NÜKLEER MADDE İÇİN YENİ BİR LANDAU PARAMETRE SETİ Ahmet BİÇER Nevin Zeynep ERDOĞAN Kaan MANİSA

Bu çalışma üç aşamadan oluşmaktadır: i) İlk olarak simetrik ve asimetrik nükleer madde için Varyasyonel Monte Carlo (VMC) hesaplamaları yapılmıştır, ii) İkinci aşamada, VMC hesaplamalarından elde edilen veriler kullanılarak yeni bir Skyrme parametre seti elde edilmiştir, iii) Son olarak, Landau-Skyrme parametrelendirmesi eşitlikleri kullanılarak nükleer madde için yeni bir Landau parametre seti elde edilmiştir. Elde edilen yeni Landau parametreleri kullanılarak, nükleer maddenin sıkıştırılamazlığı ve simetri enerjisi hesaplanmıştır.

NÜKLEER MADDE TEORİSİ Nükleer madde teorisi, deneysel olarak bilinen bağlanma enerjisi, denge yoğunluğu ve sıkıştırılamazlık gibi özellikleri elde etmeyi hedefler. Nükleer madde sadece güçlü etkileşim yoluyla etkileşen aynı tip nükleonlar sistemidir. Teorik bir yapı olmasına rağmen, hem atom çekirdeğini hem de nötron yıldızı maddesinin özelliklerini araştırmak için son derece yararlı bir modeldir.

Simetrik nükleer madde de nötron ve protonların sayısı eşit olduğu gibi kütleleri de eşit kabul edilir. Asimetrik nükleer madde durumunda, nötron ve proton sayıları artık farklıdır. Asimetrik nükleer madde, nötron veya proton sayısının fazlalığına göre sırasıyla nötron zengini madde veya proton zengini madde olarak da adlandırılır. Simetrik nükleer maddenin doyma yoğunluğu ve enerjisi kararlı çekirdeğin yarıçap ve kütlesinden deneysel olarak elde edilebilirken asimetrik nükleer maddenin bu fiziksel özelliklerinde hala bir belirsizlik vardır.

LANDAU TEORİSİ Fermi Sıvıları Teorisi V hacmi içindeki N tane parçacıktan oluşan sistemin makroskopik özellikleri Landau teorisine göre hesaplanır. Sıvılar için geliştirilen Van der Waals denkleminde olduğu gibi, bir sıvı gibi davranan bileşik çekirdek de basınca ve yoğunluğa bağlı bir hal denklemine sahiptir. Bu denklem bir sıvının ya da gazın fiziksel özelliklerini belirler.

İdeal Fermi Gazı ve Fermi Sıvıları Genelde, belirli bir hacim içinde serbestçe hareket eden parçacıklardan oluşmuş bir sistem ideal gaz olarak ifade edilir. İdeal gazdaki parçacıklar birbirleriyle çarpışabilir ve bunun sonucunda enerji değiş-tokuşu yapabilirler. Ancak ideal gazı oluşturan parçacıklar arasındaki etkileşmeler önemsenmeyecek kadar zayıftır. İdeal gazı oluşturan her parçacığın kuantum durumu diğer parçacıkların kuantum durumlarından bağımsızdır.

MONTE CARLO YÖNTEMİ Varyasyonel Monte Carlo Varyasyonel Monte Carlo (VMC) metodu, sistemin taban durumuna yaklaşmak için uygulanan varyasyonel bir Kuantum Monte Carlo metodudur. VMC çok boyutlu integrallerin sayısal olarak hesaplanmasında kullanılır. Monte Carlo yöntemi, yapay bir dinamik (artificial dynamics) kullanarak çok cisim sistemlerini simüle etmek için kullanılan metotlardan birisidir ve rastgele sayılar (random numbers) üzerine kurulmuştur. Bu yöntemde kullanılan yapay dinamik bize çok parçacıktan oluşmuş bir sistemin dinamik fiziksel özellikleri hakkında birçok durumda bilgi sağlar.

Monte Carlo uygulamalarının en önemli ve belirgin özelliği, gelişigüzel örnekleme yöntemlerinin hesaplardaki temel rolüdür. Uygulanan bütün Monte Carlo yöntemlerinde belirli olasılık dağılımlarından örnekler seçilir. Ele alınan fiziksel problemin çözümünde, istatistiksel veriler bu örneklerden toplanır ve bunların analizi ile çözüme gidilir. Özellikle Monte Carlo yöntemi, incelenen fiziksel problemin analitik bir çözümü bulunmadığı durumlarda problemin teorik çözümünde önemli rol oynar.

