Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm 1 1.7. Birinci Dereceden Lineer Eşitlikler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.7. Birinci Dereceden Lineer Eşitlikler (1.46) şeklindeki eşitliği gözönüne alalım. an, an-1, ...a1, a0 ve b ya birer sabit veya sadece x’in bir fonksiyonu olsun. Bu tür eşitliğe n’inci dereceden lineer diferansiyel eşitlik denir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Birinci dereceden bir lineer diferansiyel eşitlik (1.47) şeklinde olacaktır.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Birinci dereceden bir lineer diferansiyel eşitlik (1.47) şeklinde olacaktır. Eşitliğin her iki tarafı a1 katsayısına bölünürse, (1.47) eşitliği (1.48) şeklini alır.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Birinci dereceden bir lineer diferansiyel eşitlik (1.47) şeklinde olacaktır. Eşitliğin her iki tarafı a1 katsayısına bölünürse, (1.47) eşitliği (1.48) şeklini alır. Katsayıların sadece x’in bir fonksiyonu olabileceği belirtildiği takdirde eşitlik (1.49) şeklinde ifade edilebilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bunun integralini alabilmek için, eşitliğin sol tarafı x’e göre, R(x)y şeklindeki bir fonksiyonun diferansiyel katsayısı haline getirmek için I(x) olarak belirtilen integral faktörü ile çarpmamız gerekir. Bu çarpım sonucu sol taraf, (1.50) olur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifadenin (1.51) ile aynı olması gerekmektedir. (1.50) ve (1.51) ifadeleri aşağıdaki eşitlikler geçerli olduğu takdirde eşit (aynı) olacaktır. I = R ve IP = R yani, IP = I dolayısıyla ‘dır. (1.52)
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.52) nolu eşitlikten (1.53) elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.52) nolu eşitlikten (1.53) elde edilir. C için herhangi bir değer, örneğin C = 0 alınırsa; (1.54) bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durumu özetleyecek olursak (1.55) şeklindeki lineer birinci dereceden diferansiyel denklemin çözümü için
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durumu özetleyecek olursak (1.55) şeklindeki lineer birinci dereceden diferansiyel denklemin çözümü için 1. integral faktörü bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 2. (1.55) eşitliğinin her iki tarafı bu integral faktörü ile çarpıldığında (1.55) nolu eşitlik (1.56) şeklini alır.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 2. (1.55) eşitliğinin her iki tarafı bu integral faktörü ile çarpıldığında (1.55) nolu eşitlik (1.56) şeklini alır. 3. (1.56) nolu eşitlik şeklinde düzenlenerek her iki tarafın integrali alınırsa verilen diferansiyel denkleme ilişkin genel çözüm elde edilmiş olur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.22. diferansiyel denkleminin genel çözümünü elde ediniz.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlik göz önüne alınırsa bunun (1.55)’de verilen lineer birinci dereceden diferansiyel denklem türü olduğu görülür. Bu durumda integral faktörü
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlik göz önüne alınırsa bunun (1.55)’de verilen lineer birinci dereceden diferansiyel denklem türü olduğu görülür. Bu durumda integral faktörü elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Not: ‘dir. Eğer t = en ise elde edilir.Bunun sonucu olarak eln{...} = {...} bulunur. (1.57) nolu eşitliğin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa çarpım sonucu, (1.58) elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifade (1.59) şeklinde yazılır ve integrali alınırsa,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifade (1.59) şeklinde yazılır ve integrali alınırsa, (1.60) bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifade (1.59) şeklinde yazılır ve integrali alınırsa, (1.60) bulunur. Bunun sonucu olarak (1.61) elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.23. diferansiyel denkleminin genel çözümünü elde ediniz.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla (1.62) nolu ifadenin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa, çarpım sonucu,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla (1.62) nolu ifadenin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa, çarpım sonucu, (1.63) şeklinde yazılabilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.64) bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.24. diferansiyel denkleminin genel çözümünü elde ediniz.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.65) nolu eşitliğin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa eşitlik,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.65) nolu eşitliğin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa eşitlik, (1.66)
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.65) nolu eşitliğin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa eşitlik, (1.66) haline dönüşür ve bu eşitlikten elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alındığında dolayısıyla,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alındığında dolayısıyla, (1.67) genel çözümü bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.25. diferansiyel denkleminin x =1 iken y = 0 şartını kullanarak genel çözümünü elde ediniz.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.68) nolu eşitlik, eşitliğin her iki yanı x’e bölünürse, (1.69) şeklinde düzenlenebilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.68) nolu eşitlik, eşitliğin her iki yanı x’e bölünürse, (1.69) şeklinde düzenlenebilir. Görüldüğü gibi bu birinci dereceden lineer diferansiyel denklem türüdür. Bu durumda,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.68) nolu eşitlik, eşitliğin her iki yanı x’e bölünürse, (1.69) şeklinde düzenlenebilir. Görüldüğü gibi bu birinci dereceden lineer diferansiyel denklem türüdür. Bu durumda, dir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.69) nolu eşitliğin her iki yanı integral faktörü x2 ile çarpılırsa eşitlik, (1.70) bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.69) nolu eşitliğin her iki yanı integral faktörü x2 ile çarpılırsa eşitlik, (1.70) bulunur. (1.70)’ten ve dolayısıyla
