Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş TBF 122 - Genel Matematik II DERS – 12 : Karma Kısıtlı Maksimizasyon ve Minimizasyon Problemleri (Büyük M Yöntemi) Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Bu derste, karma kısıtlı, yani problem kısıtlamalarından bir kısmı  , bir kısmı  ve bir kısmı da = olarak verilen doğrusal programlama problemlerini ele alacağız. Önce, karma kısıtlı maksimizasyon problemlerinin çözümünü tartışacağız. aylak değişken Bir örnekle başlayalım. artık değişken fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Burada, problem kısıtlamalarındaki sağ taraf sabitlerinin hiçbirinin negatif olmadığına dikkat ediniz. Büyük M yöntemini uygulayabilmemiz için bu koşulun sağlanması gereklidir. İlk eşitsizliğe s1 aylak(slack) değişkenini katarak x1 + x2 + s1 = 8 ve ikinci eşitsizliğe de s2 artık (surplus) değişkenini katarak x1 - x2 – s2 = 2 eşitliği bulunur. Böylece, verilen doğrusal programlama problemi yukarıda, yandaki sisteme dönüşür.

İlk eşitsizliğe s1 aylak(slack) değişkenini katarak x1 + x2 + s1 = 8 ve ikinci eşitsizliğe de s2 artık (surplus) değişkenini katarak x1 - x2 – s2 = 2 eşitliği bulunur. Böylece, verilen doğrusal programlama problemi yukarıda, yandaki sisteme dönüşür. fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. aylak değişken artık değişken Bu sistemde, x1 ve x2 temel olmayan değişken olarak seçilip x1 = x2 = 0 alınarak elde edilen temel çözüm x1 = 0 , x2 = 0 , s1 = 8 , s2 = -2 , K = 0 uygun olmayan bir temel çözümdür; çünkü, s2 = -2 < 0 . Bu nedenle, bu problem simpleks tablosu yazılıp anahtar işlemler uygulanarak çözülemez.

Simpleks yöntemini uygulayabilmek için sistemdeki her artık değişkenin yanına bir yapay (artificial) değişken ilave edilir. Bundan maksat, sistemin bir uygun temel çözüme sahip olmasını garanti etmektir. Ayrıca, ilave edilen yapay değişkenin en iyi çözümün bir parçası olmasını engellemek için, yeterince büyük bir M sayısı seçilerek, ilave edilen yapay değişken a1 ise, Ma1 ifadesi amaç fonksiyonundan çıkarılır. Örnek problemimizde, s2 artık değişkenine karşılık a1 yapay değişkeni alınır ve ikinci denklem x1 – x2 – s2 + a1 = 2 olarak; amaç fonksiyonu da K = 3x1 + 4x2 - Ma1 olarak yazılır. yapay değişken Böylece problemimize karşılık gelen sistem aşağıdaki biçimi alır: Bu sisteme problemin hazırlık sistemi denir. Önceki sayfada, aylak değişkenler içermeyen sisteme de problemin hazırlık öncesi sistemi denir.

hazırlık sistemi Hazırlık sisteminden yararlanılarak yazılan aşağıdaki tabloya problemin hazırlık tablosu diyeceğiz. x1 x2 s1 s2 a1 K Eğer hazırlık tablosu aşağıdaki iki şartı sağlıyorsa, simpleks yöntemi bu tablodan başlatılır. Aksi halde, hazırlık tablosuna uygun satır işlemleri uygulanarak sözü edilen iki şartın sağlandığı bir tablo elde edilir ve simpleks işlemleri o tablodan başlatılır. 1. Gerektiği kadar temel değişken daha önce belirtildiği biçimde, yani, seçilen her temel değişkenin ait olduğu sütunda sadece bir tane sıfırdan farklı sayı bulunacak ve farklı değişkenlere ait sıfırdan farklı sayılar aynı satırda olmayacak biçimde, seçilebilmelidir. (Temel değişkenlerden birinin daima K olacağını unutmuyoruz.) 2. Temel değişkenler seçildikten sonra temel olmayan değişkenler sıfır alınarak bulunan temel çözüm K-uygun temel çözüm olmalıdır.