Jastrow Yaklaşımı Çalışmamızda Jastrow yaklaşımını Varyasyonel Monte Carlo yöntemi ile nükleer madde enerjilerinin beklenen değerlerini hesaplamak için kullandık. Jastrow yaklaşımının amacı, birçok parçacık dalga fonksiyonu oluşturmak ve bu dalga fonksiyonuna göre hesaplanan toplam enerjiyi minimize ederek varyasyonel parametreleri belirlemektir.

Genel olarak basit Fermi sistemleri için iki ve üç cisim korelasyon fonksiyonları , varyasyonel dalga fonksiyonu , ile spin-aşağı ve spin-yukarı parçacıklar için yazılan ve antisimetrik Slater determinantlarının çarpımına eşittir: (1.1)

Bu denklemi korelasyon fonksiyonları Bu denklemi korelasyon fonksiyonları olduğunda Hartree-Fock şekline dönüşür. Jastrow yaklaşımı üç cisim korelasyonu ve çift korelasyon olduğunda elde edilir. Buna göre varyasyonel dalga fonksiyonu, (1.2) şeklinde verilir. Burada sadece parçacıklar arasındaki mesafenin yani ’nin bir fonksiyonu olan iki parçacık korelasyon fonksiyonudur. ise sistemdeki parçacıkların birbirleriyle etkileşmedikleri durumda elde edilen dalga fonksiyonudur.

ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE TARTIŞMA Herhangi bir nükleer maddenin özelliklerinin hesaplanmasında başlangıç noktası, nükleon-nükleon etkileşmesini ifade eden bir iki cisim potansiyelidir. Orta mesafelerde nükleon-nükleon etkileşmesi çekici olmasına rağmen kısa mesafelerde çok itici özellik gösterir. Bu durum nükleonları çekirdeğe bağlayan tek piyon değiş-tokuşuyla meydana gelen orta mesafedeki etkileşme ve korelasyonların bir kombinasyonudur.

Lagaris ve Pandharipande deneysel verilere en iyi şekilde uyum sağlaması için 14 operatör bileşen içeren Urbana potansiyelini aşağıdaki şekilde ifade etmişlerdir. (1.3)

Bu denklemde 14 operatörün kullanılmasındaki amaç deneysel verilere en iyi şekilde uyum sağlamasıdır. Denkleme bakıldığında ilk dört terimin ( , , , ) yani skaler terimle spin ve izospine bağlı terimlerin şiddetleri diğer terimlere göre çok daha büyüktür (Lagaris and Pandharipande, 1981 a; Lagaris and Pandharipande, 1981 b). Ayrıca sonsuz nükleer maddenin simetrileri nedeniyle açısal momentuma bağlı terimler nükleer maddenin bağlanma enerjisine önemli bir katkıda bulunmazlar. Bu nedenle Urbana potansiyelinin ilk dört terimini dikkate alarak hesaplamalar yapılmıştır.

(1.5) burada , , ve terimler sadece i ve j nükleonu arasındaki mesafeye bağlıdır. Varyasyonel Monte Carlo hesaplamalarımızda üç ve daha çok cisim etkileşmelerini temsil etmek için şeklinde bir potansiyel kullandık. Bu durumda kullandığımız Urbana etkileşim potansiyeli bu şekildedir. Burada Urbana potansiyelinin kısa mesafede etkili olan kuvvetli itici kısmıdır. ve serbest parametrelerdir.

SONUÇLAR 1) VMC Sonuçları Simetrik nükleer madde için yoğunluğu 0.002fm-3 değerinden 0.20 fm-3 değerine kadar 0.002 aralıklarla artırarak, YP=0.25 ve YP=0.32143 izospin parametrelerinde asimetrik nükleer madde için ise yoğunluğu 0.01fm-3 değerinden 0.20fm-3 değerine kadar 0.01 aralıklarla artırarak ve Urbana potansiyelini kullanarak toplam 140 yoğunluk değeri için Varyasyonel Monte Carlo hesaplamaları yaptık. Simetrik nükleer madde için Şekil 1.1’de, asimetrik nükleer madde için Şekil 1.2’de toplam enerjinin yoğunlukla değişim grafikleri verilmiştir.

Şekil 1. 1 Simetrik nükleer madde (YP=0,5 0 Şekil 1.1 Simetrik nükleer madde (YP=0,5 0.0) için VMC hesaplamalarından elde edilen toplam enerjinin yoğunlukla değişimi.

Şekil 1.2 Asimetrik nükleer madde için (YP=0,25 ve YP=0,32143) VMC hesaplamalarından elde edilen toplam enerjinin yoğunlukla değişimi.

