝒕 𝒔ı𝒏ı𝒓ı+𝑮𝒓𝒖𝒃𝒖𝒏 ü𝒔𝒕 𝒔ı𝒏ı𝒓ı 𝟐 Her bir gruba düşen gözlem sayısı o grubun frekansını (fi) verir. Her bir gruptaki frekans sayısı (fi) o grubun orta değerleri (mi) ile çarpılır, bu çarpımdan elde edilen değer toplam frekans sayısına ( 𝒇 𝒊 ) bölünürse gruplanmış serilerde aritmetik ortalama hesaplanmış olur. Gruplanmış serilerde aritmetik ortalamanın ( X ) formülü aşağıda verilmiştir. X = i=1 k f i m i i=1 k f i = f 1 m 1 + f 2 m 2 + ……………….. + f k m k f 1 + f 2 +………….+ f k

İstatiksel olarak toplanan verilerin hassas ortalamalarını hesaplayabilir. ÖRNEK: Sakarya Üniversitesi İİBF öğrencilerinin istatistik yılsonu notlarının gruplanmış seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımın aritmetik ortalamasını hesaplayınız. X = i=1 k f i m i i=1 k f i = 33550 500 =67.1

İstatiksel olarak toplanan verilerin hassas ortalamalarını hesaplayabilir. 2.1.5. Ağırlıklı Aritmetik Ortalama: Bazı durumlarda serideki verilerin önem dereceleri (ağırlıkları) farklı olabilir. Böyle durumlarda aritmetik ortalama hesaplanırken bu ağırlıklarında ( wi ) dikkate alınarak hesaplamaya katılması daha uygun olur. Çeşitli seriler için ağırlıklı aritmetik ortalama ( 𝑋 𝐴 ) aşağıdaki formüller yardımıyla hesaplanabilir. Basit Seride Ağırlıklı Aritmetik Ortalama: 𝑋 𝐴 = i=1 N 𝑤 𝑖 X i i=1 N 𝑤 𝑖 Tasnif Edilmiş Seride Ağırlıklı Aritmetik Ortalama: 𝑋 𝐴 = i=1 k 𝑤 𝑖 f i X i i=1 k 𝑤 𝑖 f i   Gruplanmış Seride Ağırlıklı Aritmetik Ortalama: 𝑋 𝐴 = i=1 k 𝑤 𝑖 f i m i i=1 k 𝑤 𝑖 f i HASSAS ORTALAMALAR

İstatiksel olarak toplanan verilerin hassas ortalamalarını hesaplayabilir. Örnek: Bir öğrencinin bahar döneminde aldığı derslerin kredisi ve notları aşağıda verilmiştir. Öğrencinin bahar dönemindeki ağırlıklı not ortalamasını bulunuz. 𝑋 𝐴 = i=1 N 𝑤 𝑖 X i i=1 N 𝑤 𝑖 = 900 12 =74 Dersin Adı Dersin Kredisi (wi) Not (Xi) wi Xi İstatistik 3 70 210 İktisada Giriş 4 80 320 İngilizce 60 180 İnkılap Tarihi 2 95 190 Toplam 𝑖=1 𝑛 𝑤 𝑖 =12   𝑖=1 𝑛 𝑤 𝑖 𝑋 𝑖 =900

Altın Fiyatlarındaki % Artışlar (Xi) İstatiksel olarak toplanan verilerin hassas ortalamalarını hesaplayabilir HASSAS ORTALAMALAR Örnek: Altın fiyatlarının günlük yüzde artış değerleri aşağıda verilmiştir. Geometrik ortalamasını hesaplayınız. G= 𝑁 𝑋 1 𝑋 2 ……… 𝑋 𝑁 = 5 1∗2∗4∗8 = 4 64 = 2.83 Günler Altın Fiyatlarındaki % Artışlar (Xi) Pazartesi 1 Salı 2 Çarşamba 4 Perşembe 8