 HAZIRLIK TABLOSU s1 HAZIRLIK TABLOSU Bizim hazırlık tablomuzda (daima temel değişken seçilecek K ile ) s1 ve s2 temel değişken olarak seçilip x1 = x2 = a1 = 0 alınarak elde edilen temel çözüm x1 = 0 , x2 = 0 , s1 = 10 , s2 = -2 , a1 = 0 , K = 0 uygun olmayan bir temel çözümdür; çünkü, s2 = -2 < 0 . Bu nedenle, s2 temel değişken olarak seçilmez, onun yerine a1 temel değişken olarak seçilir. Ancak a1 in temel değişken olarak seçilebilmesi için sağlanması gereken koşullar olduğunu unutmayalım. Hazırlık tablosunda gerekli satır işlemleri uygulanarak a1 temel değişken olarak seçilebilecek hale getirilmelidir. Daha sonra göreceğimiz üzere, eğer problem kısıtlamaları arasında eşitlik kısıtlaması varsa her bir eşitlik için de bir yapay değişken atanır. Eğer hazırlık tablosunun ikinci satırı -M ile çarpılıp son satıra eklenirse(yukarıda izleyiniz), a1 in temel değişken olarak seçilebileceği ve simpleks yönteminin başlatılmasına elverişli olan bir tablo elde edilir.

 HAZIRLIK TABLOSU s1 Başlangıç Tablosu Gerçekten, eğer bu tabloda K, s1 ve a1 temel değişken olarak seçilirse, karşılık gelen temel çözüm x1 = 0, x2 = 0, s1 = 8, s2 = 0, a1 = 2, K = -2M uygun temel çözüm olur. Dolayısıyla, simpleks yöntemi bu tablodan başlatılabilir. Bu tabloya problemin başlangıç tablosu denir. Başlangıç tablosunda son satırdaki negatif girdilerden en küçüğü, ikinci sütundaki –M-3 olduğundan, anahtar sütun, ikinci sütun ve anahtar satır da ikinci satırdır.

Son satırdaki sayılardan hiç biri negatif olmadığından, bu tablodan hazırlık sisteminin K-uygun temel çözümü, x1 = 5, x2 = 3, s1 = 0, s2 = 0, a1 = 0, K = 27 elde edilir. a1 = 0 olduğundan, asıl problemin çözümü: x1 = 5 , x2 = 3 için K = 27 maksimumdur. Eğer yapay değişkenin aldığı değer sıfırdan farklı olsaydı, problemin çözümsüz olduğu sonucuna varacaktık.

Karma kısıtlı maksimizasyon probleminde büyük M yöntemi: Adım 1. Hazırlık sistemi yazılarak hazırlıktablosu yapılır. Bunun için, a) Sağ taraf sabiti negatif olan eşitsizlik veya eşitlikler varsa, bu eşitlik veya eşitsizlikler -1 ile çarpılarak (eşitsizlik durumunda eşitsizliğin yön değiştireceği unutulmamalı) negatif olan sağ taraf sabitleri pozitife dönüştürülür. b) Her  kısıtı için bir aylak değişken atanır. c) Her  kısıtı için bir artık değişken ve bir yapay değişken atanır. ç) Varsa her = kısıtı için de bir yapay değişken atanır. d) Her yapay ai değişkenine karşılık amaç fonksiyonuna karşılık gelen denklemin sol yanına (M ai ) ifadesi toplanır. Adım 2. Hazırlık tablosunun son satırında yapay değişkenlere ait sütunlardaki M ler uygun satır işlemleriyle sıfıra dönüştürülerek başlangıç simpleks tablosu oluşturulur. Adım 3. Başlangıç simpleks tablosuna simpleks işlemlerini uygulayınız. Anahtar işlemlerin bir safhasında a) Anahtar sütunda kesik çizginin üzerinde hiç pozitif değer bulunmuyorsa, problemin çözümü yoktur. b) Kesik çizginin altında, yani son satırda, düşey çizginin solunda hiç negatif değer kalmamışsa, aşağıdaki iki duruma göre karar verilir: i) son tabloya karşılık gelen temel çözümde yapay değişkenlerden herhangi biri sıfırdan farklı ise, problemin çözümü yoktur. ii) son tabloya karşılık gelen temel çözümde yapay değişkenlerin tümü sıfır değerini alıyorsa, problemin en iyi çözümüne ulaşılmıştır.

