TÜREV İ:K (2008)

GİRİŞ: Türevin ne olduğunu anlatmaya başlamadan önce limit kavramını tekrar masaya yatıralım. TANIM: (İ:K ) y=f(x) A kümesinde tanımlı bir fonksiyon olsun. x  A  {a} olmak üzere, x gerçel sayısı a sayısına çok ama çok yakın değerler alırken y=f(x) de  gibi bir ve yalnız bir gerçel sayıya çok ama çok yakın değerler alıyorsa o zaman x, a ya giderken f(x) in limiti dir denir ve bu durum ile gösterilir. Bazen bu durum için x  a için f(x)  kullanılsa da bu gösterilimi çok nadir kullanacağız. Merak etmeyin türeve geleceğiz az sonra

Öncelikle aşağıdaki problemi nasıl çözdüğümüze bakalım. Tabii ki orta okuldan beri gördüğümüz bir konu size hiç yabancı değil.

Ya hocam ne zaman geleceğiz türeve diyorsunuz biliyorum, geleceğiz merak etmeyin. Öncelikle bu dersin başındaki örneğe tekrar geri dönelim. SORU: Bir hareketlinin x zamanına göre aldığı yol y=f(x)=x 2 dir. Bu hareketlinin x=2 konumundaki anlık hızı kaç m/sn dir? Grafikle anlatım daha iyi olduğuna göre grafiği çizip oradan bulmaya çalışalım.

y x y=x 2 2x A(x,x 2 ) B(2,4) AB doğrusunun eğiminin ortalama hızı verdiğini biliyoruz. O halde dir. Amacımız neydi? Tam x=2 de anlık hızı ölçecektik. Ama bu fonksiyonda x=2 yazarsak tanımsızlık oluşmaktadır. (payda sıfır yapıyor) O zaman biraz değişiklikle yani x, 2’ye ne kadar yakın olursa hızı o kadar doğru hesaplayabiliriz. İşte şimdi işin içine limit giriyor.

Baklayı ağzımızdan çıkardık çıkarmasına ama hala türevi tanımlamadık. Aslında türevin ne işe yaradığını en azından bir örnekle ifade ettik. Ama bu daha başlangıç. İleride türev’in öyle güzel uygulamalarına tanık olacaksınız ki iyi ki de bu türevi matematikçiler bulmuş diyeceksiniz. Eh! artık türevin tanımını yapalım.

Tabii ki gelecek derste türevin tanımını yapacağız.

TANIM: y= f(x), A kümesinde tanımlı ve bu kümede sürekli bir fonksiyon olsun. limitine y=f(x) fonksiyonunun x=a daki türev değeri denir ve ile gösterilir. Nihayet bir fonksiyonun bir noktadaki türevini tanımladık Umarım sizi sıkmadım.

Çözüm: tanımını kullanalım. Şimdi bu tanıma göre aşağıdaki soruları çözelim. Soru 1: y= f(x) = x 3 fonksiyonu veriliyor. f‘(2) değeri kaçtır?

Çözüm: tanımını kullanırsak Soru 2: y= f(x) = x 2 +3 fonksiyonu veriliyor. f‘(  1) değeri kaçtır?

Soru 3: y= f(x) = x 2 +x+1 fonksiyonu veriliyor. f‘(0) değeri kaçtır? Çözüm: tanımını kullanalım.