Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol DERS:3 DOĞRUSAL MODELLER ve MATRİS CEBRİ Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Piyasa ve ulusal gelir modellerine ilişkin denge çözümleri, İşle 144 dersinde işlediğimiz doğrusal denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri kullanılarak da çözülebilir. Bu dersimizde doğrusal denklemlerle ifade edilebilen modellerin denge çözümlerinin doğrusal denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri kullanılarak çözümünü göreceğiz. Bu nedenle İşle 144 dersinde gördüğümüz matrisler ve doğrusal denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri konularını kısaca hatırlayalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Şeklinde m tane satırı n tane sütunu olan dikdörtgen biçiminde tabloya m×n tipinde bir matris diyoruz ve kısaca şeklinde gösteriyoruz. olarak tanımlanır. Yine olarak tanımlanır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol olarak tanımlanır. Örnek 1: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol kare matrisine birim matris denir. Örnek 2: Bir A kare matrisinin tersi olarak tanımlanır. Örnek 3: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol şeklinde n tane bilinmeyen ve m tane denklemden oluşan denklem sistemine doğrusal denklem sistemi demiştik. İşle 144 dersinde böyle bir denklem sisteminin çözüm yöntemlerini detaylı bir şekilde görmüş ve satır işlemlerini kullanarak en genel çözüm yöntemi olarak Gauss Jordan Yoketme Yöntemini elde etmiştik. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bu denklem sisteminden yazılan matrisine katsayılar matrisi sütun matrislerine sıra ile bilinmeyenler matrisi ve sağ taraf sabitleri matrisi demiştik. Yukarıdaki denklem sistemimiz bir matris denklemi olarak şeklinde yazılabilir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit ise katsayılar matrisi bir karesel matristir. Bu tip denklem sistemlerinin çözümleri için Cramer ve Ters Matris Yöntemlerini öğrenmiştik. Bu durumda olur. Bilinmeyen sayısı denklem sayısına eşit ise denklem sisteminin bir çözümünün olabilmesi için A matrisi tekil bir matris olmamalıdır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bir kare matrisin satırları ya da sütunları, aralarında doğrusal (lineer) bağımlı iseler bu matris bir tekil matristir. Katsayılar matrisi tekil olan doğrusal denklem sistemlerinin biricik çözümü yoktur. Bu dersimizde katsayılar matrisi tekil olmayan yani tek çözümü olan denklem sistemleri ile ilgileneceğiz. Bir matriste aralarında doğrusal bağımsız olan satır sayısı r ise r ye bu matrisin rankı denir. Örnek 4: dır. O halde bu karesel matris bir tekil matristir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bir matrisin rankı o matris indirgenmiş matris şekline getirilerek bulunur. Bir matriste elemanlarının hepsi sıfır olamayan satır sayısı O matrisin rankını verir. rankA=2 dir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Matrislerin İşletme Problemlerinin çözümünde Kullanılması Örnek: Bir işletme A,B,C gibi üç ayrı mamulün üretiminde kullanılan üç farklı makineyi kıyaslayarak en çok karı sağlayacak makineyi tercih etmek istiyor. Üç mamulden elde edilen karlar sıra ile 300TL, 500TL, 400TL dir. Makinelerin mamullere göre üretim kapasitesi aşağıdaki tabloda verilmiştir. En çok kar elde edebilmek için üretimin hangi makinede yapılması uygundur? A B C 1. Makine 3 1 2 2. Makine 3. Makine 4 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Çözüm : Karları K sütün matrisi ile, makinelerin üretim kapasitelerini M matrisi ile gösterelim. Buna göre her bir makinenin üretiminden elde edilecek kar miktarları sıra ile olur. En çok kar 3. makineden elde edilir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: Bir işletme satın alacağı x,y,z gibi üç çeşit hammadde için dört ayrı firmadan teklif almıştır. Birinci firma x hammaddesi için 110TL, y hammaddesi için 150TL, z hammaddesi için 140TL fiyat vermiştir. İkinci firma x hammaddesi için 130TL, y hammaddesi için 135TL, z hammaddesi için 160TL fiyat vermiştir. Üçüncü firma x hammaddesi için 120TL, y hammaddesi için 110TL, z hammaddesi için 140TL fiyat vermiştir. Dördüncü firma x hammaddesi için 125TL, y hammaddesi için 120TL, z hammaddesi için 150TL fiyat vermiştir. Söz konusu işletme x hammaddesinden 100br, y hammaddesinden 125br, z hammaddesinden 90br satın alacaktır. Mallar en düşük fiyat veren firmadan alınacağına göre mallar hangi firmadan alınacaktır?