Örnek. fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Hazırlık Sistemi: Hazırlık Tablosu:

Asıl problemin çözümü: x1 = 0, x2 = 6, x3 = 6 için Hazırlık Tablosu: Hazırlık sisteminin temel çözümü: x1= 0, x2 = 6, x3 = 6, s1 = 18, s2 = 0, a1 = 0, a2 = 0 , K = 18. Başlangıç Simpleks Tablosu: Asıl problemin çözümü: x1 = 0, x2 = 6, x3 = 6 için K = 18 maksimumdur.

Örnek. fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Hazırlık Sistemi: Hazırlık Tablosu:

Hazırlık Tablosu: Başlangıç Simpleks Tablosu: Son tabloda anahtar sütun dördüncü sütundur ve bu sütunda kesik çizgi üzerinde hiç pozitif girdi yoktur. O nedenle problemin çözümü yoktur.

Örnek. fonksiyonunu  kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Hazırlık Sistemi: Hazırlık Tablosu:

Hazırlık Tablosu: Hazırlık sisteminin en iyi çözümü: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, s1 = 0, s2 = 0, a1 = 0, a2 = 0, K = 20. Başlangıç Simpleks Tablosu: Problemin çözümü: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3 için K = 20 maksimumdur.

Büyük M yöntemi ile karma kısıtlı minimizasyon problemleri Karma kısıtlı bir minimizasyon problemi, karma kısıtlı maksimizasyon problemine dönüş-türülerek çözülür. Bu uygulama, sayı kümelerinin aşağıda ifade edilen özelliğine dayanır. S bir sayı kümesi, m, n  S olsun ve S nin elemanlarının işaretleri değiştirile-rek elde edilen küme T = {-s : s  S} olsun. Bu takdirde, -m elemanı T nin maksimum elemanı ise, m elemanı S nin minimum elemanıdır; karşıt olarak, n elemanı S nin minimum elemanı ise, -n elemanı da T nin maksimum elemanıdır.

Bu problemin çözümü, K(x1, x2, x3)= -15x1 - 30x2 – 5x3 alınarak Örnek. fonksiyonunu kısıtlamaları altında minimize ediniz. Bu problemin çözümü, K(x1, x2, x3)= -15x1 - 30x2 – 5x3 alınarak K(x1, x2, x3)= = -15 x1 - 30x2 – 5x3 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. problemi çözülerek elde edilir. K için bulunan maksimum değerin ters işaretlisi M için minimum değer olur. Son problemi büyük M yöntemi ile çözelim.

K(x1, x2,x3)= -15 x1 - 30x2 – 5x3 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Hazırlık Sistemi: Hazırlık Tablosu:

Minimizasyon probleminin çözümü: Hazırlık Tablosu: Hazırlık sisteminin en iyi çözümü: x1 = 0, x2 = 2, x3 = 8, s1 = 0, s2 = 0, a1 = 0, a2 = 0, K = -100. Maksimizasyon probleminin çözümü: x1 = 0, x2 = 2, x3 = 8 için K = -100 maksimumdur. Başlangıç Simpleks Tablosu: Minimizasyon probleminin çözümü: x1 = 0, x2 = 2, x3 = 8 için M = 100 minimumdur.

Kuru meyvenin en çok 4 katı Problem. Bir gıda şirketi, stoklarında bulunan kurutulmuş meyve ve mısır gevreğini belli oranlarda karıştırarak iki tür, A ve B türleri, kahvaltılık hazırlayıp piyasaya sürmek istiyor. Şirketin en az 600 kg A türü karışım hazırlaması gerekiyor. B türü karışımda, kullanılacak kurutulmuş meyvenin en çok dört katı kadar mısır gevreğinin bulunması isteniyor. Bu iş için şirketin elinde 600 kg kurutulmuş meyve ve 750 kg mısır gevreği bulunmaktadır. Şirket, A türü karışımın kilogramından 4 TL, B türü karışımın ki-logramından 5 TL kâr edeceğine göre maksimum kâr için her tür karışımda ne kadar kurutulmuş meyve ve ne kadar mısır gevreği bulunmalıdır? Maksimum kâr ne olur? Ne kadar A türü ve ne kadar B türü kahvaltılık hazırlanacaktır?   Kuru meyve Mısır gevreği Üretilecek miktar Kâr A En az 600 4 B Kuru meyvenin en çok 4 katı 5 Stok 600 750 A türü karışım içinde x1 kg kurutulmuş meyve , x2 kg mısır gevreği; B türü karışım içinde x3 kg kurutulmuş meyve ve x4 kg mısır gevreği bulunsun. Bu takdirde, firmanın kârı K(x1, x2, x3) = 4x1 + 4x2 + 5x3 + 5x4 TL olur. Problem kısıtları, stoklar , üretilecek miktarlar ve karışım oranları ile bağlantılıdır. Verilerden yararlanılarak problem kısıtları ifade edilir ve negatif olmama kısıtları eklenerek problemin matematiksel modeli oluşturulur.