2) Nükleer Madde İçin Yeni Skyrme Parametre Seti Varyasyonel Monte Carlo hesaplamalarından, simetrik ve asimetrik nükleer madde için elde edilen enerji değerleri, yoğunluğa bağlı Skyrme enerji denkleminde kullanılarak nükleer madde için yeni Skyrme parametre seti elde edilmiştir. Yeni Skyrme parametre seti Çizelge 1.1’de verilmiştir. Çizelge 1.1 Nükleer madde için elde edilen yeni Skyrme parametre seti .(MeV.fm3) .(MeV.fm5) .(MeV.fm6) -561,9948614 -0,185293342 1931,494108 -5061,49105 51506,8365

simetrik nükleer madde için, Varyasyonel Monte Carlo hesaplamalarından ve yeni Skyrme parametre seti kullanılarak elde edilen bağlanma enerjisi, doyma yoğunluğu ve Fermi momentumu değerleri bir arada verilmiştir. Bu değerler birbirlerine yakın olmakla birlikte, deneysel değerlerle de uyumludur.

Çizelge 1.2 Beiner ve ark. (1975) SII, SIII, SIV, SV ve SVI Skyrme parametreleriyle nükleer madde için elde ettikleri değerler ve bu çalışma Skyrme Etkileşmeleri E/A (MeV) (fm-3) kF (fm-1) SVI -15.77 0.145 1.29 SIII -15.87 SII -16.00 0.148 1.30 SIV -15.98 0.152 1.31 SV -16.06 0.155 1.32 Bu çalışma -15.49 0.156

3) Skyrme Etkileşmesi Kullanarak Nükleer Madde için Landau Parametrelerinin Elde Edilmesi Hartree-Fock hesaplamalarını, normal Fermi sıvılarının Landau teorisi çatısı altında da dikkate almak hem önemlidir hem de faydalıdır (Landau, 1957, 1959; Migdal, 1967). Bu yaklaşım altında nükleer maddenin bu özellikleri, Fermi yüzeyinde iki-cisim etkileşmesi cinsinden yazılabilir.

Nükleer maddenin sıkıştırılamazlık, etkin kütle ve simetri enerjisi boyutsuz Landau parametreleri cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir (Backman, et al., 1975): (1.6) Vautherin ve Brink, (1975)’in çalışmalarında, beş tane parametre içeren Skyrme etkileşmesi nükleer madde özelliklerinde etkilidir.

Çizelge 1.3 SK I-VI arasındaki Skyrme etkileşmeleri ve onların en iyi deneysel değerleri için Landau parametreleri (Backman, et al., 1975). Etkileşme F0 F0’ G0 G0’ F1 F1’=G1=G1’ SK I +0.558 +1,214 -2,269 -0,528 -0,266 +0,430 170,00 SK II -0,057 +0,695 -0,770 -0,037 -1,262 +0,477 271,54 SK III +0,300 +0,869 -1,576 -0,351 -0,711 +0,490 207,86 SK IV -0,269 +0,240 +0,059 +0,150 -1,592 +0,471 332,85 SK V -0,457 +0,044 +0,057 +0,306 -1,853 +0,464 405,33 SK VI +0,740 +1,216 -2,627 -0,706 -0,152 0,510 167,18 Deneysel değerler +0,1 +0,7 +1,15 +1,45 -0,6 F1’=+0,5 G1=+0,3 G1’=+0,3

Genelleştirilmiş Skyrme parametrelerini; E/A, kF ve Landau parametreleri cinsinden yazabiliriz:

Ayrıca yukarıdaki denklemin neticesindeki iki sınırlamadan, yazılabilir. Burada

Biz bu çalışmada, bahsettiğimiz gibi nükleer madde özelliklerinin belirlenmesinde etkili olan beş tane Skyrme parametresini yukarıdaki denklemlerde kullanarak sekiz tane Landau parametresini elde ettik. Landau parametrelerini elde ederken, hesaplamalarımızda VMC hesaplamalarımızdan elde ettiğimiz, t0 (MeV.fm3) =-561.9948614, t1 (MeV.fm5) =-0.185293342, t2 (MeV.fm5) = 1931.494108, t3 (MeV.fm6) = -5061.49105, x0 = 51506.8365 Skyrme parametrelerini ve bu parametreleri kullanarak elde ettiğimiz E/A=-15.49 MeV, kF=1.32 fm-1 değerlerini kullandık. Ayrıca m*=m, =154.870 değerleri kullanılmıştır.

Elde edilen Landau parametrelerinin sayısal değerleri: Hartree-Fock yaklaşımının kullanımının gerektirdiği eşitlikte elde ettiğimiz Landau parametrelerinin değerlerini yerine yazarsak,

değerini elde ederiz, buda Landau parametrelerinin kabul edilebilirliğini göstermektedir. Elde edilen yeni Landau parametrelerini kullanarak, nükleer maddenin sıkıştırılamazlığını C=218 MeV ve simetri enerjisini de =9.62 MeV şeklinde elde ettik. Nükleer maddenin sıkıştırılamazlığının literatürdeki değeri 240-300 MeV arasındadır ve hata payı MeV değişir (Manisa, et al., 2009). Bulduğumuz sıkıştırılamazlık değeri, hata payı da dikkate alındığında literatürdeki değer aralığındadır.

Simetri enerjisinin deneysel değeri MeV dir (Finelli, et al. , 2004) Simetri enerjisinin deneysel değeri MeV dir (Finelli, et al., 2004). Bizim elde ettiğimiz simetri enerjisi değeri bu değerden oldukça farklıdır. Bu farklığın sebebi, hesaplamalarımızda m*/m=1 almamızdan kaynaklanabilir. Çünkü bu oranın bir alınması değerini etkilemekte, dolayısıyla F1 Landau parametresinin değerini değiştirmektedir, buda simetri enerjisinin değerini denklem (1.6) gereğince etkilemektedir.

SONUÇ Backman ve arkadaşları (1975), E/A=-16 MeV, kF=1.35fm-1 ve deneysel Landau parametre değerlerini kullanarak; to=-1059.8 MeV.fm3, t1=-393.6 MeVfm5, t2=571.8MeVfm5, t3=11232.7 MeVfm6, t4=-204.6 MeVfm8, x0=0.3695, x1=-1.330 ve x2=-0,3818 parametrelerinden oluşan bir Skyrme parametre seti elde etmişlerdir. Bu çalışma, Backman ve arkadaşlarının (1975) yaptığı çalışmanın tersi gibi düşünülebilir. Biz ilk olarak simetrik ve asimetrik nükleer madde için VMC hesaplamaları yaptık. Yoğunluğa bağlı enerji değerlerini elde ettik.

Bulduğumuz değerlerin doğruluğunu kontrol etmek amacıyla, simetrik nükleer madde için elde ettiğimiz doyma yoğunluğu ve buna karşılık gelen doyma enerjisini literatürdeki deneysel değerleri ile karşılaştırdık. Karşılaştırmanın sonucunda, VMC den elde ettiğimiz E/A=-15.67 MeV, kF=1.32 fm-1 değerlerinin kabul edilebilir olduğunu gördük

İkinci aşamada artık, nükleer madde için kabul edilebilirliğini gördüğümüz, VMC den elde ettiğimiz enerji değerlerini, Vautherin ve Brink tarafından da kullanılan yoğunluğa bağlı Skyrme etkileşim potansiyelinde kullanarak Skyrme etkileşme parametrelerini elde ettik.

Tekrar bu elde ettiğimiz Skyrme parametrelerinin doğruluğunu kontrol etmek için, simetrik nükleer maddenin bağlanma enerjisini ve doyma yoğunluğunu bu parametreleri E/A=-15.49 MeV, kF=1.32 fm-1 şeklinde elde ettik. Bu değerlerin deneysel verilerle ve VMC den elde ettiğimiz değerlerle uyumlu olduğunu gördük Son aşamada ise, bulduğumuz yeni Skyrme parametrelerini, E/A, ve kF değerlerini, Landau parametreleri cinsinden yazılmış, genelleştirilmiş Skyrme etkileşim denklemlerinde kullanarak Landau parametrelerini elde ettik.

ÖNERİLER Bu çalışmada Landau parametrelerini elde ederken, Vautherin ve Brink’in çalışmalarında da verilen, beş parametreden oluşan ve Varyasyonel Monte Carlo hesaplamalarından elde edilen Skyrme parametre seti kullanılmıştır. İleri ki çalışmalarda Skyrme parametrelerine x1, x2 ve t4 parametreleri de eklenerek yeniden bir Skyrme parametre seti ve buna bağlı olarak ta yeniden yeni bir Landau parametre seti elde edilebilir.

Bu çalışmada m. =m alınarak =154 Bu çalışmada m*=m alınarak =154.870 değeri elde edilmiş ve hesaplamalarda buna göre yapılmıştır. İleri çalışmalarda değeri literatürden alınıp, buradan etkin kütle ve sonrasında da F1 Landau parametresi elde edildikten sonra diğer parametreler elde edilip, elde edilen Landau parametreleri ile bulunan sonuçlar bu çalışmada elde edilen sonuçlarla karşılaştırılabilir.

TEŞEKKÜRLER