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Çözüm: Problemimizin çözümü için sıra ile verilen teklifleri ve satın alınacak miktarları matris formunda yazalım. Bu sonuca göre mallar üçüncü firmadan satın alınacaktır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: Bir işletme ürettiği üç tür mamulün altı aylık satış tahminine göre hammadde stoklarını belirlemek istiyor. Her birim mamulün üretimi için gerekli hammadde miktarları ile altı aylık tahmini satış miktarları aşağıda tablolar şeklinde verilmiştir. hm1 hm2 hm3 1.ü 3 1 2 2.ü 4 3.ü 1.ay 2.ay 3.ay 4.ay 5.ay 6.ay 1.ü 85 90 80 100 95 2.ü 220 3.ü 60 70 75 65 Her ay hangi hammaddeden ne kadar stok yapılması gerektiğini bulunuz Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Çözüm: Mamuller için gerekli olan hammadde miktarlarını gösteren matris; Aylara göre tahmini satış miktarlarını gösteren matris; Aylara göre stok miktarları Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Ödev: Bir işletme G1, G2, G3, G4 gibi dört tip gömlek üretmektedir. Dört aylık bir dönem için üretmeyi planladığı gömlek sayıları aşağıdaki A matrisinde sıra ile, gömleklerin fiyatları da B matrisinde sıra ile verilmiştir. Dönem sonunda gömleklerin tamamının satılması durumunda firmanın elde edeceği geliri hesaplayınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Şimdi doğrusal denklemlerle ifade edilebilen modellerin denge çözümlerini doğrusal denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri kullanılarak bulacağız. Kısmi Piyasa Dengesinde Doğrusal Modellerin gauss Jordan Yoketme Yöntemi ile çözümü Kısmi-piyasa denge modelinde tek çeşit mal söz konusu olduğundan birinci dersimizde gördüğümüz gibi modelimiz Talep fonksiyonu Arz fonksiyonu Denge koşulu olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Denge durumunda olduğundan yukarıdaki doğrusal denklemlerde alabiliriz. O zaman denge denklemlerimiz olur. Burada bulunması gereken içsel değişkenler olan P ve Q dur. Bu denklemleri doğrusal denklem sistemi formunda yazarsak olur. Bu doğrusal denklem sistemini matris denklemi olarak şeklinde yazabiliriz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: Bir malın fiyat talep ve fiyat arz denklemleri , şeklinde verilmiştir. Denge fiyatını ve denge miktarını Gauss Jordan Yoketme Yöntemi ile bulunuz. Çözüm: Denge durumunda olacağından doğrusal denklem sistemimizi şeklinde yazabiliriz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Kısmi Piyasa Dengesinde Doğrusal Modellerin Cramer Yöntemi ile çözümü Talep fonksiyonu Arz fonksiyonu Denge koşulu olur. Buradan olur. Bu doğrusal denklem sistemini matris denklemi olarak şeklinde yazabiliriz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bu matris denkleminde dır. Cramer Yönteminde değişkenleri ile gösterirsek olduğunu hatırlayınız. Buradan Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol bulunur. Örnek: Bir malın fiyat talep ve fiyat arz denklemleri sıra ile şeklinde verilmiştir.Denge fiyatını ve denge miktarını Cramer Yöntemi ile bulunuz. Denge durumunda olacağından doğrusal denklem sistemimizi şeklinde yazabiliriz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: Bir malın talep-fiyat ve arz-fiyat denklemleri sıra ile şeklindedir. Denge fiyatını ve denge miktarını Cramer Yöntemi ile bulunuz. Denge durumunda olacağından doğrusal denklem sistemimizi şeklinde yazabiliriz. Çözüm: bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Bir ürünün fiyatı 8 TL iken 45 adet satılmıştır Bir ürünün fiyatı 8 TL iken 45 adet satılmıştır. Fiyat 16 TL ye düşürüldüğünde ise 40 adet satılmıştır. Fiyatı 12 TL olduğunda 5 adet üretilmiştir. Fiyatı 19 TL olduğunda ise 10 adet üretilmiştir. Örnek: a) Talep-fiyat ve arz-fiyat denklemlerini yazınız. b) Denge fiyatını ve denge miktarını Cramer Yöntemi ile bulunuz. c) Ürünün serbest ürün olması durumunda alınabilecek maksimum miktarı ve satılabileceği maksimum fiyatı, üretime başlanması için gerekli en düşün fiyatı ve talebin bitmesi (0 olması) durumundaki fiyatı bulunuz. d) Talep-fiyat ve arz-fiyat denklemlerinin grafiklerini çizerek bulduğunuz sonuçları grafik üzerinde gösteriniz.