İstatiksel olarak toplanan verilerin hassas ortalamalarını hesaplayabilir. 2.1. Kareli Ortalama: Gözlem değerlerinin karelerinin ( 𝑋 𝑖 2 ) aritmetik ortalamasının karekökü alındığında elde edilen sonuca “KARELİ ORTALAMA” denir. Özellikle, serideki (-) ve (+) değerlerinin toplamı sıfır çıktığı durumlarda aritmetik ortalama hesaplanamayacağından kareli ortalamayı kullanabiliriz. Basit seri, tasnif edilmiş seri ve gruplanmış serilerde kareli ortalamanın nasıl hesaplandığı örnekler yardımıyla uygulamalı olarak ele alınacaktır. 2.1.1. Basit Serilerde Aritmetik Ortalama: Basit serilerde kareli ortalamanın (K) formülü aşağıda verilmiştir. K= i=1 N 𝑋 𝑖 2 N = 𝑋 1 2 + 𝑋 2 2 + ……………….. + 𝑋 𝑁 2 N

HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR İstatistiksel hassas olmayan ortalamaları tanımlayabilir. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR Gözlem değerlerinin tamamı işleme katılmadan hesaplanan ortalamalara “HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR” denir. Hassas olmayan ortalamalar Mod, Medyan ve Kantiller olarak üç gruba ayrılırlar. Bu üç farklı hassas olmayan ortalamanın basit seriler, tasnif edilmiş seriler ve gruplanmış serilerde nasıl hesaplandığı ilerleyen bölümlerde örnekler yardımıyla açıklanacaktır. Mod (Tepe Değeri) Bir seride en fazla tekrarlanan ya da en çok frekansa sahip olan değere “MOD” denir.

HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR İstatistiksel hassas olmayan ortalamaları tanımlayabilir. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR 3.1.1. Basit Serilerde Mod Basit bir seride en fazla tekrarlanan gözlem değeri tespit edildiğinde mod bulunmuş olur. Basit seride en fazla tekrarlanan birden fazla gözlem değeri varsa mod bulunamaz. ÖRNEK: Aşağıdaki tabloda İstatistik dersi sınavına giren 5 öğrencinin aldığı notlar verilmiştir. Serinin modunu bulunuz. İstatistik Notları (Xi) 70 50 40 90 50 Seride en fazla tekrarlanan gözlem değeri (en fazla alınana not) 2 kere ile 50 değeri olduğundan serinin modu 50’dir.

HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR Notların Sıklığı (Frekansı) = fi İstatiksel olarak toplanan verilerin hassas olmayan ortalamalarını hesaplayabilir. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR 3.1.2. Tasnif Edilmiş Serilerde Mod Tasnif edilmiş serilerde en yüksek frekansa karşılık gelen gözlem değeri serinin modunu vermektedir. Tasnif edilmiş seride birden fazla en yüksek frekansa sahip değer varsa seri gruplanmış seriye dönüştürülerek bu durum ortadan kaldırılabilir. ÖRNEK: Maliye bölümü öğrencilerinin İstatistik final sınavı notlarının tasnif edilmiş seri olarak aşağıda verilmiştir. Serinin modunu bulunuz. En fazla frekansa sahip (frekans=6) gözlem değeri olan 70 değeri serinin modunu vermektedir. İstatistik dersinde en fazla alınan not 6 öğrenci ile 70’tir. Öğrencilerin Notları (Xi) Notların Sıklığı (Frekansı) = fi 40 1 50 2 60 4 70 6 80 90 100

HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR İstatiksel olarak hesaplanan hassas olmayan ortalamalarını yorumlayabilir. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR

HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR İstatiksel olarak hesaplanan hassas olmayan ortalamalarını yorumlayabilir. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR

HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR İstatistiksel hassas olmayan ortalamaları tanımlayabilir. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR 3.1.3. Gruplanmış Serilerde Mod Gruplanmış serilerde maksimum frekans belli bir gözleme değil bir sınıf aralığına yani gruba karşılık geleceğinden modu belli aşamalar sonucunda hesaplanabilir. İlk aşamada en yüksek frekansa sahip sınıf aralığı belirlenir ki bu sınıf aralığına “mod sınıfı” denir. İkinci aşamada, belirlenen mod sınıfının alt sınırı ya da üst sınırına göre aşağıdaki formüller yardımıyla gruplanmış seride mod hesaplanır. İki formülde aynı sonucu verecektir. Sınıfın alt sınıra göre mod: 𝑀𝑜𝑑 𝑎𝑙𝑡 = 𝐼 𝑎𝑙𝑡 + 𝛥 1 𝛥 1 + 𝛥 2 . 𝑠 Yukardaki denklemlerde, Ialt : Mod sınıfının alt sınırı s : Sınıf aralığı Δ1 : Mod sınıfının frekansı ile bir önceki sınıfın frekansı arasındaki mutlak fark Δ2 : Mod sınıfının frekansı ile bir sonraki sınıfın frekansı arasındaki mutlak farkı ifade etmektedir.

HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR İstatiksel olarak hesaplanan hassas olmayan ortalamalarını yorumlayabilir. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR ÖRNEK : Sakarya Üniversitesi İİBF öğrencilerinin istatistik yılsonu notlarının gruplanmış seri olarak aşağıda verilmiştir. Serinin modunu hesaplayınız. Sınıfın alt sınıra göre mod: 𝑀𝑜𝑑 𝑎𝑙𝑡 = 𝐼 𝑎𝑙𝑡 + 𝛥 1 𝛥 1 + 𝛥 2 . 𝑠= 70+ 50 50+ 50 . 4=72 Başarı Derecesi Not Sınıfları (Gruplar) Sınıf Orta Değeri mi Öğrenci Sayısı (Frekansı) fi AA 90-100 95 50 BA 85-89 87 60 BB 80-84 82 40 CB 75-79 77 CC 70-75 72 100 DC 60-69 64,5 DD 50-59 54,5 DF 40-49 44,5 FF 0-39 19,5

HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR İstatiksel olarak hesaplanan hassas olmayan ortalamalarını yorumlayabilir. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR 3.4. Ortalamalar Arasındaki İlişkiler Serilerin ortasını ölçmek için kullanılan aritmetik ortalama, mod ve medyan arasındaki ilişki serinin simetri durumu hakkında bir ipucu verir. Aynı şekilde birinci, ikinci ve üçüncü kartil arasındaki ilişkide serinin simetri durumunu belirlemede yardımcı olur. 3.4.1. Aritmetik ortalama, Mod ve Medyan Karşılaştırılması ve Serinin Asimetrisi Serinin dağılımı simetrik olduğunda, serinin küçük ve büyük uç değerleri birbirine simetrik olacağından aritmetik ortalama, mod ve medyan birbirine eşit olacaktır. Serinin dağılımı simetriden uzaklaştıkça bu üç ortalama arasındaki farkta artacaktır. Asimetrik olan bu seriler sağa ya da sola çarpık (eğik) olacaktır. Üç ortalama arasındaki ilişkiden yola çıkarak serilerin asimetri durumunu aşağıdaki gibi özetleyebiliriz.

HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR İstatiksel olarak hesaplanan hassas olmayan ortalamalarını yorumlayabilir. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR Yukarıda grafiği çizilen serinin sıklık dağılımı ve dolayısıyla kendisi simetriktir. Aritmetik ortalama, medyan ve mod birbirine eşittir ve tepe noktasındadır. Yukarıda grafiği çizilen serinin sıklık dağılımı pozitif yöne eğimlidir ve sağa çarpıktır. Sağa çarpık serilerde küçük değerlerde yığılma olduğundan aritmetik ortalama en tepe noktada iken mod yatıklaşan tarafa yakındır.

HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR İstatiksel olarak hesaplanan hassas olmayan ortalamalarını yorumlayabilir. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR Yukarıda grafiği çizilen serinin sıklık dağılımı negatif yöne eğimlidir ve sola çarpıktır. Sola çarpık serilerde büyük değerlerde yığılma olduğundan mod en tepe noktada iken aritmetik ortalama yatıklaşan tarafa yakındır. Serinin asimetri durumu ve ortalamalar arasındaki ilişkiler yukarıdaki grafikler yardımıyla daha iyi görebiliriz. Dikkat edilmesi gereken husus medyan her zaman aritmetik ortalama ve modun arasında bir değere sahiptir.