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.69) nolu eşitliğin her iki yanı integral faktörü x2 ile çarpılırsa eşitlik, (1.70) bulunur. (1.70)’ten ve dolayısıyla (1.71) elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1, y = 0 şartı (1.71) nolu eşitlikte yerine konursa, elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1, y = 0 şartı (1.71) nolu eşitlikte yerine konursa, elde edilir. Bunun sonucu olarak özel çözüm, eşitliğinden
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1, y = 0 şartı (1.71) nolu eşitlikte yerine konursa, elde edilir. Bunun sonucu olarak özel çözüm, eşitliğinden şeklinde bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.26. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.72) nolu eşitliğin her iki yanı x2 ile bölünürse,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.72) nolu eşitliğin her iki yanı x2 ile bölünürse, (1.73) elde edilir. (1.73) nolu eşitlikten görüldüğü gibi bu birinci dereceden lineer diferansiyel denklemdir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlikten integral faktörü,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlikten integral faktörü,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlikten integral faktörü,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlikten integral faktörü, bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.73) nolu eşitliğin her iki yanı bu interal faktörü ile çarpılırsa, ve dolayısıyla
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.73) nolu eşitliğin her iki yanı bu interal faktörü ile çarpılırsa, ve dolayısıyla bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Sağ tarafın integralini elde etmek için, İfadeleri kullanılırsa,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Sağ tarafın integralini elde etmek için, İfadeleri kullanılırsa,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Sağ tarafın integralini elde etmek için, İfadeleri kullanılırsa,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Sağ tarafın integralini elde etmek için, İfadeleri kullanılırsa,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler bulunur. Her iki tarafın integralinin alınması sonucu,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.74) genel çözüm olarak elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.27. diferansiyel denklem sisteminin çözümünü elde ediniz.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.75) nolu eşitliğin her iki tarafı (x – 1) ile bölünürse eşitlik, (1.76) şeklini alır.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.75) nolu eşitliğin her iki tarafı (x – 1) ile bölünürse eşitlik, (1.76) şeklini alır. Bu eşitlikten integral faktörü
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.75) nolu eşitliğin her iki tarafı (x – 1) ile bölünürse eşitlik, (1.76) şeklini alır. Bu eşitlikten integral faktörü
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olarak bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olarak bulunur. (1.76) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olarak bulunur. (1.76) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa, elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla bu eşitlikten (1.77) bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla bu eşitlikten (1.77) bulunur. Her iki tarafın integrali alınırsa,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.78) genel çözümü elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.28. diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü elde ediniz.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.79) nolu eşitliğin her iki yanı x(1-x2) ile bölünürse eşitlik, (1.80) birinci dereceden lineer denklem şekline dönüşür.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.79) nolu eşitliğin her iki yanı x(1-x2) ile bölünürse eşitlik, (1.80) birinci dereceden lineer denklem şekline dönüşür. Bu eşitlikten integral faktörü ifadesinin çözümü sonucunda elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir. Dolayısıyla integral faktörü,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir. Dolayısıyla integral faktörü,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir. Dolayısıyla integral faktörü, bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.80) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.80) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.80) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa, ve bu eşitlikten, elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla her iki tarafın integrali alınırsa,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla her iki tarafın integrali alınırsa,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla her iki tarafın integrali alınırsa,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla her iki tarafın integrali alınırsa, (1.81) Verilen diferansiyel denklemin genel çözümü elde edilmiş olur.