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol İki Mallı Piyasa Modelinin Cramer Yöntemi ile çözümü Birbiriyle ilişkili olduğunu kabul ettiğimiz iki mallı bir piyasa modelinde her iki malın arz ve talep fonksiyonunun parametreler cinsinden aşağıdaki gibi doğrusal fonksiyonlar olarak yazılabileceğini görmüştük. Bu modeli biçiminde yazmıştık. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Buradan Denklemimizdeki parametreleri daha kısa ve basit hale getirebilmek için diyelim. O zaman yukarıdaki denklem sistemi şeklini alır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bu denklem sisteminde, katsayılar matrisi değişkenler matrisi sağ taraf sabitleri matrisi dır. dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Cramer Yönteminde dır. Buna göre determinantlarını hesaplamalıyız. olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Buradan bulur. Aşağıda verilmiş olan iki mallı piyasa modelinin denge değerlerini Cramer Yöntemi ile bulunuz ve çözümünüzü grafik üzerinde gösteriniz. Örnek: Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Kısmi Piyasa Dengesinde Doğrusal Modellerin Ters Matris Yöntemi ile çözümü Tek mallı piyasa modelimizde, Talep fonksiyonu Arz fonksiyonu Denge koşulu olsun. Denge durumunda olduğundan yukarıdaki doğrusal denklemlerde alabiliriz. O zaman denklemlerimiz olur. Burada bulunması gereken içsel değişkenler olan P ve Q dur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bu denklemleri doğrusal denklem sistemi formunda yazarsak olur. Bu doğrusal denklem sistemini matris denklemi olarak şeklinde yazabiliriz. Ters Matris Yönteminde matris denkleminin çözümünün şeklinde olduğunu hatırlayınız. Yukarıdaki denklem sistemimizde dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: Bir malın talep-fiyat ve arz-fiyat denklemleri sıra ile şeklinde verilmiştir. Malın denge fiyatını ve denge miktarını Ters Matris Yöntemi ile bulunuz. Denge durumunda olacağından doğrusal denklem sistemimizi şeklinde yazabiliriz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Gerçekten bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: Aşağıda denklemleri verilen iki mallı bir piyasada denge fiyatlarını ve denge miktarlarını Ters Matris Yöntemi ile bulunuz. Çözüm: Piyasada denge sağlandığında olacağından dır. Buradan Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: İkinci derste gördüğümüz basit ulusal gelir modelinin denge çözümlemesini Cramer Yöntemini ile yapalım. (a>0, 0<b<1) Y ulusal geliri, C tüketimi, yatırım ve kamu harcamalarını gösteriyor. Çözüm: Verilen denklemleri doğrusal denklem sistemi formunda yazalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: Aşağıda verilen ulusal gelir piyasa modelinde Cramer Yöntemini kullanarak denge değerlerini belirleyiniz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Çözüm: Verilen denklemleri doğrusal denklem sistemi formunda yazalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: Aşağıda verilmiş olan ulusal gelir modelinde Ters Matris Yöntemini kullanarak denge çözümlemesini yapınız. Çözüm: Verilen denklemleri doğrusal denklem sistemi formunda yazalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol olsun. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Gerçekten dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: Aşağıda verilmiş olan ulusal gelir modelinde verilen sayısal değerleri yerlerine yazınız ve Ters Matris Yöntemini kullanarak denge çözümlemesini yapınız. a>0, 0<b<1 d>0, 0<t<1 Y ulusal gelir, C tüketim, T vergiler içsel değişkenleri ve yatırım ve kamu harcamaları, t gelir vergisi oranı dışsal değişkenleri gösterir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Çözüm: Verilen denklemleri doğrusal denklem sistemi formunda yazalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Ödev: denkleminin, (1-b)’nin marjinal tasarruf eğilimini, g’ nin yatırımın faiz haddine duyarlılığını, A’nın bütüncül bir dışsal değişkeni temsil ettiği bir denklem şeklinde tanımlandığını varsayalım. k ve l sıra ile para talebinin gelir ve faiz duyarlılıklarını göstermek üzere denkleminin de şeklinde tanımlandığını varsayalım. Burada olduğuna göre Y ve i içsel değişkenlerini Ters Matris Yöntemi ile belirleyiniz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol