Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş TBF 122 - Genel Matematik II DERS – 11 :  Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

 kısıtlamalı minimizasyon problemleri Bundan önceki dersimizde standart biçimde  kısıtlamalı maksimizasyon problemlerinin çözümü için simpleks yöntemini gördük. Bu derste, problem kısıtlarının tümü  biçiminde olan ve amaç fonksiyonunun minimum değerinin istendiği doğrusal programlama problemlerini ele alacağız. Ancak, göreceğiz ki bu iki problem türü arasında çok yakın bir ilişki vardır. Problem kısıtlarının tümü  biçiminde olan ve amaç fonksiyonunun minimum değerinin istendiği bir doğrusal programlama problemine  kısıtlamalı minimizasyon problemi denir. Bir  kısıtlamalı minimizasyon problemini çözmek için, o problemin duali olarak adlandırılan  kısıtlamalı bir maksimizasyon problemi oluşturulur.

Örnek . fonksiyonunu kısıtlamaları altında minimize ediniz. Probleminin duali şöyle elde edilir: Problemin kısıtlamaları ve amaç fonksiyonu biçiminde yazarak buna karşılık gelen sağdaki A matrisini oluşturalım.

  fonksiyonunu kısıtlamaları altında minimize ediniz. Bu noktada matrislerle ilgili bir kavramın tanımını hatırlatıyoruz: Bir m n matris A verildiğinde, A nın devriği ( ya da transpozesi) denilen ve AT ile gösterilen n m matris şöyle tanımlanır: Her i ve j için AT nin i-j girdisi, A nın j-i girdisidir. Bu tanımdan kolayca görülebileceği üzere, AT nin i-inci satırı A nın i-nci sütunu ve AT nin j-inci sütunu A nın j-inci satırıdır. Örnek olarak, yukarıdaki A matrisinin transpozesi dır. Şimdi, bu matrise karşılık gelen, sağa yazacağımız,  kısıtlamalı sistemi düşünelim. Buraya kadar yapılanları özetleyelim:

    fonksiyonunu kısıtlamaları altında minimize ediniz. Orijinal Problem  Son sistemi bir maksimizasyon problemi olarak ifade edersek başlangıçtaki problemin dualini elde etmiş oluruz. Dual problemle orijinalini ayırt etmek için dual problemin değişkenlerini farklı sembollerle gösteriyoruz. fonksiyonunu Dual Problem kısıtlamaları altında maksimize ediniz.

Dualite İlkesi. Bir minimizasyon probleminin çözüme sahip olması için gerek ve yeter koşul, o problemin dualinin çözüme sahip olmasıdır. Çözümün var olması durumunda, minimizasyon problemindeki amaç fonksiyonunun en iyi değeri (minimumu) ile dualindeki amaç fonksiyonunun en iyi değeri(maksimumu) çakışır. fonksiyonunu kısıtlamaları altında minimize ediniz. Köşe M 540 Orijinal 510 528 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Köşe K Dual 495 510 480

Yukarıdaki örnekte de görebileceğimiz gibi Minimizasyon problemi için en iyi değeri veren çözüm ile onun duali olan maksimizasyon problemi için en iyi değeri veren çözüm, genellikle farklıdır. Bu bağlamda önemli bir husus da şudur: Minimizasyon problemi için yazılan dual problem, standart biçimde  kısıtlamalı maksimizasyon problemi ise, simpleks yöntemi ile çözülebilir. Eğer minimizasyon probleminin amaç fonksiyonunun negatif katsayısı yoksa, dual problem, standart biçimde  kısıtlamalı maksimizasyon problemidir. Eğer dual problem simpleks yöntemi ile çözülürken aylak değişkenler olarak minimizasyon probleminin değişkenleri olan x1 , x2 kullanılırsa, minimizasyon probleminin en iyi değerini veren çözüm de tablodan okunabilir. Çözümün sonunda ulaşılan simpleks tablosunun son satırında x1 , x2 nin sütunlarındaki sayılar, sözü edilen çözümü verir. Yukarıda tartışılan problem için dual problem, standart biçimde  kısıtlamalı maksimizasyon problemi olduğundan simpleks yöntemi ile çözülebilir. Şimdi, aylak değişkenleri de yukarıda açıklandığı biçimde seçerek bu çözümü gerçekleştirelim:

Dual fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. y1 = 6, y2 = 15 için K= 510 maksimum. x1 = 10, x2 = 3 için M = 510 minimum.

Şimdiye kadar elde edilen sonuçları şöyle özetleyebiliriz:  kısıtlamalı bir minimizasyon problemini çözerken şu adımlar izlenir: Adım 1. Problem kısıtlamaları ve amaç fonksiyonundaki katsayılar kullanılarak, A matrisi oluşturulur. (Amaç fonksiyonunun katsayıları son satıra, çizgi altına yazılır.) Adım 2. A matrisinin transpozesi , AT yazılır. Adım 3. AT nin satırları kullanılarak,  kısıtlamalı maksimizasyon problemi, yani dual problem yazılır. Dual problem yazılırken, değişkenler için y1 , y2 , . . . gibi yeni semboller kullanılır. Adım 4. Dual problem ( standart biçimde  kısıtlamalı maksimizasyon problemi ise) simpleks yöntemi ile çözülür. Bu çözümde aylak değişkenler için minimizasyon probleminin değişkenlerinin sembolleri olan x1 , x2 , . . . kullanılır. En son tabloda, x1 , x2 , . . . ye karşılık gelen sütunların son girdileri minimum değeri veren çözümü oluştururlar.

Örnek. M(x1, x2 , x3 )= 120 x1 + 60 x2 + 80 x3 fonksiyonunu kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: A matrisini oluşturalım ve transpozesini yazalım.  AT ye karşılık gelen maksimizasyon problemini ve başlangıç simpleks tablosunu yazalım. fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz.

x1 = 0, x2 = 60 ve x3 = 10 için M = 4400 minimum. fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Son tablodan, minimizasyon probleminin çözümü elde edilir.  x1 = 0, x2 = 60 ve x3 = 10 için M = 4400 minimum.

Örnek. M(x1, x2 , x3 ) = 13x1 + 10x2 + 16 x3 fonksiyonunu kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: A matrisini oluşturalım ve transpozesini yazalım.  AT ye karşılık gelen maksimizasyon problemini ve başlangıç sistemini yazalım. fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz.

x1 = 2 , x2 = 0 ve x3 = 11 için M = 202 minimum. fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Başlangıç simpleks tablosunu yazarak çözümü sürdürelim. Son tablodan, minimizasyon probleminin çözümü elde edilir: x1 = 2 , x2 = 0 ve x3 = 11 için M = 202 minimum.

Örnek. Aşağıdaki minimizasyon problemlerinin duallerini oluşturalım ve simpleks yöntemi ile çözülüp çözülemeyeceğini görelim. fonksiyonunu fonksiyonunu kısıtlamaları altında minimize ediniz. kısıtlamaları altında minimize ediniz. Bu problemlerin dualleri, sırasıyla fonksiyonunu fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Görüldüğü üzere, bu dual problemlerden ilki standart biçimde, ikincisi ise standart biçimde olmayan  kısıtlamalı maksimizasyon problemidir. Dolayısıyla, bunlardan ilki için simpleks yöntemi ile çözüm yapılabilir; ikincisi için yapılamaz. İlk problemi simpleks yöntemi ile, ikincisini grafik yöntemi ile çözünüz.

Problem. Bir madencilik şirketi çalıştırdığı iki maden ocağından üç tür maden cevheri çıkartıyor: düşük, orta ve yüksek kalite. A ocağından, saatte 2 ton düşük, 3 ton orta ve 1 ton yüksek kalite cevher çıkartılıyor. B ocağından ise, saatte 2 ton düşük, 1 ton orta ve 2 ton yüksek kalite cevher çıkartılıyor. Siparişlerin karşılanması için en az 100 ton düşük kalite, 60 ton orta kalite ve 80 ton yüksek kalite cevher çıkartılması gerekmektedir. Bir saatlik işletme gideri, A ocağı için 400 TL, B ocağı için 600 TL olduğuna göre, siparişlerin minimum giderle karşılanabilmesi için her bir ocak kaç saat çalıştırılmalıdır? Minimum gider ne olur? Çözüm. Verileri bir tabloya yerleştirelim: OCAK Düşük Kalite Orta Kalite Yüksek Kalite Gider A 2 3 1 400 B 600 Sipariş 100 60 80 A ocağı x1 saat, B ocağı x2 saat çalıştırılsın. Bu takdirde toplam gider, M(x1, x2 ) = 400 x1 + 600 x2 TL olur.

Her tür cevher için söz konusu siparişlerden dolayı aşağıdaki problem kısıtları elde edilir: Bunlara negatif olmama kısıtları da katılarak problemin matematiksel modeli aşağıdaki gibi elde edilir. M(x1, x2) = 400x1+ 600x2 fonksiyonunu Bu probleme karşılık gelen sistem, A mat-risi ve onun devriğini yazarak dual proble-mi oluşturalım. Dual problemin, standart biçimde bir ≤ kısıtlamalı maksimizasyon problemi olacağını şimdiden söyleyebiliriz; çünkü problemimizin amaç fonksiyonun-daki katsayıların tümü pozitiftir. kısıtlamaları altında minimize ediniz.  

K(y1,y2,y3) = 100y1 +60y2 + 80y3 fonksiyonunu Dual problemi, yani AT ye karşılık gelen maksimizasyon problemini yazarak çözümü sürdürelim. K(y1,y2,y3) = 100y1 +60y2 + 80y3 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Dual problemin başlangıç sistemi ve başlangıç simpleks tablosu y1 y2 y3 x1 x2 K x1 x2 K

Son tablodan asıl problem için şu çözümü okuyoruz: y1 y2 y3 x1 x2 K x1 x2 K y1 y2 y3 x1 x2 K Son tablodan asıl problem için şu çözümü okuyoruz: x1 = 20 , x2 = 30 için M=26 000 minimum. Dolayısıyla, minimum gider için, A ocağı 20 saat B ocağı 30 saat çalıştırılmalıdır. Minimum gider 26 000 TL olur.

500 1000 Dağıtım Depo I Depo II Kapasite Fabrika A 3 2 700 Fabrika B Problem. Bir ayakkabı yapım şirketinin iki fabrikası ve iki deposu vardır: Fabrika A, Fabrika B; Depo I, Depo II. Fabrikalarda üretilen ayakkabılar depolara gönderilerek oradan dağıtım gerçekleştiriliyor. Bir ayda, A fabrikasında en çok 700 çift, B fabrikasında en çok 900 çift ayakkabı üretilebiliyor. Her ay, Depo I ` e en az 500 çift, Depo II ` ye de en az 1000 çift ayakkabı gönderilmesi gerekiyor. Fabrikalardan depolara bir çift ayakkabının taşıma maliyeti şöyle: A fabrikasından Depo I ` e 3 TL, A fabrikasından Depo II ` ye 2 TL, B fabrikasından Depo I ` e 2 TL, B fabrikasından Depo II ` ye 4 TL. Üretilen ayakkabıların fabrikalardan depolara minimum masrafla taşınabilmesi için her bir fabrikadan her bir depoya kaç çift ayakkabı gönderilmesinin uygun olacağını belirleyiniz. Minimum masraf ne olur? Çözüm. Verileri bir tabloya yerleştirelim: Dağıtım Depo I Depo II Kapasite Fabrika A 3 2 700 Fabrika B 2 4 900 En az gönderilen 500 1000

500 1000 Dağıtım Depo I Depo II Kapasite Fabrika A 3 2 700 Fabrika B 3 2 700 Fabrika B 2 4 900 En az gönderilen 500 1000 A fabrikasından Depo I ` e x1 çift, A fabrikasından Depo II ` ye x2 çift, B fabrikasından Depo I ` e x3 çift, B fabrikasından Depo II ` ye x4 çift ayakkabı gönderilsin. Bu takdirde taşıma masrafı M(x1,x2,x3,x4)= 3x1+ 2x2+ 2x3+4x4 TL olur ve problemin matematiksel modeli şöyledir: M(x1,x2,x3,x4)= 3x1+ 2x2+ 2x3+4x4 fonksiyonunu kısıtlamaları altında minimize ediniz.

   M(x1,x2,x3,x4)= 3x1+ 2x2+ 2x3+4x4 fonksiyonunu kısıtlamaları altında minimize ediniz.    Dual problemi, yani AT ye karşılık gelen maksimizasyon problemini yazarak çözümü sürdürelim.

K(y1,y2,y3,y4) = -700y1 – 900y2 + 500y3 + 1000y4 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Bu, standart biçimde  kısıtlamalı maksimizasyon problemidir ve simpleks yöntemi ile çözülebilir.

K(y1,y2,y3,y4) = -700y1 – 900y2 + 500y3 + 1000y4 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Buradan başlangıç simpleks tablosunu yazıp çözümü sürdürelim

Minimum masraf için, A fabrikasından Depo II `ye 700, B fabrikasından Depo I `e 500, B fabrikasından Depo II `ye 300 çift ayakkabı gönderilmelidir. Minimum masraf: 3600 TL.