K(x1, x2, x3) = 4x1 + 4x2 + 5x3 + 5x4 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Hazırlık sistemi

Hazırlık tablosu Başlangıç tablosu

Anahtar işlemlerle devam ediyoruz.

Hazırlık sisteminin bu tabloya karşılık gelen temel çözümü: x1 = 450, x2 = 150, x3 = 150, x4=600, s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0, s4 = 0, a1 = 0, K= 6150. Maksimizasyon probleminin çözümü: x1 = 450, x2 = 150, x3 = 150, x4=600 için K =6150 maksimumdur. Problemimize dönersek, A türü kahvaltıda 450 kg kurutulmuş meyve, 150 kg mısır gevreği, B türü kah-valtıda 150 kg kurutulmuş meyve ve 600 kg mısır gevreği bulunduğu takdirde maksimum kâr sağlana-caktır. Maksimum kâr, 6150 TL dir. Toplam 600 kg A türü ve 750 kg B türü karışım hazırlanacaktır.

En az 80, en çok normal koltuk sayısının yarısı Problem. Bir şirket, Ankara ve Manisa’daki fabrikalarında ofisler için normal koltuk ve makam koltuğu üretmektedir. Ankara’daki fabrikanın ürettiği toplam koltuk sayısı en çok 150, Manisa’daki fabrikanın ürettiği toplam koltuk sayısı da en çok 120 dir. Siparişler nedeniyle, en az 150 adet normal koltuk ve en az 80 adet makam koltuğu üretilmesi gerekmektedir. Ayrıca üretilecek makam koltuğu sayısının normal koltuk sayısının yarısını geçmemesi istenmektedir. Bir normal koltuk Ankara’da üretilirse 50 TL ye, Manisa’da üretilirse, 40 TL ye; bir makam koltuğu da Ankara’da üretilirse 75 TL ye, Manisa’da üretilirse 70 TL ye mal olmaktadır. Bu şirketin üretimini minimum maliyetle gerçekleştirebilmesi için Ankara ve Manisa’daki fabrikalarında her tür koltuktan kaçar adet üretmesi uygun olur? Minimum maliyet nedir?   Ankara Manisa miktar maliyet normal makam toplam En az 150 Ankara 50, Manisa 40 En az 80, en çok normal koltuk sayısının yarısı Ankara 75, Manisa 70 En çok 150 En çok 120

En az 80, en çok normal koltuk sayısının yarısı   Ankara Manisa miktar maliyet normal makam toplam En az 150 Ankara 50, Manisa 40 En az 80, en çok normal koltuk sayısının yarısı Ankara 75, Manisa 70 En çok 150 En çok 120 Ankara’daki fabrikada x1 adet normal koltuk, x2 adet makam koltuğu; Manisa’daki fabrikada x3 adet normal koltuk, x4 adet makam koltuğu üretilsin. Bu takdirde, şirketin Bu takdirde, şirketin gideri M(x1, x2 ,x3,x4) = 50x1 + 75x2 + 40x3 + 70x4 TL olur. Ankara’daki fabrikada en çok 150 koltuk üretileceğinden Manisa’daki fabrikada en çok 120 koltuk üretileceğinden En az 150 normal koltuk üretileceğinden En az 80 makam koltuğu üretileceğinden Makam koltuklarının sayısı normal sayısının en çok yarısı kadar olacağından ya da

Problemin matematiksel modeli şöyledir: K = 50x1 + 75x2 + 40x3 + 70x4 fonksiyonunu  kısıtlamaları altında minimize ediniz. Yukarıdaki problemin çözümü: olur. Minimum gider 12800 TL dir.